线性参数的最小二乘法处理 最小二乘法原理 正规方程 >精度估计 组合测量的最小二乘法处理
线性参数的最小二乘法处理 ➢ 最小二乘法原理 ➢ 正规方程 ➢ 精度估计 ➢ 组合测量的最小二乘法处理
、最小二乘法原理 X 1929°·9 X,待测量 19~29 待测量的估计值 H1,Y22…,Yn与待测量有函数关系的直接测量量 几15y2…yn直接测量量的估计值 l1,l2…,n直接测量量的测量值 t待测量的数目 n直接测量量的数目
一、最小二乘法原理 1 2 , ,..., X X Xt 待测量 1 2 , ,..., x x xt 待测量的估计值 1 2 , ,..., Y Y Y n 与待测量有函数关系的直接测量量 1 2 , ,..., n y y y 直接测量量的估计值 1 2 , ,..., n l l l 直接测量量的测量值 t 待测量的数目 n 直接测量量的数目
、最小二乘法原理 H=f1(X1,X2,…,X2) Y2=f2(X1,X2…,X n=fn(X1,X2…,X1) y1=f1(x1,x2,…,x) y2=f2(x1,x2…,x) y=f,( 192.…t
一、最小二乘法原理 Y f ( X , X ,..., X ) 2 2 1 2 = t Y f ( X , X ,..., X ) 1 1 1 2 = t Y f ( X , X ,..., X ) n n t = 1 2 2 2 1 2 t y f ( x , x ,..., x ) = 1 1 1 2 t y f ( x , x ,..., x ) = n n t 1 2 y f ( x , x ,..., x ) =
、最小二乘法原理 l1-y1 v2 ,-y v=l1-f1(x1,x2…,x v2=l2-f2(X1,x2,…,x,) vn=l,-f(x,x2,,x,)
一、最小二乘法原理 1 1 1 v l y = − 1 1 1 1 2 t v l f ( x , x ,..., x ) = − 2 2 2 v l y = − n n n v l y = − 2 2 2 1 2 t v l f ( x , x ,..., x ) = − n n n t 1 2 v l f ( x , x ,..., x ) = −
、最小二乘法原理 如果测量数据的测量误差是无偏的(即排除了系统误 差),相互独立的,且服从正态分布。 设标准差分别为:G1,2…,Cn则测量数据 ,2…出现在相应真值附近ds,db2…,dbn区域 内得概率分别为 ,-8n2a)d6 02/(202)ds 2V22ea220)d5
一、最小二乘法原理 如果测量数据的测量误差是无偏的 （即排除了系统误 差）， 相互独立的，且服从正态分布 。 设标准差分别为 ： 区域 1 2 n , ,..., 1 2 n l ,l ,...,l 出现在相应真值附近 d ,d ,...,d 1 2 n 内得概率分别为 2 2 1 1 2 1 1 1 2 /( ) p e d − = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 /( ) p e d − = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 /( ) p e d − = 则测量数据
、最小二乘法原理 根据概率乘法原理,各测量数据同时出现在相应区域 da1,dδ2,…,dδn内的概率应为 P=p1P2…P -(12/2+2/a2+…+2/ dd 2…an(2z) 待求量最可信赖值的确定,应使得l1,l2…,l同时 出现在真值附近区域的概率P最大。要使P最大应满足 2 最小
一、最小二乘法原理 根据概率乘法原理，各测量数据同时出现在相应区域 d ,d ,...,d 1 2 n 内的概率应为 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 n n n ( / / ... / ) / n n p p p ...p e d ... − + + + = = 待求量最可信赖值的确定，应使得 1 2 n l ,l ,...,l 同时 出现在真值附近区域的概率P最大。要使P最大应满足 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 n n ... + + + = 最小
最小二乘法原理 上述条件中用残余误差代替误差可以得到: 2 "+"+…"=最小 引入权的符号p可得: P1v2+p2v2+…+pnv2=最小 在等精度测量中: 则 v1+17+.+ψ 最小
一、最小二乘法原理 上述条件中用残余误差代替误差可以得到： 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 n n v v v ... + + + = 最小 引入权的符号 p 可得： 2 2 2 p v p v ... p v 1 1 2 2 + + + = n n 最小 在等精度测量中： 1 2 n = = = ... 2 2 2 1 2 n v v ... v + + + = 最小 p p ... p 1 2 = = = n 则
、最小二乘法原理 上式表明,测量结果的最可信赖值应在残余误 差平方和(在不等精度测量的情形中应为加权残余误 差平方和)为最小的条件下求出,这就是最小二乘法 原理。 实质上,按最小二乘条件给出最终结果能充分 地利用误差的抵偿作用,可以有效地减小随机误差 的影响,因而所得结果具有最可信赖性。 必须指出,上述最小二乘原理是在测量误差无 偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的,但在 不严格服从正态分布的情形下也常被使用
一、最小二乘法原理 上式表明，测量结果的最可信赖值应在残余误 差平方和(在不等精度测量的情形中应为加权残余误 差平方和)为最小的条件下求出，这就是最小二乘法 原理。 实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分 地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差 的影响，因而所得结果具有最可信赖性。 必须指出，上述最小二乘原理是在测量误差无 偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在 不严格服从正态分布的情形下也常被使用
、最小二乘法原理 一般情况下,最小二乘法可以用于线性参数 的处理,也可用于非线性参数的处理。由于测 量的实际问题中大量的是属于线性的,而非线性 参数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似 地化成线性的形式。因此,线性参数的最小二乘 法处理是最小二乘法理论所研究的基本内容
一、最小二乘法原理 一般情况下，最小二乘法可以用于线性参数 的处理，也可用于非线性参数的处理。由于测 量的实际问题中大量的是属于线性的，而非线性 参数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似 地化成线性的形式。因此，线性参数的最小二乘 法处理是最小二乘法理论所研究的基本内容
、最小二乘法原理 线性参数的测量方程一般为: Y=auX, 12--2 +…+a1Xr Y2=a21X1+a2X2+…+a2X Y=anX+am2x2+.+anx 相应的估计量为: J1=a111+12X2+…+a1xt J2=a21x1+a2x2+…+a2x ax, 2~2 。十
一、最小二乘法原理 Y a X a X ... a X 1 11 1 12 2 1 = + + + t t 相应的估计量为： 线性参数的测量方程一般为： Y a X a X ... a X 2 21 1 22 2 2 = + + + t t Y a X a X ... a X n n n nt t = + + + 1 1 2 2 1 11 1 12 2 1t t y a x a x ... a x = + + + n n n nt t 1 1 2 2 y a x a x ... a x = + + + 2 21 1 22 2 2t t y a x a x ... a x = + + +