上海交通大学：《基本电路理论》第九章 非正弦周期信号作用下电路的稳态分析（9.2）周期函数的频谱

第九章非正弦周期信号作用下电 路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

第九章非正弦周期信号作用下电 路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

周期函数的频谱 f(t)=Fo+2Fm cos(kot+P2) Fo=Ao, Fkm B k=1 √+E,9=mA f()=5+∑hmsm(ko+)F=A k=1 07Ikm-VAkm Bkm,,=tan-IAkmn B 如果以谐浪振幅(包括直流分量)和角频率构 一个平面,并以平面上横轴为角频率轴,纵轴 为振幅轴,上式中每项的振幅和角频率便构成 平面上的点。由这些点各作垂线并终止于横轴 的相应的频率点上,便得到一种由长短不同但 间距相同的线段组成的图像。这种图像称振幅 频谱图;同理有相位频谱图

周期函数的频谱 如果以谐波振幅（包括直流分量）和角频率构 一个平面，并以平面上横轴为角频率轴，纵轴 为振幅轴，上式中每项的振幅和角频率便构成 平面上的点。由这些点各作垂线并终止于横轴 的相应的频率点上，便得到一种由长短不同但 间距相同的线段组成的图像。这种图像称振幅 频谱图；同理有相位频谱图。 0 1 ( ) cos( ) km k k f t F F k t    = = + +  2 2 1 0 0 , , tan km km km km k km B F A F A B A  − − = = + = 0 1 ( ) sin( ) km k k f t F F k t    = = + +  2 2 1 0 0 , , tan km km km km k km A F A F A B B  − = = + =

例 f(t) 求右图所示三角波信号 的振幅和相位频谱图。 T/2/T 浪形既是原点对称又是半波横轴对称。因此,其 傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。 4A T 0≤t≤ 44 t+2A≤t 4r/44A 4[/2 /4A B t sinnott t-2A sin kott T TJ7/4 8A 可算出 k=1.5,9∴ B 8A k=3,7,11 k

求右图所示三角波信号 的振幅和相位频谱图。 例 波形既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其 傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。 ( ) 4 0 4 4 2 4 2 A T t t T f t A T T t A t T   =  − +  ≤ ≤ ≤ ≤ 4 2 0 4 4 4 4 4 sin 2 sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T     = − −       可算出 2 2 2 2 8 1,5,9, 8 3, 7,11 km A k k B A k k    =  =  − =  0 T/2 f t( ) A −A −T/2 T t

所求傅里叶级数 r(=2 sin ot-m2 sin ot+ 22 sin 5ot-m2sin7ot FK 84n2 振幅频谱图 030507o90ko 相位频谱图 /2

所求傅里叶级数 Fk 2 8 / A 0  3 5 7 9 k ( ) 2 2 2 2 8 1 1 1 sin sin 3 sin 5 sin 7 3 5 7 A f t t t t t        = − + − +     振幅频谱图 相位频谱图 k0 /2 −/2 k

求右图所示信号的振幅 A 和相位频谱图。 -20 T/2|T 信号原点对称为奇函数, A 且又是半波横轴对称,所 T A0<t≤ 以其傅里叶级数仅是正弦()+A257 奇次谐浪分量组成 Tho cos kot T /2)-44 44 Asin kott k=1,3,5,7 k丌 所求傅里叶级数 4A sin ot +-sin 3ot +-sin 5ot +-sin Zot

求右图所示信号的振幅 和相位频谱图。 例 信号原点对称为奇函数， 且又是半波横轴对称，所 以其傅里叶级数仅是正弦 奇次谐波分量组成 。 所求傅里叶级数 ( ) 0 2 2 T A t f t T A t T    =  −   ≤ ≤ ( ) 2 2 0 0 4 4 4 sin cos 1,3,5, 7, T T km A A B A k tdt k t k T Tk k     = = − = =  ( ) 4 1 1 1 sin sin 3 sin 5 sin 7 3 5 7 A f t t t t t        = + + + +     0 f t( ) A −A −T/2 T/2 T t

