第九章非正弦周期信号作用下电 路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
第九章非正弦周期信号作用下电 路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
在实践中,人们经常遇到一些不按正弦规律变 化的周期或样非周期电信号。 ●电力系统中发电机发出的电压波形,严格说是 非正弦”浪形。 ●在电子技术、自动控制、计算机等领域中,电 信号(电压或电流)往往是一些“非正弦”的 周期或非周期的脉冲波形 f(t) f(t) 0m/2737/2273T 0T2T374757
在实践中，人们经常遇到一些不按正弦规律变 化的周期或非周期电信号。 电力系统中发电机发出的电压波形，严格说是 “非正弦”波形 。 在电子技术、自动控制、计算机等领域中，电 信号（电压或电流）往往是一些“非正弦”的 周期或非周期的脉冲波形 。 f t( ) A 0 T 2T 3T 4T 5T t f t( ) A 0 T/2 T 3 / 2 T 2T 3T t
●即使是“理想”正弦浪形,经过二极管、铁芯 线圈等非线性元件后也要变成非正弦浪形,如 常见的半浪整流或全波整流波形。 f(t 半波整流 2T ↑f(t) 全浪整流 2T 若能将非正弦信号分解成一系列信号之和,则 总可对其中每一正弦信号应用以前的分析方法 求出稳态响应,再用迭加定理求取所需响应
即使是“理想”正弦波形，经过二极管、铁芯 线圈等非线性元件后也要变成非正弦波形，如 常见的半波整流或全波整流波形。 A m0 f t( ) 2T t T 半波整流 全波整流 若能将非正弦信号分解成一系列信号之和，则 总可对其中每一正弦信号应用以前的分析方法 求出稳态响应，再用迭加定理求取所需响应。 t A m0 f t( ) T 2T
非正弦周期函数展开为付里叶级数(傅氏级数) 数学上已知,任何一个周期为T的函数f=f(T+t) 如果满足狄里赫利 Dirichlet条件,即函数f()在 周期时间内连续,或具有有限个第一类间断点间 断点两恻函数有极限存在),并且函数只有有限个 极大值和极小值,则函数便可展开为傅氏级数。 f(t=A,+2(Am cos kot+Bkm sin kot) 上述傅氏级数形式也称三角级数,电路中经常遇到 的非正弦周期函数,都能满足以上条件,并展开成 傅氏级数
非正弦周期函数展开为付里叶级数(傅氏级数) 数学上已知，任何一个周期为T的函数f(t)=f(T+t)， 如果满足狄里赫利(Dirichlet)条件，即函数f(t)在一 周期时间内连续，或具有有限个第一类间断点(间 断点两恻函数有极限存在)，并且函数只有有限个 极大值和极小值，则函数便可展开为傅氏级数。 0 1 ( ) ( cos sin ) km km k f t A A k t B k t = = + + 上述傅氏级数形式也称三角级数，电路中经常遇到 的非正弦周期函数，都能满足以上条件，并展开成 傅氏级数
傅氏级数中各项的系数称傅氏系数,利用三角 函数的正交性,可确定傅氏系数。 4= 0J(t)dt 电路理论中称A为周期函 4=20 cos kott k≠0数(的恒定分量(直流分量 或零次谐波),其余各项称 Bm=(0m0k≠0谐波分量。 T为原周期函数(的周期,=为角频率。 谐浪分量中频率同原信号频率ω的称基波分量, 其佘称高次谐波,并按其对基浪频率之倍数称 二次谐浪、三次谐波,…k次谐波等
傅氏级数中各项的系数称傅氏系数，利用三角 函数的正交性，可确定傅氏系数。 0 0 0 0 1 ( ) 2 ( ) cos 0 2 ( ) sin 0 T T km T km A f t dt T A f t k tdt k T B f t k tdt k T = = = 电路理论中称A0为周期函 数f(t)的恒定分量(直流分量 或零次谐波)，其余各项称 谐波分量。 T为原周期函数f(t)的周期, 2 T = 为角频率。 谐波分量中频率同原信号频率的称基波分量， 其余称高次谐波，并按其对基波频率之倍数称 二次谐波、三次谐波，，k次谐波等
求非正弦周期信号信号的傅氏级数,主要是求 傅氏系数,并应充分利用周期函数的对称性。 ●求周期内浪形面积代数和为0 如果函数f(在一周期内的平均值为零,即 Ao f(tdt=0 则傅氏级数中就不存在恒定分量。若函数是电 信号,则该信号中就不存在直流分量。具体可 根据波形判断,只要在一周期内,函数波形正 半周面积等于负半周面积,其平均值就为零
