电动力学讲稿·第五章重电磁波的辐射第五章电磁波的辐射上一章研究了电磁波的传播问题。本章研究电磁波的辐射问题，通常运动电荷会向外辐射电磁波（如果电荷的运动具有加速度），在许多情况下，需要提高（或降低）电磁波辐射功率，这需要对辐射电磁波的体系进行专门设。.这是一专门的研究领域。天线辐射电磁波，电磁波对天线中流动的电流有作用，会改变电磁波的辐射，这是一个复杂的过程，无论任何电磁波问题，涉及天线和天线外两种不同的介质。$1电磁场的矢势和标势用势描述电磁场VxE=-aB(1)atVxi_OD+j(2)atV.D=p(3)V.B=0(4)引入矢势A，VxA=B(5)矢势A的物理意义：在任一时刻，A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路的磁通量。将（5）代入（1）式得aAE+=0Vxat可以令E+ataAE=-Vp-(6)at1
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 1 第五章 电磁波的辐射 上一章研究了电磁波的传播问题。 本章研究电磁波的辐射问题，通常运动电荷会向外辐射电磁波（如果电荷的运动具有 加速度），在许多情况下，需要提高（或降低）电磁波辐射功率，这需要对辐射电磁波的体 系进行专门设。.这是一专门的研究领域。 天线辐射电磁波，电磁波对天线中流动的电流有作用，会改变电磁波的辐射，这是一 个复杂的过程，无论任何电磁波问题，涉及天线和天线外两种不同的介质。 §1 电磁场的矢势和标势 一、 用势描述电磁场 t B E ∂ ∂ ∇ × = − K K （1） J t D H G K G + ∂ ∂ ∇ × = （2） ∇ ⋅ D = ρ K （3） ∇ ⋅ B = 0 G （4） 引入矢势 A G ， A B K G ∇ × = （5） 矢势 A G 的物理意义：在任一时刻， A G 沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路的磁通 量。 将（5）代入（1）式得 = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∇ × + t A E K K 可以令 = −∇ϕ ∂ ∂ + t A E K K t A E ∂ ∂ = −∇ − K G ϕ （6）
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射讨论：1）是标量，仍可视为（标）势函数：2）一般情况下，β不仅与E有关，而且与磁场有关，它不再具有电势的物理意义。aA当=0时，只与E有关，且由（6）式at=V×E=0aAaB=VX0A由=0,==0，磁场不随时间而变，一般E也不随时间变化，此时的势atatat函数才有电势的意义。规范变换和规范不变性二、标势β和矢势A与电磁场的关系aAE=-Vp-at(7)B=VxA求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。但实际上，势函数(β,A)与场量(E,B）并不是一一对应的，如果作变换A=A'=A+Vy(8)ay'=p-D0at有V×A=VxA+Vx(Vy)=VxA=BaA'aA=-0+()aAa(Vy)=E-Vo'-Voatat(at)atat讨论：1）可见(β,A)与(E,B)不是一一对立的，由于的任意性，有多组(β,A)对应同一组(E,B），每组（,A）称为一种规范，（8）式称为规范变换。2）不同规范对应相同的观测量（E，B），即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律保持不变——规范不变性。3）在量子论中，E和B并不能描述电磁场的全部物理属性。例如：在A-B效应中，在非2
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 2 讨论： 1）ϕ 是标量，仍可视为（标）势函数； 2）一般情况下，ϕ 不仅与 E K 有关，而且与磁场有关，它不再具有电势的物理意义。 当 = 0 ∂ ∂ t A K 时，ϕ 只与 E K 有关，且由（6）式 ⇒ ∇ × E = 0 K 由 = 0 ∂ ∂ t A K ， = 0 ∂ ∂ = ∇ × ∂ ∂ ⇒ t A t B K K ，磁场不随时间而变，一般 E G 也不随时间变化，此时的势 函数才有电势的意义。 二、 规范变换和规范不变性 标势ϕ 和矢势 A G 与电磁场的关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∇ × ∂ ∂ = −∇ − B A t A E G K K G ϕ （7） 求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。 但实际上，势函数( , A ) G ϕ 与场量(E, B ) G G 并不是一一对应的，如果作变换 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ⇒ ′ = − ⇒ ′ = + ∇ t A A A ψ ϕ ϕ ϕ ψ G K K （8） 有 A A ( ) A B K K K K ∇ × ′ = ∇ × + ∇ × ∇ψ = ∇ × = ( ) E t A t t A t t A K K G G = ∂ ∂ = −∇ − ∂ ∂ ∇ − ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = −∇ + ∇ ∂ ∂ − ∇ − ϕ ψ ψ ϕ ϕ ' ' 讨论： １）可见( , A ) G ϕ 与(E, B ) G G 不是一一对立的，由于ψ 的任意性，有多组( , A ) G ϕ 对应同一组 (E, B ) G G ，每组( , A ) G ϕ 称为一种规范，（8）式称为规范变换。 ２）不同规范对应相同的观测量（ E K , B K ），即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律 保持不变——规范不变性。 3）在量子论中， E G 和 B G 并不能描述电磁场的全部物理属性。例如：在 A－B 效应中，在非
