
推迟势5. 2 1-1
1-1 5.2 推迟势

本节讨论空间存在电荷和电流分布情况下达朗贝尔方程的解。一,标势和矢势的达朗伯方程的解标势方程中p=p(x,t)为已知。若p(x,t)较复杂,直接得到一般解比较困难。本节先从一个点电荷出发,然后由迭加原理得到解。1-2
1-2 标势方程中 为已知。若 较 复杂,直接得到一般解比较困难。本节先从 一个点电荷出发,然后由迭加原理得到解。 (x,t) = (x,t) 本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。 一. 标势和矢势的达朗伯方程的解

1,点电荷在空间激发的标势设点电荷处于原点,p(x,t)=Q(t)(x),考虑对称性取球坐标且 β=β(r,t)与,无关。标势的达朗贝尔方程化为:a1aO(t)s(r)P*2.at2Orar6001CC当r≠0时,福natadr1duu(r,t)令 (r,t)=3atO11-3
1-3 设点电荷处于原点, ,考虑对称性 取球坐标且 与 无关。标势的达朗贝 尔方程化为: (x,t) Q(t) (x) = = (r,t) , 当 r 0 时, 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 r r r r c t − = 1. 点电荷在空间激发的标势 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) ( ) Q t r r r c t r r − = − * r u r t r t ( , ) ( , ) = 2 2 2 2 2 1 0 u u r c t − = 令

这个类似于一维波动方程的解可以表示为:(r≠0)f(t -g(t+ ru(r,t)= f(t--)+ g(t+=)p(r,t) =CC1f(t-%)由于讨论代表向外传播的球面波辐射问题rg(t +=)= 0g(t+ /)代表向内收敛的球面波Q(t-%与点电荷电势类比有:(r,t)4元80rQ(x',t - I若点电荷不在原点而在空间x点:β(x,t)=4元80r可以证明上述解的形式满足*式1-4
1-4 r c r f (t − ) r c r g(t + ) 代表向外传播的球面波 代表向内收敛的球面波 这个类似于一维波动方程的解可以表示为: ( , ) ( ) ( ) c r g t c r u r t = f t − + + r c r g t r c r f t r t ( ) ( ) ( , ) + + − = (r 0) 与点电荷电势类比有: r c r Q t r t 0 4 ( ) ( , ) − = ( + ) = 0 c r g t 由于讨论 辐射问题 若点电荷不在原点而在空间 x 点: r c r Q x t x t 0 4 ( , ) ( , ) − = 可以证明上述解的形式满足*式

2.连续电荷分布在空间产生的电势dvp(x,t)= 4元80r3. 矢势A 的解由于A满足的方程形式上与①满足的方程一样的:类比得到I(XoA(x,t) :dy4元JV11-5
1-5 2. 连续电荷分布在空间产生的电势 0 ( , ) ( , ) V 4 r x t c x t dV r − = 3. 矢势 A 的解 dV r c r J x t A x t V − = ( , ) 4 ( , ) 0 由于 满足的方程形式上与 满足的方程一样, 类比得到 的解: A A

a二.证明、A满足洛仑兹条件V.A0at. A=Lo T V.J(x,t)证: 令t'=t-/ =t'(t,x,x)4元= j(x, )+(x, )a4aj(x,t).1 aj(x,t)1 a(x,t)Vt'=rV'rV.J(x,t) =at'at'at'ccaj(x,t)V'tV'.J(x",t)= V'. J(x",tat'Vr =-V'r-1aj(x,t).= V.J(x,t)lc-.V'r-cat'V.J(x',t) = V'.J(x',t)-V'.J(x',t)1-6
1-6 二.证明 、 A 满足洛仑兹条件 2 1 A 0 c t + = 证:令 ( , , ) r t t t t x x c = − = = A dV r J x t V ( , ) 4 0 0 1 1 [ ( , ) ( , ) ] 4 J x t J x t dV r r = + ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) J x t J x t J x t J x t t r r t c t c t = = − = = − r r ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) t c t c J x t J x t J x t t t J x t J x t r c t = = = + = − J (x ,t ) J (x ,t ) J (x ,t ) t c = − =

V.A=[v'. J'(x',t)V".J(x,t)+ J(x',t)"-ldv"dv4元t=c1I'(x,t)rdS=0WoV'dv''.J'(x,t)4元t=c11ap1 op(x,t) ot'1 op(x,Jodvdv2atat'at4元0at'y4元 JV r1app(x,t)po[V'".J'(x,t)V.AdV'=02atat'4元11电荷守恒定律01-7
1 - 7 A = = J x t d V r t c ( , ) 1 4 0 − + dV r J x t J x t r ] 1 ( , ) ( , ) 1[ 0 1 ( , ) 4 t c J x t dV r = = J x t ( , ) dV r ( , ) 0 S J x t dS r = = 2 2 0 1 1 1 ( , ) 4 V x t t dV c c t r t t = 0 1 ( , ) 4 V x t dV r t = = + c t A 2 1 0 1 ( , ) [ ( , ) ] 0 4 t c x t J x t dV r t = + = 0 电荷守恒定律

三:推迟势及其物理意义1.推迟势势函数在空间点,t 时刻的值依赖于t-r/时刻的电荷、电流分布,即空间势的建立与场源相比推迟了/。具有这样特性的势称为推迟势。2.电磁相互作用需要时间空间点 x,t时刻的电磁场由 t-r/的时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用在经历了时间t+r/后才到达观察点,即场的建立需要时间,而相互作用的传播速度在真空中为C。1-8
1-8 1.推迟势 势函数在空间 点, 时刻的值依赖于 时刻 的电荷、电流分布,即空间势的建立与场源相比 推迟了 。具有这样特性的势称为推迟势。 x t c r t − c r 空间点 , 时刻的电磁场由 时刻的电 荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的 物理作用在经历了时间 后才到达观察点, 即场的建立需要时间,而相互作用的传播速度在 真空中为C。 c r t + x t c r t − 三.推迟势及其物理意义 2.电磁相互作用需要时间