HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH第14章线性动态电路的复频域分析重点：14-1拉普拉斯变换的定义14-2拉普拉斯变换的性质14-3拉普拉斯反变换运算电路14-414-5应用拉普拉斯变换分析电路国下页
14-1 拉普拉斯变换的定义 第14章 线性动态电路的复频域分析 14-2 拉普拉斯变换的性质 14-3 拉普拉斯反变换 14-4 运算电路 14-5 应用拉普拉斯变换分析电路 l 重点：
HHHHHS14-1拉普拉斯变换的定义Definition oftheLaplace Transform对于一阶申路、二阶申路，根据基尔霍夫定律和元件T的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分方程法来求解比较困难（各阶导数在t=0,时刻的值难以确定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。YT时域拉氏变换拉氏逆变换T频域HHHHHHH时域微分求解代数解方程方程优点：不需要确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路回下页文
§14-1 拉普拉斯变换的定义 Definition of the Laplace Transform 对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件 的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分 方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分 方程法来求解比较困难（各阶导数在t=0+时刻的值难以确 定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时 域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。 优点：不需要确定积分常数，适用 于高阶复杂的动态电路
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH相量法：正弦量i +i =i正弦运算简化1←个为复数运算i+i,-i相量拉氏变换定义：一个定义在[0，8）区间的函数,f(t)，它的拉氏变换定义为：F(S) = J f(t)e-s dt+j (复数)式中：S=f(t)称为原函数，是t的函数。F(s)称为象函数，是s 的函数。上页区回下页
相量法： i i i 正弦量 1 2 正弦运算简化 为复数运算 拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函 数 f(t)，它的拉氏变换定义为： 0 F( S ) f (t )e dt st 式中：s = + j (复数) f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。 I I I 相量 1 2
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHF(S) = Jt° f(t)e-" dt拉氏变换存在条件：对于一个函数(t)，若存在正的有限值M和c，使得对于所有t 满足：f(t)≤Mect则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。0积分下限从0_开始，称为0_拉氏变换。0[0积分下限从0.开始，称为0.拉氏变换。积分下限从0_开始，可以计及0时f(t)所包含的冲激区回不页
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足： 0 F( S ) f (t )e dt st ct f ( t ) Me 则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。 积分下限从0开始，称为0拉氏变换 。 积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换 。 0 0 0 积分下限从0开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为：g+jF(S)es" dsf(t)-j8o2元记作: f(t) = L-'[F(s)]特殊情况：当 =0，s=jの，且积分下限为一o时拉氏变换就是傅立叶变换F (jo)=[t f(t)e-ja dt 正变换傅立叶变换F(t)-2元[F(jo)elado 反变换页区回下页
反变换 正变换 2 1 f ( t ) F ( j )e d F ( j ) f ( t )e dt j t j j j t 傅立叶变换 拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反 变换，它定义为： F( S )e ds j f ( t ) st j j 2 1 特殊情况：当 =0，s=j，且积分下限为－∞时， 拉氏变换就是傅立叶变换 ( ) [ ( )] 1 f t L F s 记作：
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例14-1 求以下函数的象函数。(1)指数函数118-(s-a)tLe"| - J e"e-'" dt =-e0s-as-a(2)单位阶跃函数8-stL[e(t)] = Js(t)e-" dt = J e-s" dt = ----e-07SS当a=0时 e-"tε(t)= ε(t)(3)单位冲激函数L[8(t)]= f 8(t)e-" dt= " (t)e-s0 dt=1上页下页区回
(2)单位阶跃函数 (1)指数函数 s a e s a L e e e dt at at st s a t 1 0 1 [ ] ( ) 0 s e s L t t e dt e dt st st st 1 0 1 [ ( )] ( ) 0 0 a 0 e (t) (t) at 当 时 (3)单位冲激函数 [ ( )] ( ) ( ) 1 0 0 0 0 L t t e dt t e dt st s 例14-1 求以下函数的象函数
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH8 14-2 拉普拉斯变换的基本性质Proerties of the Laplace Transform线性若LIf(t)I= F(S) ,L[f2(t)I= F(S)则 L[af.(t)+ bf,(t)l = aFi(S) + bF2(S)证:J~ [af,(t)+ bf,(t)le-" dt= J。 af,(t)e-s" dt + J. bf,(t)e-" dt= aF(S)+bF,(S)上页区回下页
§ 14-2 拉普拉斯变换的基本性质 Proerties of the Laplace Transform 一、线性 [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 若L f1 t F1 S L f2 t F2 S ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 0 2 0 1 0 1 2 aF S bF S af t e dt bf t e dt af t bf t e dt st st st 证： [ ( ) ( )] 1 2 则 L af t bf t ( ) ( ) aF1 S bF2 S
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例14-2 若: 1)f(t) = sin(ot)2)f(t) = k(1-e-at)上述函数的定义域为[0，l，求其象函数。-(e jot - e- jor)解: 1)L[sin( のt)I = L[-2jls-jo-s+jo0S?+?2)L[K(1 - e-a)I = L[K I- L[Ke -at ]KKKas(s + a)Ss+a上页返回下页
2 2 ] 1 1 [ 2 1 ( )] 2 1 1) [sin( )] [ S j S j S j e e j L t L 解： j t j t 例14-2 若： 2) ( ) (1 ) 1) ( ) sin( ) at f t k e f t t 上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。 ( ) 2) [ (1 )] [ ] [ ] s s a Ka s a K s K L K e L K L Ke at at
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH[ udv = uv-[ vdu、导数性质u = e-st,dv = df (t)1.时域导数性质设: LIf(t)= F(S), 则:df(t)LI= SF(S)- f(0_)dtdf(t)证stst dt = [ e-st df (t)dt8o - J。 e-" f(t)(-s)dtef(t)二0= SF(S)- f(0_)上页区回下页
二 、导数性质 1. 时域导数性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ SF S f dt df t L ( ) (0 ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 SF S f e f t e f t s dt e dt e df t dt df t st st 证： st st 设：L[ f (t)] F(S), 则： u e ,dv df ( t ) udv uv vdu st
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH14-3应用导数性质求下列函数的象函数：1) f (t) = cos(ot);2) f (t) = S(t).d解 : 1)L[cos(ot)] = LI(sin(wt))wdt0S0)=2+ +00Qd2)由于S(t)L[(t)] =(t),dt一SdL一一0=1L[S(t) =ε(t)l= s一dt上页区回下页
2 2 2 2 ( 0) 1 (sin( ))] 1 :1) [cos( )] [ s s s s t dt d 解 L t L 2) ( ) ( ). 1) ( ) cos( ); f t t f t t 0 1 1 [ ( )] [ ( )] 1 2) ( ) ( ), [ ( )] s t s dt d L t L s t L t dt d t 由于