从导数说起曹广福（广州大学数学与信息科学学院，）81引言“导数”是微积分教程中最基本的概念之一，也是应用十分广泛的理论之一。但是，微积分中的导数对函数的要求很高，熟悉微积分的人都知道，一个函数若在一点可导，则必在该点连续。因此，经典意义下的导数定义严重束缚了它的使用范围，事实上，无论是近代数学的发展，还是实际问题中经常出现的现象，都使得人们不得不面对和处理更一般的函数。例如，电路方程中需要人们对如下的函数（通常称为Heaviside函数）1,T≥0Y(r) =<00.求导数。然而，我们知道Y(a）在=0点不连续，更谈不上求导数了。就数学本身而言，也要求人们放宽对函数的限制。最典型的例子莫过于微分方程理论中对方程解的存在性与唯一性的讨论，前苏联数学大师索伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性与唯一性，建立了广义函数与广义导数的概念，这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等现代数学工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天地。导数的思想甚至可以应用到一般的代数中，通过引入所谓的导子概念来研究代数的结构。从导数的几何意义出发，我们又可以将切线、切平面概念推广到微分流形乃至一般的拓扑空间上，引入所谓的切丛、向量丛的概念，从而将流形或拓1
"^`S (Æ ) §1 zw [L;qTvxS _jm1 /;=A1 -~_2Mm1Y; qTx_[Ls5L_.? GqT_ml℄ 15L U1e [ Y!U e:!;M f79_[Lj9'{K?Z_5A }r :4" {M;VL$_w^ K;4ay`x ; G _ m5^U-^-YsP_j OupGRj 1
扑空间中的问题转换为相应的线性空间中的问题。可见导数概念的推广既是实际问题的需要，也是数学发展的必然，82导数概念的一种最直接和自然的推广首先让我们回忆一下微积分中导数的定义：定义1设y=f(）在直线上的点o附近有定义，如果下面的极限f(α) - f(ro)limr-ro-ro存在且有限（有些教材中指极限值有限时才称为极限存在），则称y=f(r)在ro点可导，记作f()-f(ro)f'(ro)=limaroT- TO推广上述定义的一个最直接的方法是放宽对极限的要求，我们可以只要求极限存在，而不必要求极限有限，这样的定义或许适合更一般的函数，具体地说就是引入如下的定义定义2设y=f()在直线上的点o附近有定义，如果下面的极限f(α) -f(ro)limr-roa-rO存在（不必有限），则称9=f(a)在o点有导数，记作f(r) - f(ro)f'(ro)=limr-ror-ro应该注意定义1与定义2的一点小小的差别，在定义1中，我们称函数在一点可导，在定义2中我们称函数在一点有导数，而不称其可导，目的在于区分这两者。现在让我们来看一看，定义2是否的确扩大了有导数的函数的范围。例1设a>0,f(r) =0T = 0,<0.-1.2
v%ix_y`Lt =_ %ix_y` l[L j_i-`;4ay`_ . /;L$w^_! §2 !℄-O#x :2 V#e0 CzUM81qTx[L_j9 'y 1 ) y = f(x) Un "_e x0 Cj9 0Y _U limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 RUC (Cv1xpU oC 22=tU RU) Y= y = f(x) U x0 e [ _ f ′ (x0) = limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 i-"Jj9_1ny_x;'sU _. z U 5q.U RU u-!.U C d-_j9 R <> 1_5L a NÆ; 0, 0, x = 0, −1, x < 0 2
