曲面积分第二十二章第一节第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义一 讠设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数。对曲面S作分割，它把S分成n个小区面块 S,(i=1,2,·n以△S,记小曲面块‘S 的面积，分割T的细度|T=max(S,的直径在's 上任取一点(sj,ni,5,)i=1,2,.,n)，若极限im.2(e,n,5)As,T→(
第二十二章 曲面积分 第一节 第一型曲面积分 一、第一型曲面积分的概念 定义一 设S是空间中可求面积的曲面， f (x, y,z) 为定义在S 上的函数。对曲面S作分割，它把S分成n个小区面块 S (i n) i =1,2, 以 Si 记小曲面块 的面积，分割T的细度 i S i 的直径 i n T S = 1 max 在 上任取一点 ， i S ( )(i n) i i i , , =1,2, , 若极限 ( ) = → n i i i i i T f S 1 0 lim , ,
(0)存在且与分割T和(s,ni,5)(i=1,2,..,n)的取法无关则称此极限为f（x,y,z)在S上的第一型曲面积分记作(1)JJ f (x, y,=)ds3于是前面讲到的曲面块的质量可利用第一型曲面（1）积分求得。特别地，于(x,y,)=时，曲面积分『。dS就S是曲面块S的面积
( )( ) ( ) ( ) ( ) , , 1,2, , , , , , 1 i i i s T i n f x y z S f x y z dS = 存在且与分割 和 的取法无关， 则称此极限为 在 上的 记作 于是前面讲到的曲面块的质量可利用第一型曲面 (1) 积分 求得。 , , 1 ( ) s f x y z dS S 特别地， 时，曲面积分 就 是曲面块 的面积。 第一型曲面积分 (1)
二、第一型曲面积分的计算定理22.1设有光滑曲面S: z = z(x,y),(x, y)eDf(x,y,z)为S上的连续函数，则[ f(x, y,z)= [ f(x, y,z(x, y,)/1+z, +z, dxdy>(2)DD
二、第一型曲面积分的计算 定理22.1 设有光滑曲面 S :z = z(x, y),(x, y)D, f (x, y,z)为S上的连续函数，则 ( ) ( ( )) 2 2 , , , , , , 1 2 x y D D f x y z f x y z x y z z dxdy = + + （ ）
dsrds,其中S是球面例1计算2+2＋z2=α2被平面z=h(O<h<α)所截的顶部(图1)Zh0yX图1
例 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 , 0 1 . s dS S z x y z a z h h a + + = = 计算 其 中 是 球 面 被 平 面 所 截 的 顶 部 图 h x o y z 图 1
解曲面S的方程为z=Va2-x?17定义域为圆域：x2＋2≤α2-ha由于+2-x-y所以有公式（2）求得dsadxd21-x
解 曲面S的方程为 , 2 2 2 z = a − x − y 定义域为圆域： 由于 2 2 2 2 2 1 x y a z z a x y + + = − − 所以有公式（2）求得 − − = s D dxdy a x y a z dS 2 2 2 2 2 2 2 x y a h + −
-h-adrOar-a?-r2dr= -元a ln (a2 - r2)la2-h2a= 2a元 lnh
rdr a r a d a h − − = 2 2 0 2 2 2 0 dr a r r a a r − − = 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 2 0 2 2 ln | a h a a r − = − − 2 ln . h a = a
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曲面积分第二十二章第二节第二型曲面积分一、曲面的侧设M为连通曲面S上任一点，L为S上任一经过点M，且不超出S边界的闭曲线。又设M为动点，它在M.处与M.与有相同的法线方向，且有如下特性:当M从M.出发沿L连续移动，这时作为曲面上的点M，它的法线方向也连续地变动。最后当M沿L回到M.时，若这时M的法线方向任与M.的法线方向相一致，则说这曲面S是双侧曲面
第二十二章 曲面积分 第二节 第二型曲面积分 一、曲面的侧 0 0 0 0 M S L S M S M M M 设 为连通曲面 上任一点， 为 上任一经过点 ，且不超出 边界的闭曲线。又设 为动点，它在 处与 与有相同的法线方向，且有如下特性： 0 0 0 M M L M M L M M M S 当 从 出发沿 连续移动，这时作为曲面上的点 ，它的法线方向也连续地变动。最后当 沿 回到 时，若这时 的法线方向任与 的法线方向相一致，则 说这曲面 是 双侧曲面
若与M.的法线方向相反，则说S是单侧曲面通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与轴正向的夹角成锐角的一侧为正侧，则另一侧为负侧当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧，二、第二型曲面积分概念定义1 设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数，在S所指定的一侧作分割T，它把S分为n个小曲面S,S2,S,,S,,分割T的细度T=max[S,的直径}，△S,,AS,_,△S,分别表示S,在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由S的方向来确定
若与M S 0 的法线方向相反，则说 是 ( ) 当 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。 正方向与 轴正向的夹角成锐角的一侧为正侧，则另一侧为负侧。 通常由 所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线 S z z = z x, y 单侧曲面。 二、第二型曲面积分概念 1 2 3 1 , , , , , , max , , yz zx xy n i i i i i i n i P Q R S S T S n S S S S T T S S S S S S = 设 为定义在双侧曲面 上的函数，在 所指定的 一侧作分割 ，它把 分为 个小曲面 分割 的细度 的直径 ， 分别表示 在三个坐标面上 的投影区域的面积，它们的符号由 的方向来确定。 定义1
如S,的法线正向与z轴正向成锐角时，S,在xy平面的投影区域的面积△S，为正。反之，若S法线正向与z轴正向成钝角时，它在xy平面的投影区域的面积△S，为负。在各个小区面S,上任取一点(si,ni,S)。若m.2 P(s, n.5)as. + Jm.n.Zo(s,ni,5,μs,T不i-1=1Z R(s,ni,5,)AS,存在且与曲面S的分割T+ limITI->0i-1和(ci,ni,5)在S,上的取法无关，则称此极限为函数P,Q,R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分
xy xy i i i i i S z S xy S S z xy S 如 的法线正向与 轴正向成锐角时， 在 平面的投影 区域的面积 为正。反之，若 法线正向与 轴正向成钝角 时，它在 平面的投影区域的面积 为负。 在各个小区面Si i i i 上任取一点( , , )。若 ( ) ( ) yz z x i n i i i i T n i i i i i T P S + Q S = = → 1 0 1 0 lim , , lim , , ( ) 0 1 lim , , xy n i i i i T i R S S T → = + 存在且与曲面 的分割 ( , , ) , , i i i i S P Q R S 和 在 上的取法无关，则称此极限为函数 在曲面 所指定的一侧上的 第 二型曲面积分