《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）6-4 相对论理论的四维形式

相对论理论的四维形式6. 4 1-1

1-1 6.4 相对论理论的四维形式

时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。洛伦兹变换是一种线性变换，它体现了四维时空的变换关系。但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？描写物理规律的方程在变换下是否不变？一、关于正交变换1、二维平面上坐标系的转动变换平面上P点的转动变换满足x'= xcos0+ ysin ey'=-xsin + ycos66±1'2±xX-1-2

1-2 时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。 洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系。 但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？ 描写物理规律的方程在变换下是否不变？ 一、关于正交变换 1、二维平面上坐标系的转动变换     = − +  = +     sin cos cos sin y x y x x y 平面上P点的转动变换满足  P x y y  x   2 2 2 2 x + y = x  + y 

sin (xxcosO+ana12正交变换条件y'(- sin 0cosoy(a21a22y0sing1cos0cos -sin0aa ==ad=Icos 0sincos 0福八-sin02、三维空间坐标转动变换X=a1x +a12X2 +ai3X3anai2a13x2 =a21i +a22X2 +a23x =a23X2=aa22a21x =a31 +a32X2 +a33X3X3a32(a31a33口33Zx?-Zx?不变量3x; =Zajxji=1i=1(i-1,2,3)J=I1-3

1-3                 =                − =          y x a a a a y x y x 2 1 2 2 1 1 1 2 sin cos cos sin     cos sin cos sin 1 0 sin cos sin cos 0 1 aa aa I              − = = = =           − 2、三维空间坐标转动变换 1 11 1 12 2 13 3 11 12 13 1 1 2 21 1 22 2 23 3 21 22 23 2 2 3 31 1 32 2 33 3 31 32 33 3 3 x a x a x a x a a a x x x a x a x a x a a a x a x x a x a x a x a a a x x        = + +         = + + = =                   = + + 正交变换条件 3 1 i ij j j x a x =  =  ( 1, 2,3) i = 3 3 2 2 1 1 i i i i x x = = 不变量  = 

凡有重复下标的即要取和爱因斯坦惯例为自由指标，为取和指标3x =x = aj,X, ...(1)aijxj=1(x; =aikX =aix))33≥x?=2Xx,x, = xx)...(2)i=1i=1证明变换为正交变换33333322x, =2[2MMMajXjaikXkajaikXjxi=1i=1 j=lk=1i-l j-l k=l个1i=jX,x, = a,XjaikXk.....(3)0ij3又Ex,x, =EE8ix,xX,x, = x,x, = 8 ix,x...(4)j=1j=l k=l1-4

1-4 爱因斯坦惯例 (1) i ij j x a x  = ( ) i ik k il l x a x a x  = = (2) i i i i x x x x =   ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 i i ij j ik k ij ik j k i i j k i j k x x a x a x a a x x = = = = = = =    = =              3 1 i ij j j x a x =  =  3 3 2 2 1 1 i i i i x x = =  =  (4) i i j j jk j k x x x x x x = =  (3) i i ij j ik k x x a x a x = 凡有重复下标的即要取和， i为自由指标, j为取和指标．   = = = = 3 1 3 1 3 j j k 1 j j j k j k 又 x x  x x 证明变换为正交变换 1 0 i j ij i j   = =   

3比较（3）和（4）可得Zt.tikA1aijaik = jk .....(5)i-1(5)与（6)aa = ad = I.........(6)写成矩阵为正交条件或x;=ajixjX, = aix;反变换式：证明：x, =ajXj两边同乘 αi并对i取和aux, =auaX, = OX, = OjX, = Xix= ax'=a-lxx'=ax写成矩阵：1-5

1-5 比较（3）和（4）可得 (5) ij ik jk a a =  写成矩阵 (6) a ~ a = aa ~ = I 写成矩阵： x ax  =        = = 3 i 1 ij i k j k a a  （5）与（6） 为正交条件 反变换式： l il i x a x =  i ji j 或 x a x =  1 x ax a x − = =   a x a a x x x x il i il ij j lj j lj j l  = = = =   i ij j 两边同乘 ail 证明： x a x  = 并对i 取和

二、物理量按空间变换性质分类标量：空间转动变换中不变的量称为标量例如：质量，电荷，空间距离。u'=u）矢量：空间转动变换中按V, = ajV; (i=1,2,3)i方式变换的量称为矢量，记为v算符等。例如：速度、加速度、力、电场强度、二阶张量：空间转动变换下按T, = aikajiTk方式变换的具有9个分量的物理量，记为T例如：应力张量，电四极矩张量等1-6