则f(c）在=0点有导数。事实上,若>0,则f()-f(0)=1,若<0,则f()-f(0)=-1,可见limz-0()=f()=+oo。这就是说，函数f(α)在=0点确有导数（尽管它在该点不连续）。我们还可以进一步降低定义2中对极限的要求，可以只要求其左极限和右极限均存在，但两者可以不等，这样便得到了左导数与右导数的概念。我们甚至可以不假定左右极限是存在的利用左上极限、左下极限、右上极限以及右下极限来定义左上导数、左下导数、右上导数及右下导数。问题在于，这种推广是数学或实际问题的必需呢？还是仅仅是一种形式上的推广？这是应该首先弄清楚的问题。众所周知，微积分中的某些问题仅仅依靠经典的微积分理论是无法解决的，例如，一个函数Riemann可积的充要条件是什么？Newton-Lebnitz公式成立的充要条件是什么？等等。这些问题之所以在微积分中得不到解决，根本原因在于经典的微积分理论只能处理连续或至多有有限个间断点的函数。而一个Riemann可积的函数可以有无穷多的间断点，因而经典的微积分就显得有点无能为力了。学习过Lebesgue积分理论的人都了解，利用Lebesgue积分理论可以将这些问题完全阐述清楚。为了弄清楚这些问题，我们需要将函数的导数概念加以推广，使之适用于更一般的函数。由此可见，上述定义的引入可以给我们提供技术上的方便。那么，这一概念对于我们研究一般的函数能带来什么好处呢？事实上，我们可以利用上述概念证明：区间[a,b]上的任何单调增加的有限函数几乎处处有有限的导数，且其导函数是一个Lebesgue可积函数，由此可以进一步证明，一个函数是其导函数的原函数（即Newton-Lebnitz公式成立）的充要条件是该函数为绝对连续函数83广义函数与广义导数如果说上一节中导数概念的推广在一定程度上缘于技术上的需要，那么本节引入的另一种导数概念的推广则有其深刻的背景，它标志着现代微分方程理论的开始。这就是广义函数及其导数。现在让我们先直观地感觉一下这一理论的基本3
Y f(x) U x = 0 eC[L :4" x > 0 Y f(x)−f(0) = 1, x 7_C.dn;3Q ``dy`mY5UqT x^-\~ N;UG f_qT2MqfK2 :!RstCC ire_5Lu1 Riemann T_5 L 5C{t_ire ;u f_qTÆ^Ce{ ft8?$1 Lebesgue T2M_m?~ 5A Lebesgue T2M 5pdy`m :JIt?kIdy ` zU .p5L_[Lje5i- 5m7_C .dn;5Lts:!5L §3 0y1℄0y!℄ 0N"1|x[Lj_i-U1jo"PG℄I "_ . `Q |<_E1z[Lj_i-YCy+ "_ Z'r Vq2M_6dÆ;-95 LWy[L UzUn* 1d12M_S 3
思就。引言中的使数Y（c）在些们=0加广闻续，即它们任何有景显推上都因可积的，因此，如果用一如有紧弄集的可几使数与之究乘，则其乘积使数因直线上的可积使数。广妨设f因呢来的使数，所f因实数域上的可几使数，且或们有景显推[a,b],以得suppf=[r|f(a)≠o]c[a,b]。于因fY因实数域Rl上的可积使数。假如种带已，若Y赋予了几数定义，且满足通常的先几法则，（事实上，要先新的儿数满足通常的先几法则题因自些的也因公要的），则由分部积分公式(fY)'=f'Y+fY得 fY'da = / (FY)da - J f'Yda,如果fY因（fY）的原使数，则有(FY)'da = limM-(fY) [M= 0于因，fY'dr = -f'Ydr尽深上述等式的左边按通常的几数定义因存有立义的，即右边按，假只积分定义因有立义的。呢就若种带提供了一种定义Y()的几数的方法，呢就因更节要、绍的甚义使数理此。呢一理此广仅因经代断只分方程的基础，同依也般有经实的周理个：。例如电子工程中常涉及的脉冲使数8()满足呢来的这件：(1)8()=0，如果≠0;(2) [-8 8(r)dr = 1。其周理解应因它们极将的依推点应且出一如单位典成的觉事。按照通常的Riemann积分或Lebesgue积分，上述积分式（2）实际因存有立义的，特别因常常还要先种带典降（）多次先几数，等简直因广可思连了。因此如何降呢来的经象作出合引的数学描述便成为一件自些的事情了。为了降一该的使数若出几数样至高我几数定义，种带需要引进引当的使数便推呢就因基更使数便推，它因甚义使数理此的基础。4
