《电动力学》课程授课教案（讲义）第七章 带电粒子和电磁场的相互作用

第七章带电粒子和电磁场的相互作用87.1运动带电粒子的势和辐射电磁场1.运动带电粒子的势设带电荷g的粒子在t时刻位于处，以速度这运动，如图1-6-1所示公f-rMpq图1-6-1t时刻粒子的位置为，速度为下-引它在r处（P）点于t=t+时刻产生的标势和矢势分别为c1q(7.1.1)0(r, 1)= 4元s [A(r,1)=4og(7.1.2)4元 [R]式中R=--α(F-)(7.2.3)加上方括号表示是/=1-=时刻的值,即其中粒子的坐标”、速度都是/时c刻的值，它表明，带电粒子在距离为-引处产生势，需要经过一段时间-引。所以这标势和矢势都是推迟势，通常叫做李纳一维谢尔势。N=t-t=!C2.运动带电粒子的场设带电荷g的粒子在t时刻位于处，以速度和加速度a运动。则它在产处

第七章 带电粒子和电磁场的相互作用 §7.1 运动带电粒子的势和辐射电磁场 1. 运动带电粒子的势 设带电荷 q 的粒子在 t' 时刻位于 r'  处，以速度 v  运动，如图 1-6-1 所示。 q p r r r r v 图 1-6-1 t' 时刻粒子的位置为 r'  ，速度为 v  它在 r'  处（ P ）点于 c r r t t ' '   − = + 时刻产生的标势和矢势分别为 R q r t 4 0 1 ( , )   =  （7.1.1） R qv A r t      4 ( , ) 0 = （7.1.2） 式中 c v r r R r r ( ') '       − = − − （7.2.3） 加上方括号表示是 c r r t t | '| '   − = − 时刻的值，即其中粒子的坐标 r'  、速度 v  都是 t' 时 刻的值，它表明，带电粒子在距离为 | r r'|   − 处产生势，需要经过一段时间 c r r t t t | '| '   −  = − = 。所以这标势和矢势都是推迟势，通常叫做李纳一维谢尔势。 2. 运动带电粒子的场 设带电荷 q 的粒子在 t' 时刻位于 r'  处，以速度 v  和加速度 a  运动。则它在 r  处

[-”时刻产生的电磁场，可以把李纳一维谢尔势代入以下两式于1=1CaAE=-Vp-(7.1.4)at和H-IxA(7.1.5)oaA算出。注意：以上两式右边的√β，和√×A都是t时刻的值。算出的结果为atr-(-P)x(F-P_E-))xayCCE(r,1) =R3c'R34元80(7.1.6))x(F-r)a.(r-r)vx(r-r)+CRax(r-r)qH(r,t) =(7.1.7)R3C'R34元以上两式中的方括号表示其中的产、和ü都是/=1--引时刻的值。C3.自有场和辐射场由（7.1.6）（7.1.7）两式可见，运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。部分与加速度a无关，叫做自有场；另一部分与加速度a有关，叫做辐射场-（1）自有场(1-7qE.(7.1.8)R34元509H.(7.1.9)R34元

于 c r r t t | '| '   − = + 时刻产生的电磁场，可以把李纳一维谢尔势代入以下两式 t A E   = − −    （7.1.4） 和 H A   =   0 1  （7.1.5） 算出。注意：以上两式右边的  ， t A    和 A   都是 t 时刻的值。算出的结果为              − −  − − + − − − − = 3 2 3 2 2 0 ) } | '| ) ( ') {( ' | '| (1 )( ' 4 ( , ) c R v a c r r r r r r R v c r r r r c v q E r t                 （7.1.6）              −  − +  − + −  − = 3 2 3 2 2 ( ') ( ') ( ') (1 ) ( ') 4 ( , ) c R a r r v r r CRa r r R v r r c v q H r t                （7.1.7） 以上两式中的方括号表示其中的 r'  、v  和 a  都是 c r r t t | '| '   − = − 时刻的值。 3. 自有场和辐射场 由（7.1.6）、（7.1.7）两式可见，运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。 一部分与加速度 a  无关，叫做自有场；另一部分与加速度 a  有关，叫做辐射场。 （1）自有场             − − − − = 3 ) | '| (1 )( ' 4 2 2 0 R v c r r r r c v q ES         （7.1.8）             −  − = 3 2 2 (1 ) ( ') 4 R v r r c v q HS      （7.1.9）

