一、主要定理和定义 定理一 ( ) , ( )d . C f z B f z z C 如果函数 在单连通域 内处处解析 那末积分 与连结起点及终点的路线 无关 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理:
B B 0 z 1 z 0 z 1 z C1 C2 C1 C2 0 1 如果起点为 , , z z 终点为 = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z = 1 0 ( )d z z f z z 0 1 1 如果固定 , , , z z B z z 让 在 内变动 并令 = 0 ( ) ( )d . z z B F z f = 便可确定 内的一个单值函数
0 ( ) , ( ) ( )d , ( ) ( ). z z f z B F z f B F z f z = = 如果函数 在单连通域 内处处解析 那末函数 必为 内的一个解 析函数 并且 定理二 证 利用导数的定义来证. B 设 , z B 为 内任一点 z , z B K 以 为中心作一含于 内的 小圆 K
B z K 取 , + z z z K 充分小使 在 内 z + z F(z + z) − F(z) = − + z z z z z f f 0 0 ( )d ( )d 由于积分与路线无关, 0 0 ( )d , z z z f z z + 的积分路线可先取 到 然后从 z 沿直线到 z + z, 0 z • 0 ( : ( )d ) z z f 注意 这一段与 的 路线相同 由 ( ) , F z 的定义
于是 ( ) ( ) F z z F z + − = ( )d , z+z z f ( )d z z z f z + = 因为 z+z z f (z) d = f (z)z, B z K z + z 0 z • ( ) ( ) ( ) F z z F z f z z + − − 所以 ( )d ( ) 1 f f z z z z z − = + [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z − = +
B z K z + z 0 z • 因为 ( ) , f z B 在 内解析 所以 ( ) , f z B 在 内连续 故 0, 0, 使得满足 , − z K 的一切 都在 内 即 , z 时 总有 ( ) ( ) , f f z − 由积分的估值性质, ( ) ( ) ( ) f z z F z z F z − + −
( ) ( ) ( ) f z z F z z F z − + − [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z − = + | ( ) ( )| d 1 f f z z z z z − + . 1 = z z 0 ( ) ( ) lim ( ) 0, z F z z F z f z → z + − − = 于是 即 ( ) ( ). F z f z = 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. [证毕]
2. 原函数的定义: ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) . z B f z z f z z f z B = 如果函数 在区域 内的导数为 即 那末称 为 在区域 内 的原函数 0 ( ) ( )d ( ) . z z F z f f z = 显然 是 的一个原函数 原函数之间的关系: f z( ) . 的任何两个原函数相差一个常数 证 设 ( ) ( ) ( ) , G z H z f z 和 是 的任何两个原函数
( ) ( ) ( ) ( ) G z H z G z H z 那末 − = − = f (z) − f (z) 0 于是 ( ) ( ) . G z H z c − = ( ) c 为任意常数 如果 ( ) ( ), f z B F z 在区域 内有一个原函数 那末它就有无穷多个原函数, 一般表达式为F z c c ( ) ( ). + 为任意常数 根据以上讨论可知: [证毕]
3. 不定积分的定义: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )d ( ) . f z F z c c f z f z z F z c + = + 称 的原函数的一般表达式 为任意常数 为 的不定积分 记作 定理三 1 0 1 0 0 1 ( ) , ( ) ( ) , ( )d ( ) ( ) , . z z f z B G z f z f z z G z G z z z B = − 如果函数 在单连通域 内处处解析 为 的一个原函数 那末 这里 为域 内的两点 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)