OÆ_: Æbe;_ Riemann TR Lebesgue T "JT7 2 4 a;RC79_ ^);;;K.zUfs δ(x) tN[ L `jn;- O:?;M=sd-_ G>t1n _:?t?s1_5L G[L-sz[Lj9 zU .<<Z_5L%i dÆ;S 5L%i Z;-95L2M_SJ 4
定义3（基本函数空间）记D是实数域RI上无穷次可微且具有紧支集（即在某个有限区间之外为零）的函数全体（想一想，为什么要求无穷次可微而不是有限次可微），按照通常的加法和数乘运算，D成为线性空间。设(n)CD，$ED，如果（n）满足：（1）存在有限区间[a,]，使得supp(n）C[a,b],n=1,2,..";（2）对任意正整数k，n在Rl上一致收敛到(）。则称（m）在D中收敛到，记作n一。定义4（广义函数）设D如定义3，T是D到复平面C的映射，满足：(1)（线性）对任意α,βEC,,ED，有T(a +β) =aT+βTb,(2)（连续性）对D中任意序列(on)，若m→Φ，则Ton→To.则称T为D上的广义函数，记作TED(R）（或TED）。用泛函分析的语言来描述，所谓广义函数实际上是指D上的连续线性泛函。广义函数包含了什么样的函数呢？我们来看两个例子。例1在RI中任何有限区间上可积的函数（通常称为局部可积函数）是D上的广义函数。事实上，对任意局部可积函数于，可以定义D上的泛函T为：Tr() = /f(r)p(r)dr, Vp ED不难验证Tf是线性的。如果[on)CD，ED使n→，则存在有限区间[a,]，使得supp(on) C D,n = 1,2, .*, supp() C D,且当n→8时，有mara<r<b / Pn(r) -p(a) -0,。5
'y 3 61℄A8_ D ;4LK R1 "{N q CkVYU^C imltB_5L aÆ 1Æ t3Q.{N qu-;C N q Æbe; _ext %i) {ϕn} ⊂ D ϕ ∈ D 0 {ϕn} P 1 RUC i [a,b] 5^ supp(ϕn) ⊂ [a,b], n = 1, 2, · · ·; 2 s7ihL k {ϕ (k) n } U R1 "1tA;\ ϕ (k) Y= {ϕn} U D xA;\ ϕ _ ϕn → ϕ 'y 4 0y1℄) D j9 3 T ; D \ sY C _ ?& P (1) s7 α,β ∈ C, ϕ,ψ ∈ D C T(αϕ + βψ) = αTϕ + βTψ, (2):!s D x7 {ϕn} ϕn → ϕ Y Tϕn → Tϕ Y= T t D "_ 0y1℄ _ T ∈ D′ (R1 )R T ∈ D′ A~5~_J)-ZJ Yx-95L4a";p D " _ Ftns*1-95L3?3Q-_5Ld zU- =6 E 1 U R1 x=C i" T_5Le;=t/ T5L; D "_-95L :4" s7/ T5L f 5j9 D "_~5 Tf t Tf (ϕ) = Z +∞ −∞ f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D - ,j Tf ; _0 {ϕn} ⊂ D ϕ ∈ D 5 ϕn → ϕ Y RUC i [a,b] 5^ supp(ϕn) ⊂ D,n = 1, 2, · · · , supp(ϕ) ⊂ D, Z n → ∞ 2 C maxa≤x≤b | ϕn(x) − ϕ(x) |→ 0, 5
