上海交通大学：《基本电路理论》第九章 非正弦周期信号作用下电路的稳态分析（9.3）电路的稳态响应

第九章非正弦周期信号作用下电 路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

第九章非正弦周期信号作用下电 路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

非正弦周期信号作用下的 线性定常电路的稳态响应 非正弦周期信号展开成傅氏级数,分解成直流 分量和各谐波分量之和,根据线性电路的迭加 性,求解稳态响应便归结为求解直流响应和正 弦稳态响应。 现以RLC串联电路在非正弦电压源v()作用下 求解电流(为例进行说明。 求解电路稳态响应的具体步骤

非正弦周期信号作用下的 线性定常电路的稳态响应 非正弦周期信号展开成傅氏级数，分解成直流 分量和各谐波分量之和，根据线性电路的迭加 性，求解稳态响应便归结为求解直流响应和正 弦稳态响应。 现以RLC串联电路在非正弦电压源 v(t) 作用下 求解电流i(t)为例进行说明。 求解电路稳态响应的具体步骤

●将非正弦周期信号展开成傅氏级数 v(t)=vo+vim sin(at+9)+V2m sin(2at +2)+ =Vo+v1(t)+v2()+… 原电路用直流电路和一系列正弦稳态电路来代替 所求电流为各电路电流之和i(t)=I0+1()+2()+ i(t) R R R R + v(t)L VI L V2 L C C C

将非正弦周期信号展开成傅氏级数 0 1 1 2 2 0 1 2 ( ) sin( ) sin(2 ) ( ) ( ) m m v t V V t V t V v t v t = + + + + +     = + + + 原电路用直流电路和一系列正弦稳态电路来代替， 所求电流为各电路电流之和i(t)=I0+i1 (t)+i2 (t)+… R L C v t( ) it( ) R L C 1 v 1 i R L C 2 v 2 i + R L C V0 0 I = + +

●求直流响应和用相量法求各谐波分量的正弦稳 态响应 ①求直流作用,→短路C→开路,∴I=0 ②求1,2,V1,V2,是一系列不同频率的正弦量 i1,i2,…是一系列不同频率的稳态响应,要 对每一种频率应用相量法求解 求(t)∵V1= Vinson(ot+1) V=后m∠=∠,21=R+j(oL ∠ q1-v1=1∠91-v1 i,(t)=v2I, sin(at+,-Vu)

求直流响应和用相量法求各谐波分量的正弦稳 态响应 ①求I0 直流作用,L→短路,C→开路, ∴ I0=0 ②求i1 ,i2 ,… ∵v1 ,v2 ,…是一系列不同频率的正弦量 ∴i1 , i2 , …是一系列不同频率的稳态响应，要 对每一种频率应用相量法求解 ⓐ求i1 (t) ∵v1=V1msin(t+1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ) 2 V V V Z R j L Z m C      =  =  = + − =  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 V V I I Z Z = =  − =  −     1 1 1 1 i t I t ( ) 2 sin( ) = + −   

①求2(t) ∵V2-2mSn(2ot q2) V2n∠(2=V2∠02,Z2=R+f(2L ∠02-v2=12∠2-V2 i(0=v21, sin(@t+,-V,) ●根据迭加性,将各分响应迭加后得出总响应 i()=V2l1sin(ox+9-v)+√2l2si(o+92-v2)+… 注意不能i=i+2+…然后)=2/sm(kom+0) l的频率o与2的频率2o是不同的

ⓑ求i2 (t) ∵v2=V2msin(2t+2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , (2 ) 2 2 V V V Z R j L Z m C      =  =  = + − =  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 V V I I Z Z = =  − =  −     2 2 2 2 i t I t ( ) 2 sin( ) = + −    注意:不能 1 2 I I I = + + 然后 根据迭加性，将各分响应迭加后得出总响应 1 1 1 2 2 2 i t I t I t ( ) 2 sin( ) 2 sin( ) = + − + + − +       i t I k t ( ) 2 sin( ) = +   1 I 的频率与 2 I 的频率2是不同的