这部分场的特点是：E，和H、都是与距离产-引的平方成反比。因此，场的能量主要集中在粒子附近，并随粒子一起运动，所以叫做自有场。自有场可由库仑场通过洛伦兹变换求出。（2）辐射场[(r-P")(f-r-)xa)qE.=(7.1.10 )4元60R3H =[a-(C-F)x(-F)+cRax(-)(7.1.11)R34元c2L这部分场的特点是：E、和H，都是与距离-的一次方成反比。因此，场的能量分布在较大的范围内，并由粒子所在处向外辐射，所以叫做辐射场

这部分场的特点是： ES  和 HS  都是与距离 | r r'|   − 的平方成反比。因此，场的 能量主要集中在粒子附近，并随粒子一起运动，所以叫做自有场。自有场可由库 仑场通过洛伦兹变换求出。 （2）辐射场              − −  − − = 3 0 ) } | '| ( ') {( ' 4 R v a c r r r r r r q Ea            （7.1.10）        −  − +  − = 2 3 ( ') ( ') ( ') 4 R a r r v r r cRa r r c q Ha            （7.1.11） 这部分场的特点是： ES  和 HS  都是与距离 | r r'|   − 的一次方成反比。因此，场的能 量分布在较大的范围内，并由粒子所在处向外辐射，所以叫做辐射场

87.2带电粒子加速运动时发出的辐射1、辐射场和能流密度带电荷g的粒子做加速运动时，它的辐射场（7.1.10）和（7.1.11）可化为e, x((e,)xa!qE.(7.2.1)4元6℃v.e,IF-PI(-H, =Eoce, xE.(7.2.2)式中P-P'(7.2.3 )e.[r-r代表（-7)方向上的单位量。辐射场的能流密度为e,xlleXTcq(7.2.4)S, =E, xH,=8ocEe, =IF-PP(_E16元80c3辐射场的能量密度为s.1(7.2.5)(E +μH)=EQa=2c2、辐射功率t'时刻，粒子在单位时间内辐射出的能量（辐射功率）为(×a)?q(7.2.6)P(t')6元6c?V(1

§7.2 带电粒子加速运动时发出的辐射 1、辐射场和能流密度 带电荷 q 的粒子做加速运动时，它的辐射场（7.1.10）和（7.1.11）可化为              − −  −  = 3 2 0 | '| (1 ) {( ) } 4 c v e r r a c v e e c q E r r r a            （7.2.1） a r Ea H ce    =  0  （7.2.2） 式中 | '| ' r r r r er      − − = （7.2.3） 代表 (r r')   − 方向上的单位矢量。 辐射场的能流密度为                  − −  −  =  = = r r r r a a a a r e c v e r r a c v e e c q S E H cE e            2 6 2 3 0 2 2 0 | '| (1 ) {( ) } 16   （7.2.4） 辐射场的能量密度为 c S E H E a a a a a  = + = = 2 0 2 0 2 0 ( ) 2 1     （7.2.5） 2、辐射功率 t' 时刻，粒子在单位时间内辐射出的能量（辐射功率）为 3 2 2 2 2 2 2 0 (1 ) ( ) 1 6 ( ') c v v a c a c q P t − −  =     （7.2.6）

3、三种特殊情况下的辐射（1）低速运动时的辐射当粒子运动的速度比光速小得多，即<<c时，（7.2.1）式中含有的项均可略去。这时辐射场可近似写成[e, x(é, xa)qE.=-(7.2.7)4元cF-引H. =Soce, ×E.(7.2.8)这时以g为原点，以a为极轴取球极坐标，如图1-6-2akverCe@O图1-6-2则有(7.2.9)é,x(é,xa)=asinQeg代入（7.2.7）式，然后与第四章s4.3的电偶极辐射场比较，可以看出，低速（V<<c）运动的带电粒子所发出的辐射，相当于电偶极矩为1p=-(7.2.10)0的振荡电偶极子发出的辐射。辐射的能流密度为q2[a’sin20S. =-(7.2.11)16元60℃F-P辐射功率为q'a?P(t') =(7.2.12)6元0c3