由出f在[a.矿上可积现故有[Tf(on) - Tf(0) I / (n)n(a)da - /~ f(a)0(n)dr /≤ /I f(a) Il n(r) - (r) [ dr1 f(r) / damala<r≤b / n(a) - 0(r) / 0, (n → 00)。这说明T，的确是D上的甚义使数。不了析实变使数的人不妨将上例中的积分理析为Riemann积分现至出熟“实变使数的人现我们不妨多说谈句。个师将例1中的积分理析为Lebesgue积分现并放将谈乎处处相等的最也可积使数不通区言现但上述至称关系f→TED'是一至一的。事实上现若有Rl上的最也可积使数f函展Tf()=0 VpD,但可以定明f(a)=0,a.e.。为此现只需定明于在任意有限区推[a,可]上谈乎处处为零。记sgnf(r),e[a,b],g(z) =0.r$[a,b]。但gEL'(Rl)，由Weierstrass定理可知存在D中的使数列(gn)现函展|9m≤1,n=1,2,放Il gn - g llL(RI)→ 0,n-→8。由Lebesgue控制收敛定理有[° I f(a) [ dar=f(a)g(a)daf(r)g(r)dc=limnf(r)gn(r)d = 0可见f()在[a,b]上谈乎处处为零。总都现起如最也可积使数之至称一如甚义使数。6
BG f U [a,b] " T &C | Tf (ϕn) − Tf (ϕ) | =| Z b a f(x)ϕn(x)dx − Z b a f(x)ϕ(x)dx | ≤ Z b a | f(x) || ϕn(x) − ϕ(x) | dx ≤ Z b a | f(x) | dxmaxa≤x≤b | ϕn(x) − ϕ(x) |→ 0,(n → ∞) dN[ Tf _; D "_-95L -?~4&5L_-p"6x_T2~t Riemann T sGG4&5L_ zU-tN[0p 6 1 x_T2~t Lebesgue T *p[CKK `_ / T5L-e) Y"Js=) f → Tf ∈ D′ ;1s1 _:4" C R1 "_/ T5L f 5^ Tf (ϕ) = 0 ∀ϕD, Y 5j[ f(x) = 0,a.e. tM q j[ f U7C i [a,b] "[CKKtB_ g(x) = sgnf(x), x ∈ [a,b], 0, x /∈ [a,b] Y g ∈ L 1 (R1 ), B Weierstrass j2 lRU D x_5L {gn} 5^ | gn |≤ 1,n = 1, 2, · · · , k gn − g kL1(R1)→ 0, n → ∞ B Lebesgue &vA;j2C Z b a | f(x) | dx = Z b a f(x)g(x)dx = Z +∞ −∞ f(x)g(x)dx = limn Z +∞ −∞ f(x)gn(x)dx = 0 l f(x) U [a,b] "[CKKtB m S/ T5L ms=1-95L 6
有一个广义函数在广义函数理论谓占有得殊的地位，这就常下即定义的Dirac函数：定义5（Dirac函数）记() = p(0), V E D,不难证明s常线性的，而且当n→Φ，有[n(0) -(0) / 0,故[8(on) - 8() 1=/ n(0) - (0) /→ 0。于常常D上的广义函数，称为Dirac函数。从上即的例子可使看出，广义函数的确大大扩充了函数的范围，那么，我们能不能对这些函数（导数呢？或者次，如何定义当们的导数呢？本节的开始给了我们一我的示，当的示我们按如下方式定义广义函数的导数。定义6对包意fED(R'),定义D上的广义函数f为：f'(p)=-f(p), VpED其谓()常g()的经典意义下的导数。称f为f的导数。按照定义6，Dirac函数的导数常什么呢？由Dirac函数的定义外8（）=-(）=-(O)。我们也可使（出Heaviside函数的导数，事实上，由于Y常局部可积函数，故对包意ED,有Y'() = -Y(0)/~Y(r)'(r)da-0(r)dcI= (0) = 8()。这就常次，Heaviside函数的导数恰好常Dirac函数。由广义函数导数定义不难看出，广义函数的包意阶导数都常存在的，并且其各阶导数仍然常一个广义函数。正如微积分7
