教学建议学习目标第二章导数与微分$2.1导数的概念$2.2导数运算$ 2.3微分
§2.1 导数的概念 §2.2 导数运算 §2.3 微分 教学建议 学习目标 第二章 导数与微分
$ 2.2导数运算一.基本初等函数的导数公式二.导数的四则运算法则三.复合函数的导数法则四.高阶导数
一.基本初等函数的导数公式 三.复合函数的导数法则 §2.2 导数运算 二.导数的四则运算法则 四.高阶导数
一.基本初等函数的导数公式(2) (x) = α xα-1(1) (C)= 0(4) (e*)' =e(3) (α") =α ln a定一要熟(6) (ln x) = 1(5) (log. x) = xina记！！！X(8) (cos x) = -sin x(7) (sin x) = cos x(10) (cot x)' = -csc2 x(9) (tan x) = sec~ x(11) (sec x) = sec x tan x(12) (csc x) = -csc x cot x
一 .基本初等函数的导数公式 §2.2 导数运算 x a x a ln 1 (5) (log ) = x x 1 (6) (ln ) = (7) (sin x) = cos x x x 2 (10) (cot ) = −csc (11) (sec x) = sec x tan x (12) (csc x) = −csc x cot x (8) (cos x) = −sin x x x 2 (9) (tan ) = sec a a a x x (3) ( ) = ln x x (4) (e ) = e 一定 要熟 记!!! (1) (C) = 0 1 (2) ( ) − = x x
二.导数的四则运算法则设函数u = u(x),v= v(x都是可导函数,则(1)代数和[u(x)±v(x)]可导,且(u±v)=u±v一定要熟(2)乘积 u(x)· v(x)可导,且记！！！(u.v)=u'.v+u.vesp : (C·v) = C v乘积法则可推广到有限个函数的情形.例如,对三个函数的乘积,有u.v.w)=u'.v.w+u.v.w+u.v.w
二. §导数的四则运算法则 2.2 导数运算 一定 要熟 记!!! 设函数 u = u(x) , v = v(x) 都是可导函数,则 (u v) (u v) esp :(Cv) = C v = u v = u v +u v (1)代数和 [u(x) v(x)] 可导, 且 (2)乘积 u(x) v(x) 可导, 且 乘积法则可推广到有限个函数的情形.例如,对三个函数 的乘积,有 (u v w) = u v w+u v w+u v w
设函数u = u(x),= v()都是可导函数,则u(x)(3)若v(x) ≠ 0,商可导,且一定v(x)要熟记！！.vu.1mesp
一定 要熟 记!!! 设函数 u = u(x) , v = v(x) 都是可导函数,则 ( ) v u 2 :( ) v C v v esp C = − 2 v = uv −u v (3)若 v(x) 0 ,商 可导,且 ( ) ( ) v x u x
练习1设=+/+3×-log×+33,求解由代数和的导数法则，得y = (x3 + x3 +3× - log3 x +33)和(差)的导数等于(x3) +(x3) +(3r) -(log3 x) +(33)分别求导2再作和(差)13x2x3+3xln 3-.+0xn33由基本初1等函数的+3x ln 3- 3x2一3/x2xln 3导数公式
和 ( 差 ) 的 导数等于 分别求导 再作和 ( 差) 练习 1 解 由代数和的导数法则, 得 设 3 log 3 , 求3 3 3 3 y = x + x + − x + x y . ( 3 log 3 ) 3 3 31 3 y = x + x + − x + x ( ) ( ) ( 3 ) (log ) ( 3 ) 3 3 31 3 = x + x + − x + x 0 ln 3 1 3 ln 3 31 3 32 2 = + + − + − x x x x . ln 3 1 3 ln 3 3 1 3 3 2 2 x x x x = + + − 由基本初 等函数的 导数公式
练习2 设y=x n x+2cosx,求"和的导数等于分解由代数和及乘积的导数法则，得别求导再作和y = (x3 In x +2cos x) =(x In x) +(2cos x)>= (x3) ln x + x(ln x) + 2(cos x)由乘积的导数公式- 3x2 In x + x3. 1 +2.(-sin x)x由基本初等函数的=3x2 ln x +x2-2sin x.导数公式
和的导数等于分 别求导再作和 练习2 解 由代数和及乘积的导数法则, 得 由基本初 等函数的 导数公式 设 ln 2cos , 求 y . 3 y = x x + x ( ln 2cos ) 3 y = x x + x ( ln ) (2cos ) 3 = x x + x ( ) ln (ln ) 2(cos ) 3 3 = x x + x x + x 2 ( sin ) 1 3 ln 2 3 x x = x x + x + − 由乘积的 导数公式 3 ln 2sin . 2 2 = x x + x − x
设 y= tan x, 求y练习3由商的解 因 y= sin x所以导数公式cos x-(sin x)cos x - sin x(cos x)sin x)V=cos? xcos x由正弦cos x·cos x - sin x(-sin x)和余弦的cos? x导数公式sin? x +cos? x = 1= cos? x + sin? x= sec? x.cos? xcos? x
练习3 由正弦 和余弦的 导数公式 由商的 导数公式 设 y = tan x, 求 y . ) cos sin = ( x x y 解 因 , cos sin x x y = 所以 x x x x x 2 cos (sin )cos − sin (cos ) = x x x x x 2 cos cos cos −sin (−sin ) = x x x 2 2 2 cos cos +sin = sec . cos 1 2 2 x x = = sin cos 1 2 2 x + x =
er练习4设y=1+x,求y.由商的导数公式=()(1+x)-e*(1+x2)解er(1 + x2)2由基本初e*(1 + x2) -e*(2x)等函数的导数公式(1 +x2)2e*(1 - x)2(1 +x2)2
练习 4 由商的 导数公式 解 设 , 求 y . 1 e 2 x y x + = ) 1 e ( 2 + = x y x 2 2 2 2 ( 1 ) ( e ) ( 1 ) e ( 1 ) x x x x x + + − + = 2 2 2 (1 ) e (1 ) e (2 ) x x x x x + + − = . (1 ) e (1 ) 2 22 x x x +− = 由基本初 等函数的 导数公式
三．复合函数的导数法则设函数u=(x)在点x可导,而函数y=f(u)在对应的点U可导,则复合函数y= f((x))在点X可导，且dy -dy du定要熟或记作dx-du dx记！！！[f(q(x))'= f'(u)p'(x)= f(q(x)p(x)复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数说明符号[f(β(x))表示复合函数f(β(x))对自变量x求导数,而符号f'((x))表示复合函数f((x))对对中间变量u=(x)求导数
三. §复合函数的导数法则 2.2 导数运算 一定 要熟 记!!! 设函数 在点 可导, 而函数 在对应的点 可导, 则复合函数 在 点 可导, 且 u =(x) y = f (u) u y = f ((x)) x x 或记作 复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以 中间变量对自变量的导数. 说明 符号 [ f ((x))] 表示复合函数 f ((x)) 对自变 量 x 求导数,而符号 f ((x)) 表示复合函数 f ((x)) 对 对中间变量 u =(x)求导数. x u u y x y d d d d d d = [ f ((x))] = f (u)(x) = f ((x))(x)