《电动力学》课程授课教案（讲义）第二章 静电场

第二章?静电场82.1静电场的标势及其微分方程1、静电场的标势（1）静电场的基本方程V.D=p(2.1.1 )或f.D.ds=Q(2.1.2 )VxE=0(2.1.3 )或fE.dl =0(2.1.4)其中电荷o是封闭曲面S包住的自由电荷的代数和，p是自由电荷密度。（2）静电场的电势在静电场中，根据（2.1.3）式知道有势函数@存在，使得E=-V(2.1.5 )如果在无穷远处的电场强度为零，一般便选。=8为电势参考点，这时由上式得空间一点P(r)的电势为p(r)= ["E.dr(2.1.6)①点电荷的电势由库仑定律可得处（源点）的点电荷Q在产处（场点）产生的电势为0g()=二(2.1.7)4元起斤-②电势叠加原理分立的点电荷系所产生的电势为17.9p(r)=(2.1.8 )4元起

第二章 静电场 §2.1 静电场的标势及其微分方程 1、静电场的标势 （1）静电场的基本方程  D =   （2.1.1） 或   = S D dS Q   （2.1.2）  E = 0  （2.1.3） 或   = L E dl 0   （2.1.4） 其中电荷 Q 是封闭曲面 S 包住的自由电荷的代数和，  是自由电荷密度。 （2）静电场的电势 在静电场中，根据（2.1.3）式知道有势函数  存在，使得 E = −  （2.1.5） 如果在无穷远处的电场强度为零，一般便选 r0 =   为电势参考点，这时由上 式得空间一点 P(r)  的电势为 ( )   =  r r E dr      （2.1.6） ① 点电荷的电势 由库仑定律可得 ' r  处（源点）的点电荷 Q 在 r  处（场点）产生的电势为 ( ) ' 4 1 r r Q r    − =   （2.1.7） ② 电势叠加原理 分立的点电荷系所产生的电势为 ( )  − = i i i r r Q r ' 4 1      （2.1.8）

连续分布的电荷所产生的电势为o()=二[pv(2.1.9)4元-2、静电势所满足的微分方程和边值关系（1）电势的微分方程电势满足方程.(sVp)=-p(2.1.10)在均匀介质内，（2.1.10）式可化为Vp=-P(2.1.11)这个方程叫泊松方程。式中p是自由电荷密度。如果p=0则（2.1.11）式便化为拉普拉斯方程Vp=0(2.1.12)（2）电势的边值关系在介电常数不同的两种介质交界面上，电势?满足下列边值关系(2.1.13 )9=P2001 -8,002=0(2.1.14 )GanOn其中π是由介质1指向介质2的单位法向矢量，是交界面上的自由电荷面密度。如果介质1是导体，则以上两式分别化为9,=常量(2.1.15)02=-0和(2.1.16)62-on3、静电场能量电荷分布在区域V内，密度为p(），所具有的静电能量为

连续分布的电荷所产生的电势为 ( ) ( )  − = V r r r dV r ' ' 4 1         （2.1.9） 2、静电势所满足的微分方程和边值关系 （1）电势的微分方程 电势  满足方程 () = − （2.1.10） 在均匀介质内，（2.1.10）式可化为     = − 2 （2.1.11） 这个方程叫泊松方程。式中  是自由电荷密度。如果  = 0 则（2.1.11）式便化 为拉普拉斯方程 0 2   = （2.1.12） （2）电势的边值关系 在介电常数不同的两种介质交界面上，电势  满足下列边值关系 1 =2 （2.1.13）      =   −   n n 2 2 1 1 （2.1.14） 其中 n  是由介质1指向介质2的单位法向矢量，  是交界面上的自由电荷面密度。 如果介质 1 是导体，则以上两式分别化为 1=常量 （2.1.15） 和    = −   n 2 2 （2.1.16） 3、静电场能量 电荷分布在区域 V 内，密度为 (r)   ，所具有的静电能量为

p(r)dv(2.1.17)W=-2J这能量分布在电场中，因此JE.DdV=W=-[cE?dv(2.1.17 )2J2.式中E是上述电荷所产生的电场，积分遍及E不为零的全部空间

