1.积分的定义 (1)非负简单函数的积分 设(x)=cx(x)是E=E(E可测且两两不交)

本章先介绍集合的外测度定义与性质,然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质,最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积

Lebesgue外测度(外包) m*E=inf{∑:Ec,且为开区间}

1.设E是R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集.证明E Lebesgue是 可测集

1. 设 E 是 1 R 中一族(开的 闭的 半开半闭的)区间的并集. 证明 E 是 Lebesgue 可测集

本讲目的:掌握绝对连续函数的定义,, 熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌 握 Newton-Leibniz-公式成立的充要条件。 重点与难点: Newton-Leibniz-公式的 证明

由定理3.1.1的4)可知:外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是:外测度对一些集合而言无法满足可加性,即人们可构造这样一族互不相 交的集合S(1,2…,满足mUs1<∑ms…,于是我们只有退而求 其次,探索可以限制在什么范围内满足可加性

教学目的 本节利用§2.2 中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积 分打下基础. 本节要点 利用§2.2 一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测 度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集

本章定义了可测函数的 Lebesgue积分,并讨论了新积分的性质、计算方法 及其与旧(Riemman)积分的关系,在条件相当弱(相对 Riemman相应定理条件中 的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理,并利用积分的极限定理获得 了 Riemman可积的本质特征;最后研究了重积分与累次积分的关系

1.设E是R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集.证明E Lebesgue是 可测集 2.设f是R上有界的单调增加函数.证明f在R上几乎处处可导并且f在R 上L可积