一、基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧

一、概念的引入 二、对面积的曲面积分的定义

一、问题的提出 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的转动惯量 五、平面薄片对质点的引力 六、小结思考题

1.设一平面薄板(不计其厚度),它在xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为u(x,y)的电 荷,且(x,y)在D上连续,试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷

一、利用换元法计算二重积分 二、利用换元法计算三重积分

一. 二重积分 二. 重积分的性质:

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式

①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限

前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面 区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面 闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这 就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了 空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一 有效方法

有向面积与向量的外积，前面导出二重积分变量代换公式