3、三种特殊情况下的辐射 （1）低速运动时的辐射 当粒子运动的速度比光速小得多，即 v  c 时，（7.2.1）式中含有 c v 的项均 可略去。这时辐射场可近似写成         −   = ' ( ) 4 2 0 r r e e a c q E r r a         （7.2.7） a r Ea H ce    =  0  （7.2.8） 这时以 q 为原点，以 a  为极轴取球极坐标，如图 1-6-2 Φ eθ er a 图 1-6-2 则有   e e a a e r r     (  ) = sin （7.2.9） 代入（7.2.7）式，然后与第四章§4.3 的电偶极辐射场比较，可以看出，低速 （ v  c ）运动的带电粒子所发出的辐射，相当于电偶极矩为 p qa   2 1  = − （7.2.10） 的振荡电偶极子发出的辐射。 辐射的能流密度为       − a = r e r r a c q S     2 2 3 0 2 2 | '| sin 2 16    （7.2.11） 辐射功率为 3 0 2 2 6 ( ') c q a P t  = （7.2.12）

这个公式通常叫做拉莫尔（Larmor）公式。（2）al/的情况这时以g为原点，a为极轴，取球极坐标（参看图（1-6-2））则因2 x(e,-2)xa)=asine(7.2.13 )C故辐射场可写成asin gqE.(7.2.14)4元8℃1IF-P(-COs?)3(7.2.15)H. =eoce, xE.辐射的能流密度为q2a?sin?(7.2.16)S.16元60℃1[F- (1-cos0)6C辐射功率为q'a?P(t) :(7.2.17)6元6c1单位立体角内的辐射功率为qa’sin"?dP(t)(7.2.18 )de16元*60c3(1-cos0)C带电粒子运动时，因撞击而减速时所发出的辐射，通常叫做致辐射。（3）al的情况这时带电粒子在和a构成的平面内运动。以为原点，为极轴取球极坐标系如图1-6-3，并以粒子所在平面为=0平面，则因

这个公式通常叫做拉莫尔（Larmor）公式。 （2） a v   // 的情况 这时以 q 为原点， a  为极轴，取球极坐标（参看图（1-6-2））则因   a a e c v e e r r     ( ) = sin        −  （7.2.13） 故辐射场可写成             − − =      e c v r r a c q Ea     3 2 0 | '| (1 cos ) sin 4 （7.2.14） a r Ea H ce    =  0  （7.2.15） 辐射的能流密度为             − − a = r e c v r r a c q S     2 6 2 2 3 0 2 2 | '| (1 cos ) sin 16     （7.2.16） 辐射功率为 3 2 2 3 0 2 2 6 (1 ) ( ') c v c q a P t − =  （7.2.17） 单位立体角内的辐射功率为 3 5 0 2 2 2 2 16 (1 cos ) ( ') sin     c v c q a d dP t − =  （7.2.18） 带电粒子运动时，因撞击而减速时所发出的辐射，通常叫做轫致辐射。 （3） a v   ⊥ 的情况 这时带电粒子在 v  和 a  构成的平面内运动。以 q 为原点， v  为极轴取球极坐 标系如图 1-6-3，并以粒子所在平面为  = 0 平面，则因

ya0dx图1-6-3a的情况(7.2.19 )e.-a=asinecosd(7.2.20)e,.v=vcos故Vcos0)a)xa)=asinecosg(e(7.2.21)e,xile, -(1_-cCP所以这时的辐射场由（7.2.1）式变为7cosの)aasincose,2EaC(7.2.22 )4元℃Ir-'(1-cos0)3CHa=8oce,xE.(7.2.23 )辐射功率为q'a?(7.2.24)P(t) =6元c(1-单位立体角内的辐射功率为cos0)2 -(1(1-))sin0cosΦq’a?dP(t')C(7.2.25)16元60c3do(1-cos0)sC