电动力学讲稿第五章电磁波的辐射单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分A·di描述，积分6A·dl是有实际意义的物理量，对矢势作规范变换fA-di -f(A+Vy).di=fA.di +fdy=fA.di即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。说明：d-%dl=di-%d+%d+%dalaxaaytz关于规范不变性1）在经典电动力学，（p,A）的引入是为了给出电磁场的（一种辅助）描述方法，没有(p,A），（E,B）对电磁场的描述也是完全的，规范不变性是这种描述方法所具有的数学特征：在量子论中，（E,B）并不能描述电磁场的全部性质，（β，A）的地位也远比经典电动力学中重要的多，规范不变性是作为量子论的基本原理引入的，是一条重要的物理原理。2）在物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场，电磁场就是一种规范场。三、两种常用规范由（7）式E--Vo-01atB=VxA可见，只是通过B限制了矢量场A的旋度。只限制旋度，不能完全的确定矢量场，要确定矢量场，还必须规定失量场的散度。然而，上述式子未规定矢量场的散度，也就是矢量场的散度可以任意选取。对于每个选取的矢量场的散度，就确定了一组（，A），也就是对应势函数的一种规范。矢量场的散度具有人为任意性，适当地选取便于问题的描述（物理意义清楚）或解决（求解相对容易）。最常用的两种规范：1）库仑规范选择A的散度V.A=0(9)V.A=0意味着矢量场A是个无源场，无源场也称为横场（分析涡旋线）；在电场3
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 3 单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分 ∫ A⋅ dl G G 描述，积分 ∫ A⋅ dl G G 是有实际意义的物理量，对矢势作规范变换 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A⋅dl = A + ∇ ⋅ dl = A⋅ dl + d = A⋅ dl K K K K K K K K ' ( ψ) ψ 即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。 说明： dz z dy y dx x dl dl l d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ K 。 关于规范不变性： 1） 在经典电动力学， ( , A ) G ϕ 的引入是为了给出电磁场的（一种辅助）描述方法，没有 ( , A ) G ϕ ，(E, B ) G G 对电磁场的描述也是完全的，规范不变性是这种描述方法所具有的数 学特征；在量子论中，(E, B ) G G 并不能描述电磁场的全部性质，( , A ) G ϕ 的地位也远比经 典电动力学中重要的多，规范不变性是作为量子论的基本原理引入的，是一条重要的物 理原理。 2） 在物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作 用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场， 电磁场就是一种规范场。 三、 两种常用规范 由（7）式 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∇ × ∂ ∂ = −∇ − B A t A E G K K G ϕ 可见，只是通过 B G 限制了矢量场 A G 的旋度。只限制旋度，不能完全的确定矢量场，要确定 矢量场，还必须规定矢量场的散度。然而，上述式子未规定矢量场的散度，也就是矢量场的 散度可以任意选取。对于每个选取的矢量场的散度，就确定了一组( , A ) G ϕ ，也就是对应势 函数的一种规范。 矢量场的散度具有人为任意性，适当地选取便于问题的描述（物理意义清楚）或解决（求 解相对容易）。最常用的两种规范： 1） 库仑规范 选择 A G 的散度 ∇ ⋅ A = 0 K （9） ∇ ⋅ A = 0 K 意味着矢量场 A G 是个无源场，无源场也称为横场（分析涡旋线）；在电场
电动力学讲稿·第五章电磁波的辐射OAE=-VO-at中，-Vβ为无旋场（V×（-Vβ）=0），无旋场也称为纵场（分析点电荷的电力线）。可见，在库仑规范下，对于电场的描述分为两部分，横场部分完全由A描述，纵场部aA分完全由β描述。即：（-Vβ）对应库仑场（电荷激发的电场），（-）对应感应电场（变at化的磁场激发的电场）（例如：磁场变化，穿过闭合线圈的磁通量发生变化，线圈中有感应电场，其电力线闭合）。2）洛伦兹规范选择A的散度.A=-1，即c2atV.A+1-0(10)c2at在这种规范下，下面将看到，关于势的方程简化为很简单的对称的形式，对于处理问题特别方便。（9）和（10）式为人为加上的辅助条件，它们的引入，使得量场能够被确定，实现势函数(β，A)与场量(E,B）的对应，它们也分别称为库仑规范条件和洛伦兹规范条件。四、达朗贝尔方程势函数(gA)与场量(E,B）具有（7）式aAE=-Vp-at(8)B=VxA描述的关系。Maxwell方程是关于场量(E,B）的方程，由上式可得关于势函数（β,A）的方程，在真空中V×(V×A)=V×B=μV×HaE= μoJ + oHo Ia(-V0-A= μoJ + EoHo 司(-ata2A(V0)-E0H0 0r=HJ-8Moat又（P.343（I.25）式）×(V×A)= v(v. A)- ?A4