C1-95LU-95L2Mx_C^E_ w dÆ ;Yj9_ Dirac 5L 'y 5 Dirac 1℄_ δ(ϕ) = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D, - j[ δ ; _ uZ ϕn → ϕ C | ϕn(0) − ϕ(0) |→ 0, & | δ(ϕn) − δ(ϕ) | =| ϕn(0) − ϕ(0) |→ 0 G; δ ; D "_-95L =t Dirac 1℄ O"Y_6 5 G -95L_TT+C?5L_ }r `Q zUf-fsd5L[Ld R N = j9ZU_[Ld |_6 ?zU1z_8 Z_8 zUÆ7j9-95L_[L 'y 6 s7 f ∈ D′ (R1 ), j9 D "_-95L f ′ t f ′ (ϕ) = −f(ϕ ′ ), ∀ϕ ∈ D yx ϕ ′ (x) ; ϕ(x) _ f79_[L= f ′ t f _ !℄ Æbj9 6 Dirac 5L_[L;3Qd B Dirac 5L_ j9l δ ′ (ϕ) = −δ(ϕ ′ ) = −ϕ ′ (0) zU/ 5G Heaviside 5L _[L :4" BG Y ;/ T5L &s7 ϕ ∈ D, C Y ′ (ϕ) = −Y (ϕ ′ ) = − Z +∞ −∞ Y (x)ϕ ′ (x)dx = − Z +∞ 0 ϕ ′ (x)dx = ϕ(0) = δ(ϕ) dÆ;N Heaviside 5L_[L~9; Dirac 5L B-95L[Lj9- G -95L_7z[Lm ;RU_ *yz[L;1-95LiqT 7
中是考处的等样，有时我在从要了泛一个以数可列的在子是一个什么样的以数。换新话说，不义以数可列们展引意义下的在子是否处是一个不义以数赋如果基案是学定的，等么，般可列对应的各阶儿数可列是否也收因到在子以数的各阶几数赋下则应个定理此基了这些问题。定理1设(fn)m=CD(Rl)，使对与意ED，在子limnfn(）总或们，则或们fED(RI)，使得limnfn(O) = f(P), VpED定理2设(fn)m=1CD(RI),f ED(R'),使对与意ED,有limnfn(0)=f(0)。则对与意自数数k，limnf(k)(0)=f(h)(p),VpED。定理2的证明是容例的，直接以用几数的定义可得f(k)(p)=(-1)*f(p(k),V E D。零此广难得到定理2的证明。定理1的证明要麻烦一些，从要以用归纳在子定义D上的拓制，具体地说，想是取RI的悉子代，并又Dk =(EDI suppp CK)。则D是Dk的归纳在子夫直观地需，我在有D=UkDk区从而可以将问题转换到Dk上不讨此夫有兴趣者可以函考[1]区存许有学会问，如果们现典微大系意义下是一个可几以数，它的几数与不义几数是否一致这赋零于直线上的与意连续以数都是向部可大以数，零系部大系必式及不义儿数的定义广难验证当于是直线上按现典意义可几的以数时，其现典几数与不义几数恰义一样夫可函知[2]区应般指熟的是，不义以数的几数广仅积积扩数了可几以数的结围，而且使得求几运算工之现典微大系要灵丛得为，这一点从上则的讨此意知。我在也可以将定义3中的直线换成n维知氏空间Rn中的性代2，也似定义以数空间D(2)=C°(2)。数由们D(2)上也似定义收因概定如下：8
x; K_`- C2zU .?~15L _U ; 13Q-_5LLHN -95L U^z79 _U ;K;1-95L 0S;$j_ `Q s=_z[L ;/A;\U 5L_z[ L Y=j2MS?dy` 'C 1 ) {fn}∞ n=1 ⊂ D′ (R1 ), 5s7 ϕ ∈ D, U limnfn(ϕ) RU YRU f ∈ D′ (R1 ), 5^ limnfn(ϕ) = f(ϕ), ∀ϕ ∈ D 'C 2 ) {fn}∞ n=1 ⊂ D′ (R1 ),f ∈ D′ (R1 ), 5s7 ϕ ∈ D, C limnfn(ϕ) = f(ϕ) Ys7 L k, limnf (k) n (ϕ) = f (k) (ϕ), ∀ϕ ∈ D j2 2 _j[;6_ ny5A[L_j9 ^ f (k) (ϕ) = (−1)k f(ϕ (k) ), ∀ϕ ∈ D BM- ^\j2 2 _j[j2 1 _j[.N{1 . 