x y z p q a er r V θ Φ 图 1-6-3 a v   ⊥ 的情况 er  a = asin cos   （7.2.19） er  v = vcos   （7.2.20） 故 a c v c v a a e c v e e r r r        {( − ) } = sin  cos ( − ) − (1− cos ) (7.2.21) 所以这时的辐射场由（7.2.1）式变为             − − − − − = 3 2 0 | '| (1 cos ) sin cos ( ) (1 cos ) 4       c v r r a c v c v a e c g E r a       （7.2.22） a r Ea H ce    =  0  （7.2.23） 辐射功率为 2 2 2 3 0 2 2 6 (1 ) ( ') c v c q a P t − =   （7.2.24） 单位立体角内的辐射功率为 5 2 2 2 2 2 3 0 2 2 2 (1 cos ) (1 cos ) (1 )sin cos 16 ( ')       c v c v c v c q a d dP t − − − − =  （7.2.25）

87.3带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用1、电磁质量带电粒子的自有场与粒子形成一个不可分割的整体。自有场是库仑场，它的能量W。主要集中在粒子附近。根据狭义相对论，这部分能量具有相应的质量W(7.3.1)mam"这个质量通常叫做该粒子的电磁质量。因W。的值与电荷分布有关，所以mem也就与粒子所带电荷q的分布有关。假定q均匀分布在半径为r的球面上，则W._1q(7.3.2)mam==24n5gcr假定q均匀分布在半径为r的球体内，则W3q(7.3.3 )mm==54元5gc*r2、经典电子半径假定我们所观测到的电子质量（9.11×10-31千克）全部是电磁质量，则由（7.3.2）或（7.3.3）式就可以算出电子半径r来。由于目前并不知道电子内部电荷是如何分布的，所以就略去（7.3.2）或（7.3.3）式右边的系数，把e?4元e,mc2= 2.82 ×10s 米(7.3.4)re=2这个值只是我们用经典理论对电子的大小所作的一种估算，并不表示电子就真的是这样大。因为对于处理象电子这样的微观客体来说，需要用量子理论，经典理论已不适用。即使在今天的量子理论里，关于电子本身的结构和它的电磁质

§7.3 带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用 1、电磁质量 带电粒子的自有场与粒子形成一个不可分割的整体。自有场是库仑场，它的 能量 We 主要集中在粒子附近。根据狭义相对论，这部分能量具有相应的质量 2 c W m e em = （7.3.1） 这个质量通常叫做该粒子的电磁质量。 因 We 的值与电荷分布有关，所以 mem 也就与粒子所带电荷 q 的分布有关。假 定 q 均匀分布在半径为 r 的球面上，则 c r q c W m e em 2 0 2 2 2 4 1  = = （7.3.2） 假定 q 均匀分布在半径为 r 的球体内，则 c r q c W m e em 2 0 2 2 5 4 3  = = （7.3.3） 2、经典电子半径 假定我们所观测到的电子质量（ -31 9.1110 千克）全部是电磁质量，则由 （7.3.2）或（7.3.3）式就可以算出电子半径 r 来。由于目前并不知道电子内部 电荷是如何分布的，所以就略去（7.3.2）或（7.3.3）式右边的系数，把 15 2 0 2 2.82 10 4 − = =  mc e re   米 （7.3.4） 这个值只是我们用经典理论对电子的大小所作的一种估算，并不表示电子就 真的是这样大。因为对于处理象电子这样的微观客体来说，需要用量子理论，经 典理论已不适用。即使在今天的量子理论里，关于电子本身的结构和它的电磁质