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 4 t A E ∂ ∂ = −∇ − K G ϕ 中， − ∇ϕ 为无旋场（∇× (−∇ϕ) = 0 ），无旋场也称为纵场（分析点电荷的电力线）。 可见，在库仑规范下，对于电场的描述分为两部分，横场部分完全由 A G 描述，纵场部 分完全由ϕ 描述。即：（− ∇ϕ ）对应库仑场（电荷激发的电场），（ t A ∂ ∂ − K ）对应感应电场（变 化的磁场激发的电场）（例如：磁场变化，穿过闭合线圈的磁通量发生变化，线圈中有感应 电场，其电力线闭合）。 2） 洛伦兹规范 选择 A G 的散度 c t A ∂ ∂ ∇ ⋅ = − ϕ 2 K 1 ，即 0 1 2 = ∂ ∂ ∇ ⋅ + c t A K ϕ （10） 在这种规范下，下面将看到，关于势的方程简化为很简单的对称的形式．对于处理问题特别 方便。 （9）和（10）式为人为加上的辅助条件，它们的引入，使得矢量场能够被确定，实现 势函数( , A ) G ϕ 与场量(E, B ) G G 的对应，它们也分别称为库仑规范条件和洛伦兹规范条件。 四、 达朗贝尔方程 势函数( , A ) G ϕ 与场量(E, B ) G G 具有（7）式 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∇ × ∂ ∂ = −∇ − B A t A E G K K G ϕ （8） 描述的关系。Maxwell 方程是关于场量(E, B ) G G 的方程，由上式可得关于势函数( , A ) G ϕ 的方 程，在真空中 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t A t J t A t J t E J A B H ∂ ∂ ∇ − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ − ∂ ∂ = + ∂ ∂ = + ∇ × ∇ × = ∇ × = ∇ × K K K K K K K K G μ ε μ ϕ ε μ μ ε μ ϕ μ ε μ μ 又（P.343（I.25）式） ( A) ( A) A K K K 2 ∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射1且800所以α?AOV(V.A)-V?A=μoJ-6oMo-(V0)-800at?Ot可得VA-102A(v.A+)=-μoJ(9)c? at?at又,aAE=-V0-at(v.A)V.E=-V?0-(10)at由于.E-，所以60%(v.A)=-PV?@+(11)at60（9）和（11）式给出势函数的运动方程（运动：随时间变化）VA-10A/v.A+10)=-μoJ?at?c2 at(12)%(v.A)=-PV0+at60它们的推导没有采用任何规范条件，适用于一般的规范。1）对于库仑规范[v--(0)-- catc? at?(13)Vp=-60特点是：标势能满足的方程与静电场相同，其解是库仑势2）对洛伦兹规范1 0p注意到V.A=，由（12）式c?atVA-102A=-μojc2at?(14)1@=-PVp-c?at?60特点是：矢势和标势满足相同的方程。上述方程称为达朗贝尔方程。5
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 5 且 0 0 2 1 c ε μ = ，所以 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 2 t A t A A J ∂ ∂ ∇ − ∂ ∂ ∇ ∇ ⋅ − ∇ = − K K K K μ ε μ ϕ ε μ 可得 J c t A t A c A K K K K 2 2 0 2 2 2 1 1 μ ϕ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∇ − （9） 又， t A E ∂ ∂ = −∇ − K K ϕ ( A) t E K K ∇ ⋅ ∂ ∂ ⇒ ∇ ⋅ = −∇ ϕ − 2 （10） 由于 0 ε ρ ∇ ⋅ E = K ，所以 ( ) 0 2 ε ρ ϕ ∇ ⋅ = − ∂ ∂ ∇ + A t K （11） （9）和（11）式给出势函数的运动方程（运动：随时间变化） ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = − ∂ ∂ ∇ + ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∇ − 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ε ρ ϕ μ ϕ A t J c t A t A c A K K K K K （12） 它们的推导没有采用任何规范条件，适用于一般的规范。 1） 对于库仑规范 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ = − ∇ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ − 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ε ρ ϕ ϕ μ J t c t A c A K K K （13） 特点是：标势能满足的方程与静电场相同，其解是库仑势． 2） 对洛伦兹规范 注意到 c t A ∂ ∂ ∇ ⋅ = − ϕ 2 K 1 ，由（12）式 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∂ ∂ ∇ − = − ∂ ∂ ∇ − 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ε ϕ ρ ϕ μ c t J t A c A K K K （14） 特点是：矢势和标势满足相同的方程。上述方程称为达朗贝尔方程