5A/aU j9 D "_jv a N Æ; R1 _ V *F DK = {ϕ ∈ D | suppϕ ⊂ K} Y D ; DK _/aU n* zUC D = ∪KDK O u 5py`L\ DK "-\MC 55 [1] R CNy 0 f U fqT79;1 [5 L Z_[LI-9[L;1td BGn "_7: !5Lm;/ T5L B/T!7W-9[L_j 9- ,jZ f ;n "Æ f79 [_5L2 y f [LI-9[L~91- 5l [2] =pG_; -9 5L_[L-TT+^? [5L_}r u5^[ RT m fqT.CP^t d1eO"Y_\M7l zU/ 5pj9 3 x_n L> n ul>%i Rn x_ V Ω /Pj95L%i D(Ω) = C∞ 0 (Ω) BU D(Ω) "/ Pj9A;j 8
定问7设(pn)CD(2)，ΦED(2)，个果(n)满曹：夫1区或们2中的紧集K，以得supp(pn)CK，n=1,2,·;夫2区对任立正整换大α=（α1,α2…an），都有[0n)们2辟一致收敛到%。其中8°=8°1228"表示的1=Q1+Q2+…+0引混合偏几换。面何(n）们D中收敛到，记数n→。定问8夫广问函数区设D(2)个定联7，T常D(2)到复平面c的了射，满曹：(1)夫线开区对任立Q,βEC,,ED(2)，有T(ap+Bb)=aT+βT,(2)夫连续开区对D(2)中任立可列(on)，需m→，面Ton-→To。面何T为D(2)辟的广问函数，记数TED(2庆运TED(2)区阶们还可以定联样联偏几换个下：定问9对任立fED(2),定联D(2)辟的样联以换a;f为：O,f() =-f(op), i= 1,2,...,n, VpED。其中ai(a)常(a)的经典立联下的偏几换。何af为f的似导数。们辟述定联之下，但有类丛R1系形的结论都常正确的，这里广再赞述。样联以换与样联几换到底能从阶们带来什么义还呢赋一个样为人们出悉的解只分方程的是用由段常对方程数Fourier变换，从而指只分方程变成代换方程，但按点是的以换论，能科Fourier变换的以换受到了积限扑。关之原因们流积分Jrm P(r)erp(-2ria ·E)de可能广或们。例个，对p>1,LP(Rn）中的以换就广能科Fourier变换。个应克服这一困难呢赋样联以换为阶们解决了这个接等。为了扩充Fourier变换的结围，有先需要对起更以换空间数适当的扩充，则引转但中的急降以换，以这具以换全体数为9
'y 7 ) {ϕn} ⊂ D(Ω) ϕ ∈ D(Ω) 0 {ϕn} P 1 RU Ω x_V K 5^ supp(ϕn) ⊂ K, n = 1, 2, · · ·; 2 s7ihLÆ α = (α1,α2, · · · ,αn) mC {∂ αϕn} U Ω "1tA;\ ∂ αϕ yx ∂ αϕ = ∂ α1 ∂ α2 · · · ∂ αn ϕ (8 ϕ _ | α |= α1 + α2 + · · · + αn zO> r[LY= {ϕn} U D xA;\ ϕ _ ϕn → ϕ 'y 8 0y1℄) D(Ω) j9 7 T ; D(Ω) \ s Y C _?