教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质$4.3禾积分的基本公式84.4换元积分法$ 4.5分部积分法84.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$4.5分部积分法不定积分的分部积分法是两个函数乘积导数公式案例由乘积的的逆用，被积函数可视为导数公式cosxdx.x和cosx的乘积求x入手由于(x·sin x)= sin x+x·cosx两端同时求积分，得用基本积分I sin xdx+x·cos xdx公式可求得x·sin x =移项,有sin xdxx ·cos xdx= x·sin x-转化为x·cosxdx = x ·sin x+cos x+C将案例推广为一般情况
§4.5 分部积分法 不定积分的分部积分法是两个函数乘积导数公式 的逆用. 案 例 求 cos d . x x x 由乘积的 导数公式 入手 被积函数可视为 x 和 cos x 的乘积 由于 (x sin x) = sin x + x cos x, 两端同时求积分,得 sin sin d cos d . x x = x x + x x x 移项,有 cos d sin sin d , x x x = x x − x x 用基本积分 公式可求得 转化为 x cos xdx = x sin x + cos x +C. 将案例推广为一般情况
设函数u = u(x),V= v(x)都有连续的导数,由乘积的导数法则[u(x) · v(x)} = u'(x) · v(x) +u(x) · v(x)两端同时求积分，有易于求得u(x): v(x) = ( u'(x) v(x)dx +u(x): V(x)dx,移项,有u(x) .v(x)dx/ v(x) ·u'(x)dxx|= u(x) · v(x) -转化为简写作V ? u'dx.uvdx =u·v-分部Iu·dv=u·v-积分或v-du法公式
两端同时求积分,有 移项,有 易于求得 转化为 设函数 都有连续的导数,由乘积的导 数法则 u = u(x), v = v(x) [u(x)v(x)] = u(x)v(x) + u(x)v(x), u(x) v(x) u (x) v(x)dx u(x) v (x)dx, = + u(x)v(x)dx = u(x)v(x) − v(x)u(x)dx. u v dx u v v udx. = − u dv u v v du. = − 分部 积分 法公式 简写作 或
因(x)=1案例对1案例的计算过程照因(sin x) = cos x风:sin x风cos.xdx =1sn xIXu(x)v(x)dx =[u(x)·(x)-/ /(x)/ u(x) dx由v(x)求出V(x)由u(x)求出 u(x)分部积分法公式
对 照 案 例 分部积分法公式 案例的计算过程 = x cos x dx x sin x − = u(x) v (x)dx u(x)v(x) − sin x 1dx v(x) u (x)dx 因 (sin x) = cos x 由 v(x) 求出 v(x) u(x) 由 求出 u(x) 因 (x) =1
案例的计算过程案例对照这两个因子的乘被积函数是两积易于求出积分个因子的乘积xcos xIx =x : sin x-sn x转化为另外两个因子的乘积Ix - u(x) yXu(x)转化为另外两个因子的乘积分部积分法公式
对 照 案 例 分部积分法公式 案例的计算过程 = x cos x dx x sin x − = u(x) v (x)dx u(x)v(x) − sin x 1dx v(x) u (x)dx 被积函数是两 个因子的乘积 转化为另外两个因子的乘积 这两个因子的乘 积易于求出积分 转化为另外两个因子的乘积
分部积分法公式该不定积分较左端易于求出<(x)dxu'(x)dx =u(x) ·v(x) -0V(x)由v(x)求出v(x)选取u(x)和v'(x(1)选作 V(x)的函数,必须能求出它的原函的原则数v(x),这是可用分部积分法的前提;(2)选取u(x)和v(x),最终要使分部积分法公式右端的积分u(x)·V(x)dx易于计算,这v(x)·u'(x)dx 较左端是用分部积分法要达到的目的
分部积分法公式 = u(x) v (x)dx u(x)v(x) − v(x) u (x)dx 由 v(x) 求出 v(x) 该不定积分较左端易于求出 选取 和 的原则 u(x) v(x) (1)选作 的函数,必须能求出它的原函 数 ,这是可用分部积分法的前提; v(x) v(x) (2) 选取 和 ,最终要使分部积分法公式右端的积分 较左端 易于计算,这 是用分部积分法要达到的目的. u(x) v(x) v(x) u (x)dx u(x) v (x)dx
对定积分有类似的分部积分法公式设函数u= u(x), V= v(x)在闭区间[a,b]上都有连续的导数，则6b6u'.vdxu: y'dx三u1aaa.b66或u.dy du三Ma
或 对定积分,有类似的分部积分法公式: 设函数 在闭区间 上都有连续 的导数, 则 u = u(x), v = v(x) [a,b] d d . = − b a b a u v x a b u v x u v d d . = − b a b a v u a b u v u v
练习1 求xerIdx被积函数是两个函数：x和e的乘积解 设u=x, v=er,则u'=l,v=er用分部积分法易于计算于是，由分部积分法公式xer dx = xexex.1dx=xex-ex+C再看另一种情况：若设u=er,=x,则uex2该不定积分于是1更难求出r2exdxxex dxX2212x2.exdxer2
练习1 解 被积函数是两个函数: x 和 e x 的乘积 于是,由分部积分法公式 用分部 积分法 设 u = x, e , x v = 则 u =1, e . x v = = x x x e d x − x x x e e 1d xe e C. x x = − + 求 e d . x x x 再看另一种情况: 若设 e ,v = x, x u = 则 e , x u = . 2 1 2 v = x 于是 = x x x e d x − x x x x e d 2 1 e 2 1 2 2 = x − x x x x e d 2 1 e 2 1 2 2 该不定积分 更难求出 易于计算
练习2被积函数是：x-和Simn x 的乘积x? sin xdx求解设 u = x2, dy = sin xdx = d(-cos x)用分部积分法于是，由分部积分法公式vduudv = uv -x? sin xdx=/ xd(-cos x)见案例x·cosxdx= x(-cos x) - (I(-cos x)dx2=x·snx+cosx+C=-x? cos x + 2x cos xdx=-x2 cos x + 2x sin x + 2cos x + C用了两次分部积分法
练习2 解 被积函数是: x 2 和 sin x 的乘积 于是,由分部积分法公式 用分部 积分法 设 , 2 u = x sin d . 2 求 x x x dv = sin xdx = d(−cos x), x sin xdx 2 d( cos ) 2 = x − x 2 2 x ( cos x) ( cos x)dx = − − − x cos x 2 x cos xdx 2 = − + cos 2 sin 2cos . = −x 2 x + x x + x +C 见案例 x cos xdx = xsin x +cos x +C. 用了两次分部积分法 udv = uv − vdu
练习3被积函数是:x4 和ln x 的乘积x4 In xdx求用分部积分法解设u=ln x，于是,由分部积分法公式udy = uv-vdux4 ln xdx =tsn x-1xs.dln xIn-5有对数1515设对数为U;5 lnx-Jx.↓dxt----无对数x设幂为 Unx-1(x4dxrs51/sx5+CIn255
练习3 解 被积函数是: x 4 和 ln x 的乘积 设 u = ln x, 于是,由分部积分法公式 用分部积分法 求 ln d . 4 x x x = ) 5 1 ln d( 5 x x x ln xdx 4 = x x − x d ln x 5 1 ln 5 1 5 5 = − x x x x x d 1 5 1 ln 5 1 5 5 = x x − x dx 5 1 ln 5 1 5 4 . 25 1 ln 5 = 1 x 5 x − x 5 +C -有对数, 设对数为 ; -无对数, 设幂为 . u u udv = uv − vdu