所求傅里叶级数 f()=a sin ot+ sin 3ot+=sin Sot+ sin 7ot+ 44/丌 振幅频谱图 30507o9 Pk 相位频谱图 丌/2 0 ko

所求傅里叶级数 Fk 4 / A  0  3 5 7 9 k 振幅频谱图 相位频谱图 ( ) 4 1 1 1 sin sin 3 sin 5 sin 7 3 5 7 A f t t t t t        = + + + +     k k 0 −/2 /2

F 84n 三角浪信号 44∥丌 方波信号 030507o9ak 0030507o90ko Pk x/2 /2 0 01 k ko /2 ●三角浪和方波的谱线衰减的快慢程度不同。表 明信号波形不同,其傅里叶级数的收敛速度也 不同。三角浪和方波的谐浪幅度分别按1/k2和 1/k的速度收敛

三角波信号 方波信号 三角波和方波的谱线衰减的快慢程度不同。表 明信号波形不同，其傅里叶级数的收敛速度也 不同。三角波和方波的谐波幅度分别按1/k2 和 1/k的速度收敛。 Fk 2 8/ A 0  3 5 7 9 k k0 /2 −/2 k Fk 4 / A  0  3 5 7 9 k k k 0 −/2 /2

F 84n 三角浪信号 44∥丌 方波信号 030507o9ak 0030507o90ko Pk x/2 /2 0 01 k ko /2 ●在工程计算中允许在规定误差下作适当的近似。 一个信号的傅里叶级数按理说应有无穷多项,实 际上只能在不超过规定误差下取有限项数。由于 角波比方浪的傅里叶级数衰减得快,所以在相 同的误差下前者可取较少的项数

三角波信号 方波信号 在工程计算中允许在规定误差下作适当的近似。 一个信号的傅里叶级数按理说应有无穷多项，实 际上只能在不超过规定误差下取有限项数。由于 三角波比方波的傅里叶级数衰减得快，所以在相 同的误差下前者可取较少的项数。 Fk 2 8/ A 0  3 5 7 9 k k0 /2 −/2 k Fk 4 / A  0  3 5 7 9 k k k 0 −/2 /2

●方浪信号的傅里叶级数比三角浪信号收敛得慢 其原因是方波信号本身有间断点,而三角浪信号 本身无间断点,但其一阶导数有间断点。 通常,信号出现间断点的导数的阶数越高,它的傅 里叶级数收敛的越快。像抛物线波信号,因其二 阶导数才出现间断点,所以所展成的级数收敛得 更快,收敛速度是1/k3。 总之,信号曲线越光滑,其级数收敛便越快,高次 谐波的幅度便越小。正弦信号曲线最光滑,所以 不含任何高次谐波

方波信号的傅里叶级数比三角波信号收敛得慢， 其原因是方波信号本身有间断点，而三角波信号 本身无间断点，但其一阶导数有间断点。 通常，信号出现间断点的导数的阶数越高，它的傅 里叶级数收敛的越快。像抛物线波信号，因其二 阶导数才出现间断点，所以所展成的级数收敛得 更快，收敛速度是1/k3 。 总之，信号曲线越光滑，其级数收敛便越快，高次 谐波的幅度便越小。正弦信号曲线最光滑，所以 不含任何高次谐波

非正弦周期信号的有效值 非正弦周期信号的有效值的定义同正弦信号的 有效值,也称方均根值。 F 其中f)可以是电压或电流,将它们展开成傅氏 级数 f()=F+∑ Fkm sin(kot+q) d=/ km sin(kot+o)1dt F+>F

非正弦周期信号的有效值 非正弦周期信号的有效值的定义同正弦信号的 有效值，也称方均根值。 2 0 1 ( ) T F f t dt T =  其中f(t)可以是电压或电流，将它们展开成傅氏 级数 0 1 ( ) sin( ) km k k f t F F k t    = = + +  2 0 0 1 1 [ sin( )] T km k k F F F k t dt T    = = + +  