电动力学讲稿第五章电磁波的辐射方程（14）表明，离开电荷和电流区域后，它变为波动方程，说明矢势和标势也以波动形式在空间中传播（是非物理的波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征，不像E和B，它们的波动性与规范的选择没有关系）。6
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 6 方程（14）表明，离开电荷和电流区域后，它变为波动方程，说明矢势和标势也以波动 形式在空间中传播（是非物理的波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征， 不像 E G 和 B G ，它们的波动性与规范的选择没有关系）
电动力学讲稿●第五章重电磁波的辐射$2推迟势考察对象：位于原点的点电荷，其电量与1有关，记为Q(）。在t时刻，该点电荷的电荷密度p(x, t) = Q(0).8()(1)达朗贝尔方程100---0(0)s(x)Vo-(2)c?at?60达朗贝尔方程的解（r±0处）点电荷激发的场应该是球对称的，选择球坐标是方便的。在球坐标下，β应与和Φ无关，只与r有关（β具有球对称性）。利用√?的球坐标形式，在r0处，有1 0(200)100=0(3)ararcat?注意到（2）时在r≠0空间是波动方程，所以应具有波动形式的解（有等相面的概念）。又，系统具有球对称性，所以等相面是以点电荷为球心的球面（否则，球对称性被打破，即该系统在各方向并不等价，系统存在特殊的方向。（等相面为球面的波为球面波，最简单的球面波具有形式-expi(kr-@t))。对于所考查方程的解，也应是平面波。令0(r.1)=—u(r,1)(4)1（3）式变为aula'uL=0(5)or22at?(5)式的通解为u(r,t)= A,J+Ag(t+f和g是两个任意函数。故，在r+0处的势函数?解具有如下形式：7
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 7 §2 推迟势 考察对象：位于原点的点电荷，其电量与t 有关，记为Q(t) 。 在t 时刻，该点电荷的电荷密度 ( ) x t Q(t) (x) K K ρ , = ⋅δ （1） 达朗贝尔方程 Q() ( ) t x c t G δ ε ϕ ϕ 0 2 2 2 2 1 1 = − ∂ ∂ ∇ − （2） 一、 达朗贝尔方程的解（r ≠ 0处） 点电荷激发的场应该是球对称的，选择球坐标是方便的。在球坐标下，ϕ 应与θ 和φ 无 关，只与 r 有关（ϕ 具有球对称性）。利用 2 ∇ 的球坐标形式，在 r ≠ 0 处，有 0 1 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ r c t r r r ϕ ϕ （3） 注意到（2）时在 r ≠ 0 空间是波动方程，所以应具有波动形式的解（有等相面的概念）。又， 系统具有球对称性，所以等相面是以点电荷为球心的球面（否则，球对称性被打破，即该系 统在各方向并不等价，系统存在特殊的方向。 等相面为球面的波为球面波，最简单的球面波具有形式 （ exp ( ) 1 i kr t r − −ω ）。 对于所考查方程的解，也应是平面波。令 ( ) u( ) r t r r t , 1 ϕ , = （4） （3）式变为 0 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t u r c u （5） (5)式的通解为 ( ) , ( ) 1 2 c r A g t c r u r t A f t ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − f 和 g 是两个任意函数。 故，在 r ≠ 0 处的势函数ϕ 解具有如下形式：
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射rgl t+CCp(r,t)= A,(6)+A,A，A,及f和g由边界条件决定。讨论：上述两项有不同的物理意义。1第一项：等相面由Φ=t_决定。对一定相位值Φ。的面，满足Φ。=t-。所以，ccdr等相面移动速度为=C，它为正表明等相面沿产方向移动。dtdr第二项：同理可得等相面移动速度为=-C，它为负表明等相面沿（-r)方向移动。dt。所以，第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。e对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。#二、达朗贝尔方程的解（含r=0）一个点电荷激发电场的电势为g4元80注意到Q随时间变化，对于辐射问题，在t时刻r处的电场不是由t时刻，而是由C刻的电荷9决定的。即，从物理上，可以猜测，势函数β的解为1(7)p(r,t) =4元.r由前面的分析可知，在r≠0空间，（7）式满足达朗贝尔方程。现在的问题是，在r=0点及其邻域，是否满足达朗贝尔方程。考虑球心在原点（r=0），半径为n（（很小）的球体积，计算如下积分：(--)I=[4元r2dr 1(8)上述积分中的第二项101 =-11a[4m,0](-)]dr=-0(-)gdr8