求非正弦周期信号信号的傅氏级数，主要是求 傅氏系数，并应充分利用周期函数的对称性。 求周期内波形面积代数和为0 如果函数f(t)在一周期内的平均值为零，即 0 0 1 ( ) 0 T A f t dt T = = 则傅氏级数中就不存在恒定分量。若函数是电 信号，则该信号中就不存在直流分量。具体可 根据波形判断，只要在一周期内，函数波形正 半周面积等于负半周面积，其平均值就为零
4奇函数一波形对称于原点(原点对称) 如果函数f()=-f(-t),即f的波形对称于坐标原 点,称奇函数,则其傅氏系数为 A0=0 T 2 m/2/7 f(tsin katt 当非正弦周期函数为奇函数时,傅氏级数中只 含正弦项(正弦谐浪分量)
奇函数—波形对称于原点（原点对称） 如果函数f(t)=-f(-t)，即f(t)的波形对称于坐标原 点，称奇函数，则其傅氏系数为 0 2 0 0 0 4 ( ) sin km T km A A B f t k tdt T = = = 当非正弦周期函数为奇函数时，傅氏级数中只 含正弦项（正弦谐波分量）。 T f t( ) A −T t −T/2 0 T/2 −A
●偶函数一波形对称于纵轴(纵轴对称) 如果函数(t)=(t)即f()的波形对称于纵轴,称 偶函数如半波,全波整流波形),则其傅氏系 数为 A,=f()dt T f(tcos kott T B.=0 当非正弦周期函数为偶函数时,傅氏级数中不 含正弦项(正弦谐浪分量),只含常数项(直流分 量)和余弦项(余弦谐波分量)
偶函数—波形对称于纵轴（纵轴对称） 如果函数f(t)=f(-t)即f(t)的波形对称于纵轴，称 偶函数(如半波，全波整流波形)，则其傅氏系 数为 2 0 0 2 0 2 ( ) 4 ( ) cos 0 T T km km A f t dt T A f t k tdt T B = = = 当非正弦周期函数为偶函数时，傅氏级数中不 含正弦项(正弦谐波分量)，只含常数项(直流分 量)和余弦项(余弦谐波分量)。 0 t f t( ) −T T
●奇谐浪函数一半波横轴对称 如果函数(=-2),即f(t前半个周期的波形 向后平移半个周期,便和后半个周期的浪形对 横轴成镜象对称,则其傅氏系数为 A=0 k为偶数 f() An=14 2f(1) cos kott k为奇数 k为偶数 A f(t) sin kott k为奇数 该函数的傅氏展开式中,只含奇次谐波而不含偶 次谐浪,故称奇谐浪函数。该函数中,不含直流 分量和偶次谐波分量,只含奇次谐波分量
奇谐波函数—半波横轴对称 如果函数 ( ) ( ) 2 ，即f(t)前半个周期的波形 T f t f t = − 向后平移半个周期，便和后半个周期的波形对 横轴成镜象对称，则其傅氏系数为 0 2 0 2 0 0 0 4 ( ) cos 0 4 ( ) sin T km T km A k A f t k tdt k T k B f t k tdt k T = = = 为偶数 为奇数 为偶数 为奇数 该函数的傅氏展开式中，只含奇次谐波而不含偶 次谐波，故称奇谐波函数。该函数中，不含直流 分量和偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。 −T −T/2 0 −A A T t f t( )
T/2 上图中画出了三个谐波的波形,其中绿线是将 前半周后移半个周期的波形,可见,基波和三 次谐波满足()=-(±) 二次谐浪则没有这种性质 至于偶谐浪函数()=/(± 函数前半个周期的波形向后平移半个周期,便与 后半个周期的浪形重合,这种函数的周期实际上 已不是T,仅是T2。相当于将角频率o扩大了 倍,即使是奇次谐波也变成偶次谐浪上中图)
上图中画出了三个谐波的波形，其中绿线是将 前半周后移半个周期的波形，可见，基波和三 次谐波满足 T t 0 T/2 ( ) ( ) 2 T f t f t = − 二次谐波则没有这种性质。 至于偶谐波函数 ( ) ( ) 2 T f t f t = 函数前半个周期的波形向后平移半个周期，便与 后半个周期的波形重合，这种函数的周期实际上 已不是T，仅是T/2 。相当于将角频率扩大了一 倍，即使是奇次谐波也变成偶次谐波(上中图)。 0 T/2 T t 0 t T/2 T