W (r) (r)dV V      = 2 1 （2.1.17） 这能量分布在电场中，因此 W E DdV E dV   =  = 2 2 1 2 1    （2.1.17） 式中 E  是上述电荷所产生的电场，积分遍及 E  不为零的全部空间

82.2唯一性定理静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为求解的方法不同，求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇非易事；但如果这些解都满足相同的边界条件，则它们必定相同。其次，对于有些问题，可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确解。1.问题说明假定空间V可以分为若干个小区域V，每一小区域V,内都是充满均匀的，介电常数为s,的各向同性介质。设V内的自由电荷分布p()已知，则在V,内，电势满足泊松方程10, =--(2.2.1)0在两区域V和V，的交界面上，电势满足边值关系(2.2.1)0,=0jd(p)(2.2.1)ConOn2.唯一性定理设区域V内自由电荷的分布p()已知，在V的边界S上给定(i)电势s或do（即E,）（i）电势的法向导数an)

§2.2 唯一性定理 静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊 松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为 求解的方法不同，求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇 非易事；但如果这些解都满足相同的边界条件，则它们必定相同。其次，对于有 些问题，可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求 的条件，它就是该问题的唯一正确解。 1. 问题说明 假定空间 V 可以分为若干个小区域 Vi ，每一小区域 Vi 内都是充满均匀的，介 电常数为 i  的各向同性介质。设 V 内的自由电荷分布 (r)   已知，则在 Vi 内，电势 满足泊松方程    i i 2 1  = − （2.2.1） 在两区域 Vi 和 V j 的交界面上，电势满足边值关系  i =  j （2.2.1）            =        n n j j i i     （2.2.1） 2. 唯一性定理 设区域 V 内自由电荷的分布 (r)   已知，在 V 的边界 S 上给定 （i） 电势  S ， 或 （ii）电势的法向导数 n S         （即 En ）

则V内的电场便唯一确定。3.有导体存在时的唯一性定理设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布p(），并给定（i）每个导体上的电势，或（ii）每个导体上的总电荷Q，，(ap）值，则V内的电场便唯一地确定。以及V的边界S上的βs或(on）s

则 V 内的电场便唯一确定。 3. 有导体存在时的唯一性定理 设区域 V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 (r)   ，并给定 （i）每个导体上的电势  i， 或 （ii）每个导体上的总电荷 Qi， 以及 V 的边界 S 上的  S 或 n S         值，则 V 内的电场便唯一地确定

82.3拉普拉斯方程分离变量法1、笛卡儿坐标系拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为a'+*+=0(2.3.1)axay20z?设电势(x,y,=)可分离变数，即p(x,y,=)=X(x)y(y)z()，则拉氏方程可分为以下三个方程1d'X--k?(2.3.2)X dx?1d'Y=-?(2.3.3 )Y dy?1d'Z=k2+(2.3.4)Z dz?由此得方程的通解为p(x,y,z)=(Au coskx+ A2 sin kx)(Bu, cos lx + B2, sin bx)(CiuevPtf: +Cave-Ver:)(2.3.5)式中各常数Ak，A2k，Bu，Bu，Ck/，C2k，等由问题的具体条件决定。2、柱坐标系拉氏方程为1a(0)+1app=0(2.3.6)r设电势p(r,Φ,-)可分离变数，即p(r,Φ,=)=R(r)p()z(),代入上式求得z()的解为(2.3.7)Z(-)= C, cosh bz + C, sinh bz

§2.3 拉普拉斯方程 分离变量法 1、笛卡儿坐标系 拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为 0 2 2 2 2 2 2 =   +   +   x y z    （2.3.1） 设电势 (x, y,z) 可分离变数，即 (x, y,z) = X(x)Y(y)Z(z) ，则拉氏方程可分 为以下三个方程 2 2 2 1 k dx d X X = − （2.3.2） 2 2 2 1 l dy d Y Y = − （2.3.3） 2 2 2 2 1 k l dz d Z Z = + （2.3.4） 由此得方程的通解为 ( , , ) ( cos sin )( cos sin ) 1 2 , 1 2 x y z A k x A k x B lx B lx l l k l  =  k + k + ( ) k l z k l k l z k l C e C e 2 2 2 2 1 , 2 , + − + + (2.3.5) 式中各常数 A1k ， A2k ， B1l ， B2l ，C1k ,l ，C2k ,l 等由问题的具体条件决定。 2、柱坐标系 拉氏方程为 0 1 1 2 2 2 2 =   +    +          r r z r r r     （2.3.6） 设电势 (r,,z) 可分离变数，即 (r,,z) = R(r)()Z(z) ，代入上式求得 Z(z) 的解为 Z(z) C coshbz C sinh bz = 1 + 2 （2.3.7）