& P (1) s7 α,β ∈ C, ϕ,ψ ∈ D(Ω) C T(αϕ + βψ) = αTϕ + βTψ, (2):!s D(Ω) x7 {ϕn} ϕn → ϕ Y Tϕn → Tϕ Y= T t D(Ω) "_ 0y1℄ _ T ∈ D′ (Ω)R T ∈ D′ (Ω) zUK 5j9-9r[L 'y 9 s7 f ∈ D′ (Ω), j9 D(Ω) "_-95L ∂if t ∂if(ϕ) = −f(∂iϕ), i = 1, 2, · · · ,n, ∀ϕ ∈ D yx ∂iϕ(x) ; ϕ(x) _ f79_r[L= ∂if t f _ P! ℄ U"Jj9m YC/P R1 _}Mm;i_ d4-TJ -95LI-9[L\bf zUU-3Q9Kd 1 -tUG_~q_;ABq;s Fourier &L Oupq&>VL YÆe;_5LM f Fourier &L_5LD\?T v)mN;UGT Z Rn ϕ(x)exp(−2πix · ξ)dx f-RU6 s p > 1, L p (Rn ) x_5LÆ-f Fourier &L=! d1) d -95LtzU~?dy `t?+C Fourier &L_}r C .sS 5L%i <Z_+C Y<Yx_Xs5L 5d5L at 9
基本函换空间，些后类似定义问导的广义函换及问导换。可以定谈，则灵的LP(Rn）（p>1）都敛该基本函换空间导的广义函换，从而可以定义问Fourier射数。分一步可以定谈Fourie射数将求导存积射成乘中存积（限于微区及本等的主说，详细通容不在此处叙述，灵兴线难可以以考[3])。使用这一混想，可以人助引们确定一具微分方程的基本解（以见[4])。84导子个果说以导两节关于导换概拓的间广为少与引们于悉的函换沾点边，题苏本节要妨绍的导换概拓的间广则与函换几充毫不相人了，这就敛导取。它福早出现在李代换中，问基本混想敛，将微积分中两个可导函换乘积的求导中则抽象出甚，用它甚定义一般代换导的导取。然体地说，典关A敛某个处导的代换，D敛A到趣身的线性了控满曹D(ry) =(Dr)y +r(Dy),Va,y EA,则称D敛A导的一个导子。对于任意的代换A，在它导所都存在曹够为的导取（话非它敛为数的），例个，对任意rEDDr(y)=ry-ya定义了A导的一个导取，这不的导取通常称致说导子。定问10处K导的非是什代数u指的敛K导满曹下列这件的一个向量空间限对任意a,yEu,相应地灵一个乘积ayeu，它满曹双线性这件(1)(i+a2)y=aiy +2y,r(yi+y2) =ryi +ry2(2)a(ry) = (ar)y = r(ay),当些，引们也可以定义然灵单言此起1的为数环K导的非结成代换，问方中之复类似导述定义。但这实主要考束处导的代换。定问11个果非结成代换u中的乘中满曹结成数(3)(ry)z=r(yz),10
S 5L%i B/Pj9y"_-95LWy[L 5j[ YC_ L p (Rn ) p > 1 m;S 5L%i"_- 95L Ou 5j9y Fourier &L1. 5j[ Fourier &Lp[RT&>?xRT GqW `_` e-UMK J C 55 [3] 5Ad1OÆ 5zUj1q_S ~5l [4] §4 ! 0N5"=|)G[Lj_i-t$IzUG_ 5L℄e$ `Q |.%_[Lj_i-YI5L[ C8- ? dÆ;[ ZVG U3VLx yS OÆ; pqTx= [5L?T_[xYEG - AZ-j91VL"_[ a N f) A ;^ K"_VL D ; A \ *_ ?&P D(xy) = (Dx)y + x(Dy), ∀x,y ∈ A, Y= D ; A "_1 ! sG7_VL A UZ"Ym RU %t_[ HZ;tL_ 6 s7 x ∈ D, Dx(y) = xy − yx j9? A "_1[ d-_[ e;=t N! 'y 10 K K "_ +;3 ℄U p_; K "P dn _1>%i s7 x,y ∈ U, = C1?T xy ∈ U ZP M dn (x1 + x2)y = x1y + x2y, x(y1 + y2) = xy1 + xy2 (1) α(xy) = (αx)y = x(αy), (2) Z zU/ 5j9CXwMS 1 _tLI K "_} >VL yxm /P"Jj9Yd4. KK"_V L 'y 11 0}>VL U x_?xP }>L (xy)z = x(yz), (3) 10