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 8 ( ) r c r g t A r c r f t r t A ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 ϕ , （6） A1， A2 及 f 和 g 由边界条件决定。 讨论： 上述两项有不同的物理意义。 第一项：等相面由 c r Φ = t − 决定。对一定相位值Φ0 的面，满足 c r Φ0 = t − 。所以， 等相面移动速度为 c dt dr = ，它为正表明等相面沿 r K 方向移动。 第二项：同理可得等相面移动速度为 c dt dr = − ，它为负表明等相面沿( r) K − 方向移动。 z 所以，第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。 z 对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。 ＃ 二、 达朗贝尔方程的解（含r = 0） 一个点电荷激发电场的电势为 r Q 0 4πε 注意到Q 随时间变化，对于辐射问题，在t 时刻 r 处的电场不是由t 时刻，而是由 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c r t 时 刻的电荷 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c r Q t 决定的。即，从物理上，可以猜测，势函数ϕ 的解为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − c r Q t r r t 0 4 1 ( , ) πε ϕ （7） 由前面的分析可知，在 r ≠ 0 空间，（7）式满足达朗贝尔方程。 现在的问题是，在 r = 0 点及其邻域，是否满足达朗贝尔方程。 考虑球心在原点（ r = 0 ），半径为η （(很小)的球体积，计算如下积分: ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∇ − η πε π 0 0 2 2 2 2 2 4 1 1 4 c r Q t c t r I r dr （8） 上述积分中的第二项 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = − ′′ − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = − η η ε π πε 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1 4 4 1 1 rdr c r Q t c r dr c r Q t c t r I
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射当n→0时，-)~Q")，所以1I, α→0(9)积分「中的第一项[4元r?drI.=其中在√2的作用下，有三种项：（I）对Q的两次微商项；（II）对O的一次微商和对一的一次微商的乘积项；（II）对一的两次微商项。其中：第（I）类项α㎡2→0；第（II）1类项αn→0；只有第（IⅢI）类项可能不为零。所以11, =[4mr’dr -(10)4元起利用√?！=-4元8())]-4元0(3)] V = _ 20)1 = 4ne.06利用（9）、（10）两式-= 1 + 1, =- 20[4m (--)(11)C二0(0)6()算体积分，结果为对于前面的小体积，再对60二0()6(3)]--20)[4元-”dr(12)6060比较（11）和（12）式，在r=0及其邻域，有7?_100(0)s(3)2%即，（7)式p(r,t)=满足达朗贝尔方程。4元.1C三、其他情形达朗贝尔方程的解1．点电荷不在原点设点电荷在x处。9
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 9 当η → 0 时， ( ) Q ( )t c r Q′′ t − ≈ " ，所以 0 2 I 2 ∝η → （9） 积分 I 中的第一项 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∇ − η πε π 0 0 2 2 1 4 1 4 c r Q t r I r dr 其中在 2 ∇ 的作用下，有三种项：（Ⅰ）对Q 的两次微商项；（Ⅱ）对Q 的一次微商和对 r 1 的 一次微商的乘积项；（Ⅲ）对 r 1 的两次微商项。其中：第（Ⅰ）类项 0 ∝ η2 → ；第（Ⅱ） 类项∝ η → 0 ；只有第（Ⅲ）类项可能不为零。