1-6 二、物理量按空间变换性质分类 • 标量: 空间转动变换中不变的量称为标量。 u  = u 例如：质量，电荷，空间距离。 例如：应力张量，电四极矩张量等。 T a a T ij ik jl kl  = 方式变换的具有9个分量的物理量，记为 T 。 • 二阶张量：空间转动变换下按 例如：速度、加速度、力、电场强度、 ▽算符等。 • 矢量：空间转动变换中按 i ij j v a v  = (i =1,2,3) 方式变换的量称为矢量，记为 v

使用自由指标判断物理量标量：没有自由指标，又称为零阶张量：量：一个自由指标，又称为一阶张量；张量：两个自由指标，又称为二阶张量。例一：两矢量点积v. W= V,W;，无自由指标为标量Vw, = ajV,aikWk =OjkV,Wk = VjWj = V,W例二：张量与矢量点积.=T,，一个自由指标为矢量Ty', = aikajiTua jm'm=aikemTh'm = aikTh)l1-7

1-7 T v T vij j  = 一个自由指标为矢量 T v a a T a v a T v a T v ij j ik jl kl jm m ik em kl m ik kl l   = = =  例二：张量与矢量点积 i wi v w = v   无自由指标为标量 i i ij j ik k jk j k j j i i v w a v a w v w v w v w   = = = =  例一：两矢量点积 标量：没有自由指标，又称为零阶张量； 矢量：一个自由指标，又称为一阶张量； 张量：两个自由指标，又称为二阶张量。 使用自由指标判断物理量

三、洛伦兹变换的四维形式1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）ux = x,x,转动中的不变量：(μu, v= 1--4).1212412Zxx=Zx+2++4+x"+x4x,x,+X2= xiμ=1v=li，j，k，l,英文小写字母m,n，..．代表13希腊小写字母V, , の, T， K,...L,代表1—4变换表示式：=aμvxyaμgaμa =Sa aa=aa= I正交条件为：1-8

1-8 三、洛伦兹变换的四维形式 1、四维空间的转动变换（三维情况的推广） 转动中的不变量： v v x x x x     = ( , 1 4)  v = − − 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 v v v x x x x x x x x x x x x   = =       + + + = + + +  =   英文小写字母 i j k l m n ， ， ， , 代表1—3 希腊小写字母       ， ， ， ， ， , 代表1—4 变换表示式： x a x     = 正交条件为： a a aa aa I    =  = = 

2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换与转动变换不变量表示形式不同洛伦兹变换下间隔为不变量，即-c?t2x +x? +x2 -c2t2 = ? +x? +x3定义： X4 =ict， x4 =ictx +x? + +x? = ? +2? +x? +×4?xx=xx因此它为复四维空间(xi,X2,X3,X4=ict)的“转动”变该空间又称为闵可夫斯基空间（1907）。v ict=yXi +iβyx4 =X2, x=x3xi =(xi -vt)=yX -=c iZx4 =ict' =icy(t - xi)= yx4 -iβyxi =-iβyxi +yx4C1-9

1-9 2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 x x x c t x x x c t     + + − = + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x           + + + = + + +  = 洛伦兹变换下间隔为不变量，即： 4 4 定义： x ict x ict = = ,   与转动变换不变 量表示形式不同 因此它为复四维空间 ( , , , ) 1 2 3 4 x x x x = ict 该空间又称为闵可夫斯基空间（1907年）。 的“转动”变 换 1 1 1 1 4 ( ) ict x x t x x i x c i   = − = − = +       2 2 3 3 x x x x   = = , 4 1 4 1 1 4 2 x ict ic t x x i x i x x ( ) c    = = − = − = − +     

r=aμvxyEC:= X2auvxaX3= X3x4 = y(-iβxi + x4)X00iβ2Xi(x'= ax)矩阵形式x200011000-1X375(x =ax')x00(-iβyX41-10

1-10 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 x x i x x x x x x i                         =                     − 矩 阵 形 式 x a x     = x a x a x      = =   ) ~ (x = ax  ( ) x ax  = 1 1 4 x x i x  = +   ( ) 2 2 x x  = 4 1 4 x i x x  = − +   ( ) 3 3 x x  =