量等问题也还没有解决。1980年7月丁肇中教授宣布他由实验测量得出电子的半径小于1×10-18米。3、辐射反作用当电荷q的粒子以加速度a运动时，它要发出辐射，辐射带走了能量，粒子能量因而减少。这相当于辐射有一种力作用在粒子上产生的结果。通常把这种力（F。）叫做辐射反作用力或辐射阻尼力。根据能量守恒定律，F。对粒子作功的功率，应等于粒子辐射功率的负值，即F.-V=-P(7.3.5)在非相对论的情况下（<<c), P=c由此得出，若粒子作周期性6元60c3。B运动，则F-oe(7.3.6)实际上，这个F。所代表的是一个周期内辐射对粒子作用的一种平均效应，而不是瞬时力。在通常情况下，F。比作用在粒子上的其他力小得多，可以略去不计。4、谱线的自然宽度当带电粒子作简谐振动时，由于受到辐射阻尼力的作用，它将衰减振动。这种振动发出的辐射便不是单色波，而是具有一定频率分布的电磁波。作为一种近似，我们用电子在原子中作衰减振动的模型，来估算原子发光时谱线的自然宽度设作用在电子上的弹力为-kr，辐射阻尼力为F。，则d'r--ki+F--k+(7.3.7)F1dt?6元8c3dt3

量等问题也还没有解决。 1980 年 7 月，丁肇中教授宣布，他由实验测量得出，电子的半径小于 18 1 10−  米。 3、辐射反作用 当电荷 q 的粒子以加速度 a  运动时，它要发出辐射，辐射带走了能量，粒子 能量因而减少。这相当于辐射有一种力作用在粒子上产生的结果。通常把这种力 （ Fa ）叫做辐射反作用力或辐射阻尼力。根据能量守恒定律， Fa 对粒子作功的 功率，应等于粒子辐射功率的负值，即 Fa  v = −P （7.3.5） 在非相对论的情况下（ v << c ）， 3 0 2 2 6 c q c P  = 。由此得出，若粒子作周期性 运动，则 dt da c q Fa 3 0 2 6 = （7.3.6） 实际上，这个 Fa 所代表的是一个周期内辐射对粒子作用的一种平均效应，而不 是瞬时力。 在通常情况下， Fa 比作用在粒子上的其他力小得多，可以略去不计。 4、谱线的自然宽度 当带电粒子作简谐振动时，由于受到辐射阻尼力的作用，它将衰减振动。这 种振动发出的辐射便不是单色波，而是具有一定频率分布的电磁波。作为一种近 似，我们用电子在原子中作衰减振动的模型，来估算原子发光时谱线的自然宽度。 设作用在电子上的弹力为− kr ，辐射阻尼力为 Fa ，则 3 3 3 0 2 2 2 6 dt d r c e kr F kr dt d r m a   = − + = − + （7.3.7）

把F作为微扰，求得近似解为e-iep(7.3.8)r=roe式中k(7.3.9)0=Yme'o?(7.3.10)Y:6元8gmc3电子振动能量衰减到原值的一时，所经历的时间t叫做振子的寿命（即原子C处在激发态的寿命）对于可见光来说，（7.3.10）式给出1(7.3.11)兰10-8秒T:y这个结果与实验大致符合。辐射场的电场强度E，与电子的位移成正比例，故得e~iepE.-Ee'(7.3.12)由此求得，单位频率间隔辐射出的能量为1dwa-Mo(7.3.13)do2元(@-00)° +()州降到最大值（在。处）的一半的宽度（参看图1-6-4）叫做谱线的通常把da自然宽度。dor0图1-6-4谱线的自然宽度

把 Fa 作为微扰，求得近似解为 i t t r r r e e 2 0 0 −  − = （7.3.8） 式中 m k 0 = （7.3.9） 3 0 2 0 2 6 mc e    = （7.3.10） 电子振动能量衰减到原值的 e 1 时，所经历的时间  叫做振子的寿命（即原子 处在激发态的寿命）。对于可见光来说，（7.3.10）式给出 8 10 1 − =    秒 （7.3.11） 这个结果与实验大致符合。 辐射场的电场强度 Ea 与电子的位移 r 成正比例，故得 i t t r a E E e e 2 0 0 −  − = （7.3.12） 由此求得，单位频率间隔辐射出的能量为 2 2 0 0 ) 2 ( ) ( 1 2        − + = I d dW （7.3.13） 通常把   d dW 降到最大值（在 0 处）的一半的宽度（参看图 1-6-4）叫做谱线的 自然宽度。 o dWω dω ωo ω 图 1-6-4 谱线的自然宽度