d(d)的解为D(p)= C, cosap+ C, sin ap(2.3.8)在0≤Φ<2元内，符合物理实际的解必须是单值的，因此a必须是整数。R(r)的解为R(r)=C,J. (br)+C,N,(br)(2.3.9)式中(-1)"/J.(br)=(2.3.10 )=0 m!r(a+m+1)和N,(br)= (cosaz),(br)-J(br)(2.3.11)sin a元其中级数J(br)是α阶第一类贝塞耳函数，如果a=n（整数），则在幂级数中的伽玛函数Ia+m+1)可以用（n+m）！来代替。N。(br）是a阶第二类贝塞耳函数。函数N。(br)在r=0附近的奇异性与1,r相似。因此，只要已知r=0处的电势是有限的，在解中就不包含N。（br），即系数C.为零。3、球坐标系球坐标系中拉氏方程为1p1%(%)+.%(sin0%)+-0(2.3.12 )ararsinl00sin000设电势p(r,0,9)可分离变数，即g(r,0,9)=R(r)0(0)p()，且在=0和元时(pr,0,Φ)为有限值，则拉氏方程（2.3.12）的通解为

() 的解为 () = C3 cos a +C4 sin a （2.3.8） 在 0    2 内，符合物理实际的解必须是单值的，因此 a 必须是整数。 R(r) 的解为 R(r) C J (br) C N (br) = 5 a + 6 a （2.3.9） 式中 ( ) ( ) ( )   = +  + +       − = 0 2 ! 1 2 1 m a m m a m a m br J br （2.3.10） 和 ( ) ( ) ( ) ( )   a a J br J br N br a a a sin cos − − = （2.3.11） 其中级数 J(br) 是 a 阶第一类贝塞耳函数，如果 a = n （整数），则在幂级数中的 伽玛函数 (a + m +1) 可以用 (n + m)! 来代替。 N (br) a 是 a 阶第二类贝塞耳函数。 函数 N (br) a 在 r = 0 附近的奇异性与 l rn 相似。因此，只要已知 r = 0 处的电 势是有限的，在解中就不包含 N (br) a ，即系数 C6 为零。 3、球坐标系 球坐标系中拉氏方程为 0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 =    +           +                   r r r r r r （2.3.12） 设电势 (r,,) 可分离变数，即 (r,,) = R(r)( )() ，且在  = 0 和  时 (r,,) 为有限值，则拉氏方程（2.3.12）的通解为

0(r,0,0)=2(amr" +)p(cos0)cosmo1+1(2.3.13)+2(car+)r(o)i m11.m(式中P"(cosの)是连带勒让德多项式。如果问题具有轴对称性（m=0），通解为0(r,0)-2(ar +P(cose(2.3.14)/41=0式中P(cosの)是勒让德多项式。通解中的系数aim，bim，Clm，dlm或ar、b,等由问题的具体条件确定

( ) ( ) (  )       P m r d C r P m r b r a r m l l m l l l m l m m l l m l l l m l m cos sin , , cos cos , 1 , 0 1    +  = +       + +       = + （2.3.13） 式中 (cos ) m Pl 是连带勒让德多项式。 如果问题具有轴对称性（ m = 0 ），通解为 ( , ) (cos ) 0 1 l l l l l l P r b r  a r  = +       = + （2.3.14） 式中 (cos ) Pl 是勒让德多项式。 通解中的系数 lm a ， lm b ， lm c ，dlm 或 l a 、 l b 等由问题的具体条件确定

