教学建议学习目标第二章导数与微分$2.1导数的概念$2.2导数运算$ 2.3微分
§2.1 导数的概念 §2.2 导数运算 §2.3 微分 教学建议 学习目标 第二章 导数与微分
微分S2.3一.微分的定义二.基本初等函数的微分公式
一.微分的定义 §2.3 微分 二.基本初等函数的微分公式
一块正方形金属薄片受热后,边长由原来的xo改变案例到xo+4x,问其面积改变了多少？薄片边长为x时面积为A=xo2,边长由xo改变到xo+4x，案例分析面积的改变量为xoAx△A =(x。 +△x)2 - x第一部分第二部分2x。Ax+(Ax)?其中2xo是常数，是图中以△x为(△x)22xo△x与△x成比例边长的小正方形的面积.当△x很可看做是△x的线性微小时,(△x)2将函数，即图中有阴影部分的面积更微小
一块正方形金属薄片受热后,边长由原来的 x0改变 到x0+Δx,问其面积改变了多少？ x0 x 2 (x) 2 0 2 A = (x0 + x) − x ( ) , 2 0 = 2x x + x 第一部分 第二部分 其中2x0是常数, 2x0Δx与Δx 成比例, 可看做是Δx 的线性 函数,即图中有阴影 部分的面积. 是图中以Δx 为 边长的小正方形 的面积.当Δx 很 微小时, 将 更微小. 2 (x) 案例 案例 分析 薄片边长为x0时面积为A=x0 2 ,边长由 x0改变到x0+Δx, 面积的改变量为
案例一块正方形金属薄片受热后,边长由原来的xo改变到xo+x,求该金属薄片面积的改变量xoAx分析这时,面积相应的改变量(续)A=(x。 + △x)2 - xo第二部分第一部分2x.Ax|+(△x)?(△x)2由此可见，当给边长xo一个微小的改变量△x时，由此所引起正方形面积的改变量入A,可以近似地用第一部分2xox来代替，这时所产生的误差比△x更微小.这样，2xo△x计算简便,且近似程度好
一块正方形金属薄片受热后,边长由原来的 x0改变 到x0+Δx,求该金属薄片面积的改变量. x0 x 2 (x) 这时,面积相应的改变量 2 0 2 A = (x0 + x) − x ( ) , 2 0 = 2x x + x 第一部分 第二部分 由此可见,当给边长x0 一个微小的改变量Δx 时, 由此所引起正方形面积的改变量ΔA,可以近似地用 第一部分2x0Δx 来代替,这时所产生的误差比Δx 更 微小.这样, 2x0Δx 计算简便,且近似程度好. 分析 (续) 案例
案例Axxo这时,面积相应的改变量A =(x。 + △x)? - x?第二部分第一部分[2x△x+[(△x)在上述问题中,注意到对函数A=x2,有dA2(△x)dAdx= 2xo°2x.x=xodxdxdx这表明,用来近似代替面积改变量△A的2xo△x,实际上是函数A=x2在点xo处的导数2xo与自变量x在点xo处的改变量x的乘积这种近似代替具有一般性.由此,引出微分定义
x0 x 2 (x) 这时,面积相应的改变量 2 0 2 A = (x0 + x) − x ( ) , 2 0 = 2x x + x 第一部分 第二部分 在上述问题中,注意到对函数A= x 2 ,有 , d d d d 2 x x x x A = = 2 . d d 0 2x0 x A x=x = 这表明,用来近似代替面积改变量ΔA 的2x0Δx,实际上是函 数A= x 2 在点x0 处的导数2x0 与自变量x 在点x0 处的改变量 Δx 的乘积. 这种近似代替具有一般性.由此,引出微分定义. 案例
一.微分的定义函数的微分函数的导数密切相关定义设函数y= f(x)在点X可导，自变量微分定义在点x的改变量为x,乘积f(x)·△x称为函数在点x的微分这时,也称函数f(x)在点X可微.函数的微分记作dy,即dy = f'(x) · Ax.通常把自变量x的改变量^x称为自变量的微分,记作dx,即dx = Ax.于是函数f(x)的微分，一般记作dy = f'(x) ·dx.即函数的微分等于函数的导数与自变量的微分的乘积