所以 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − η πε π 0 2 0 2 1 1 4 1 4 c r r I r dr Q t （10） 利用 ( ) x r G 4πδ 2 1 ∇ = − [ ] ( ) ( ) 0 0 0 1 4 4 1 ε πδ πε η Q t x dV c r I Q t ⎟ − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ G 利用（9）、（10）两式 ( ) 0 1 2 0 0 2 2 2 2 2 4 1 1 4 πε ε π η Q t I I c r Q t c t r I r dr ⎥ = + = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∇ − ∫ （11） 对于前面的小体积，再对 () ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Q t x G δ ε 0 1 算体积分，结果为 () ( ) ( ) 0 0 0 2 1 ' 4 ε δ ε π η Q t I r dr Q t x ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ∫ G （12） 比较（11）和（12）式，在 r = 0 及其邻域，有 Q() ( ) t x c r Q t c t r G δ πε ε 0 0 2 2 2 2 1 4 1 1 ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∇ − 即，（7）式 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − c r Q t r r t 0 4 1 ( , ) πε ϕ 满足达朗贝尔方程。 三、 其他情形达朗贝尔方程的解 1． 点电荷不在原点 设点电荷在 x′ K 处
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射p(x, 1) =(13)Xr4元60C作坐标平移变换元”=x－x，即可证明（13）式满足达朗贝尔方程。电荷连续分布的带电体2.由（13）式，对于标势g(x,1)=(14)4T及对于矢势A(x,t)= Hodr(15)均满足达朗贝尔方程。四、关于洛伦兹规范条件达朗贝尔方程，是由Maxwel1方程在洛伦兹规范条件下导出的势函数满足的方程，所以，在物理上，还应要求上面得到的势函数A与β满足洛伦兹规范条件。设 1=1-CV.A(,)=[v(av4元现将对的微商变为对的微商，注意到r=区-刘，所以→-V；又，对于J(x,)而言，原来的√不对又作用（要求刘不变），换成√后对J(，)中双有作用，要扣除这个作用。所以(,)_(,)不变μoldvV. A(x,t)=V4元Lr注:(J(x',t)).J(,)(J(,t))+V区-刘（区-刘L不变不变#上述积分空间应包含所有电流分布，根据Gauss定理，上式第一项积分为零，所以HorV. A(x,1)= 4-vj(x,t)不变dv(16)4元又，10
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 10 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − c r Q x t r x t , 4 1 , 0 K K πε ϕ （13） 作坐标平移变换 x′′ = x − x′ K K K ，即可证明（13）式满足达朗贝尔方程。 2． 电荷连续分布的带电体 由（13）式，对于标势 ( ) , ' 1 4 1 , 0 dV c r x t r x t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − ∫ K K ρ πε ϕ （14） 及对于矢势 ( ) , ' 1 4 , 0 dV c r J x t r A x t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − ∫ K K K π μ （15） 均满足达朗贝尔方程。 四、 关于洛伦兹规范条件 达朗贝尔方程，是由 Maxwell 方程在洛伦兹规范条件下导出的势函数满足的方程，所以， 在物理上，还应要求上面得到的势函数 A G 与ϕ 满足洛伦兹规范条件。 设 c r t′ = t − ( ) ( ) ∫ ′ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ' , ' 4 , 0 dV r J x t A x t K G K π μ 现将对 x G 的微商变为对 x' G 的微商，注意到 r x x' G G = − ，所以∇ → −∇'；又，对于 J ( ) x ,t' K G ′ 而 言，原来的∇ 不对 x' G 作用（要求 x' G 不变），换成∇'后对 J (x ,t') K G ′ 中 x' G 有作用，要扣除这个作 用。所以 ( ) ( ) ( ) ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ⋅ ′ − ′ ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ ' , ' ' , ' ' 4 , 0 ' dV r J x t r J x t A x t t 不变 K G K G K π μ 注： ( ) ( ) ( ) 不变 不变 ＋ ' ' ' , ' ' ' , ' ' , ' ' t x x x J x t x x J x t r J x t G G G K G G G K G K G ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ ∇ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∇ ⋅ ′ ∇ ⋅ ＃ 上述积分空间应包含所有电流分布，根据 Gauss 定理，上式第一项积分为零，所以 ( ) ( ) ∫ ∇ ⋅ = ∇'⋅ ′, ' ' 1 4 , ' 0 J x t dV r A x t t 不变 K G K π μ （16） 又