82.4镜像法1、平面边界(1）无限大导体平面外的点电荷点电荷0到电势为零的无限大导体平面的距离为a，如图1-2-1，电像q=-q在导体平面的另一侧，与导体平面的距离为α。则导体外的电势为11p(x,y,=)=4元0Jx2 + y2 +(=-)Yx? +y? +(z+a)?, (= ≥0) (2.4.1 )↓z导体面上的感应电荷面密度atn真空为o1Xmgy导体apaa80OnY9'=-qqa2元 (x2 + y2 +0图1-2-1(2.4.2 )导体面上的总感应电荷为[odS = -q(2.4.3 )导体上感应电荷吸引点电荷q的力为q?F(2.4.4)16元a感应电荷与点电荷的相互作用能为1q(2.4.5)U4元84a（2）劈形导体平面间的点电荷

§2.4 镜像法 1、平面边界 (1) 无限大导体平面外的点电荷 点电荷 Q 到电势为零的无限大导体平面的距离为 a ，如图 1-2-1，电像 q = −q ' 在导体平面的另一侧，与导体平面的距离为 a 。则导体外的电势为 ( ) ( ) ( )         + + + − + + − = 2 2 2 2 2 2 0 1 1 4 , , x y z a x y z a q x y z    ，(z  0) （2.4.1） 导体面上的感应电荷面密度 为 ( )2 3 2 2 2 0 0 2 | x y a q a n z + + = −   = − =     （2.4.2） 导体面上的总感应电荷为  dS = −q （2.4.3） 导体上感应电荷吸引点电荷 q 的力为 n a q F   2 0 2 16 = − （2.4.4） 感应电荷与点电荷的相互作用能为 a q U 4 4 1 2  0 = − （2.4.5） （2）劈形导体平面间的点电荷

如图1-2-2，两无限大导体平板电势为零，夹角为0(0≤元）。其间有一点电荷q，点电荷q的幅角为6。，与角的顶点O的距离为a。g有多重电像，当α=≥(n为整数)时，电像的个数为（2n-1）个，2元-0(2.4.6)=2n-10所有电像均位于以为圆心，a为半径的圆周上。诸电像的位置为2元2(n-1) +0。 共(n-1)个。4元+0。+0q:nnn2元4元共n个。-0。-0。：，2元-0。／q:nn“时电像的分布图。共有七个电图1-2-2是=A像。（3）介质平面外的点电荷两无穷大的均匀介质的介电常数分别为和6,交界面为平面。在6中有一自由点电荷q，距1-2-2图交界面为α，如图1-2-3所示。2求z≥0区域（）的解时，可在qiz0区域内距界面为a,处设置电像电荷qi则所求电势β，为

如图 1-2-2，两无限大导体平板电势为零，夹角为 (   ) 。其间有一点电 荷 q ，点电荷 q 的幅角为  0 ，与  角的顶点 O 的距离为 a 。 q 有多重电像，当 n   = (n 为整数)时，电像的个数为（2n-1）个， 2 1 2 = − − n    （2.4.6） 所有电像均位于以 O 为圆心， a 为半径的圆周上。诸电像的位置为 q ： 0 2   + n ， 0 4   + n ，.， ( ) 0 2 1   + − n n ， 共 (n −1) 个。 − q ： 0 2   − n ， 0 4   − n ，.，2 − 0 ， 共 n 个。 图 1-2-2 是 4   = 时电像的分布图。共有七个电 像。 （3） 介质平面外的点电荷 两无穷大的均匀介质的介电常数分别为 1  和 2  交界面为平面。在 1  中有一自由点电荷 q ，距 交界面为 a ，如图 1-2-3 所示。 求 z  0 区域 ( ) 1  的解时，可在 z  0 区域内距界面为 2 a 处设置一电像 电荷 ' 2 q 。则所求电势 1 为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ' 2 1 2 2 2 1 1 4 1 4 1 , , x y z a q x y z a q x y z + + + + + + − =      （2.4.7） 求 z  0 区域（ 2  ）的解时，可在 z>0 区域内距界面为 1 a 处设置电像电荷 ' 1 q ， 则所求电势  2 为