微分定义 函数的微分 函数的导数 密切相关 定义设函数 y = f (x) 在点 x 可导,自变量 在点 x 的改变量为 x ,乘积 f (x)x 称为函数在点 x 的微分. 这时,也称函数 f (x) 在点 x 可微.函数的微分记作 dy ,即 dy = f (x) x. 通常把自变量 x 的改变量 x 称为自变量的微分,记作 dx ,即 dx = x. 于是函数 f (x) 的微分,一般记作 dy = f (x)dx. 即函数的微分等于函数的导数与自变量的微分的乘积. 一 . 微分的定义
因变量y自变量Xdy = f'(x) dx .的微分的微分可写作dy等于函数的微分与f'(x)即函数的导数自变量的微分之商dx若函数y= f(x)在区间[上的每一点都可微,则称f(x)在区间[上可微,或称(x)为区间[上可微函数若 x。EI,则函数=f(x)在点Xo的微分,记作dyX=Xo即dy= f'(xo)dx.t=xo :
dy = f (x)dx . 因变量 的微分 y 自变量 的微分 x 可写作 . d d ( ) x y 即函数的导数 f x = 若函数 在区间 上的每一点都可微,则称 在 区间 上可微,或称 为区间 上可微函数. y = f (x) I f(x) I f(x) I 等于函数的微分与 自变量的微分之商. 即 若 x0 I , 则函数 y = f (x) 在点 x0 的微分,记作 d . 0 x x y = dy f (x )dx. x x 0 0 = =
据微分定义dy= f(x)·dx 知便可得函数再乘以对函数只要能求出的微分y=f(x)f'(x)△x = dxdy = f'(x)·dx练习1求函数=x的微分dy由幂函数的导数公式解先求导数y = (x) = 5x5-1 = 5x4.于是,函数V=的微分dy = ydx = 5xdx
对函数 y = f (x) 只要能求出 f (x) 再乘以 x = dx 便可得函数 的微分 dy = f (x)dx 练习1 据微分定义 dy = f (x)dx 知 求函数 的微分 5 y = x dy. 解 先求导数. ( ) 5 5 . 5 5 1 4 y = x = x = x − 由幂函数的导数公式 于是,函数 的微分 5 y = x d d 5 d . 4 y = y x = x x
练习2 设=e'sin x,求dy由乘积的导数公式解由导数与微分的关系,先求导数y =(e") sin x +e(sin x)= e* sin x +e* cos x= e'(sin x +cos x)于是,所求函数的微分dy = e'(sin x + cos x)dx
练习2 解 由导数与微分的关系, 先求导数. 由乘积的导数公式 于是,所求函数的微分 设 y e sin x, dy. x = 求 y = (e )sin x +e (sin x) x x x x x x = e sin + e cos e (sin x cos x), x = + dy e (sin x cos x)dx. x = +
练习3 求函数 =x在x=1处,对应于自变量的改变量△x分别为0.1和0.01时的改变量△y及微分dy解 Ay = (x+Ax)2 -x2 = 2x ·△x+(△x)2,dy = (x?)' . Ax = 2x . Ax.在x =1处,当△x = 0.1时,Ay = 2×1×0.1+ 0.12 = 0.21,dy = 2×1×0.1 = 0.2;在x=1处,当△x = 0.01时,Ay = 2 ×1× 0.01 + 0.012 = 0.0201.dy = 2×1× 0.01 = 0.02.可以看出，△x越小,用dy近似代替△y产生的误差越小
练习3 解 dy. 求函数 2 y = x 在 x = 1 处,对应于自变量的改变量 x 分别为0.1和0.01时的改变量 y 及微分 ( ) 2 ( ) , 2 2 2 y = x + x − x = x x + x d ( ) 2 . 2 y = x x = x x 在 x = 1 处,当 x = 0.1 时, 2 1 0.1 0.1 0.21, 2 y = + = dy = 21 0.1 = 0.2; 在 x = 1 处,当 x = 0.01 时, 2 1 0.01 0.01 0.0201, 2 y = + = dy = 21 0.01 = 0.02. 可以看出,x 越小,用dy 近似代替y 产生的误差越小