谐波阻抗 在求解非正弦周期信号稳态响应中,由于各次 谐浪的频率不同,电路中的电感和电容对各次 谐浪呈现的感抗和容抗是不同的,因此,对非 正弦周期信号电路,笼统地讲阻抗是没有意义 的,必须说明是对哪次谐波的阻抗,这些阻抗 统称为谐浪阻抗。 对基波来说,角频率为,故基波感抗×L1=0L 基波容抗Xc1=1/0C 对k次谐波,角频率为ko,故k次谐波感抗Xk koL=kXL1,k次谐波容抗Xck=1/KoC=Xc1/k

谐波阻抗 在求解非正弦周期信号稳态响应中，由于各次 谐波的频率不同，电路中的电感和电容对各次 谐波呈现的感抗和容抗是不同的，因此，对非 正弦周期信号电路，笼统地讲阻抗是没有意义 的，必须说明是对哪次谐波的阻抗，这些阻抗 统称为谐波阻抗。 对基波来说，角频率为，故基波感抗XL1=L 基波容抗XC1=1/C 对k次谐波，角频率为k ，故k次谐波感抗XLk= kL=kXL1，k次谐波容抗XCk=1/kC= XC1/k

RLC串联电路的k次谐浪阻抗为 ZK=R+j(kOL hoc)=r+i(kUk XcD ●从k次谐浪的感抗Xk=koL=kXL1可见,谐波的 次数越高,感抗越大,因此电感线圈有抑制高 次谐浪电流的作用。如果一个非正弦电压作用 于含有电感元件的支路上,支路电流浪形较电 压浪形更接近于正弦浪形 ●从k次谐波的容抗Xck=1/koC=Xck可见,谐波 次数越高,容抗越小,电流越易通过,所以电 容器具有增强高次谐波电流的作用。若一个非 正弦电压作用于电容元件的支路上,支路电流 波形较电压浪形的差别更大,即畸变更严重

RLC串联电路的k次谐波阻抗为 从k次谐波的感抗XLk=kL=kXL1可见，谐波的 次数越高，感抗越大，因此电感线圈有抑制高 次谐波电流的作用。如果一个非正弦电压作用 于含有电感元件的支路上，支路电流波形较电 压波形更接近于正弦波形。 1 1 1 1 ( ) ( ) Z R j k L R j kX X k L C k C k   = + − = + − 从k次谐波的容抗XCk=1/kC=XC1/k可见，谐波 次数越高，容抗越小，电流越易通过，所以电 容器具有增强高次谐波电流的作用。若一个非 正弦电压作用于电容元件的支路上，支路电流 波形较电压波形的差别更大，即畸变更严重

例 示LC滤浪电路中,L=5H,C=10μF输入为正弦 全波整流电压电压的振幅Vmab=150V角频率 0=314弧度/秒负载电阻R=20009。求负载端电 压vd及电感中的电流。 ①所示正弦全波整流电压 L Vab的傅氏级数展开为 整流 R 电路 v,=_mab coS 2ot coS 4ot-. 丌(23 15 b 300200 cos 2ot cos 4ot-. 说明电压源va中含有直流 分量和偶次谐浪分量 丌 2丌

例 R L C a b c d i 整流 电路 图示LC滤波电路中,L=5H,C=10F,输入为正弦 全波整流电压,电压的振幅Vmab=150V,角频率 =314弧度/秒,负载电阻R=2000。求负载端电 压vcd及电感中的电流i。 ①所示正弦全波整流电压 vab的傅氏级数展开为 4 1 1 1 cos 2 cos 4 2 3 15 300 200 40 cos 2 cos 4 mab ab V v t t t t           = − − −     = − − − 说明电压源vab中含有直流 分量和偶次谐波分量  2 t ab v Vm0

②计算电源电压恒定分量和各次谐浪分量的作用 恒定分量的作用,电感→短路,电容→断路 0AB 300 300 0.048A. 96 R2000丌 ⑤二次谐浪分量的作用,RC并联电路的阻抗 R joc R 2000 =158∠-85.4 R+ 1+J2OCR 1+J4T 20C 全电路阻抗 Z2a=j2oL+Z2=j1000x+12.6-158=2980∠90 200 m2a 2 =0.0214∠-90°A 2980∠90° m2ad=Z,lm2=3.39∠-1754

②计算电源电压恒定分量和各次谐波分量的作用 ⓐ恒定分量的作用，电感→短路，电容→断路 0 0 0 0 300 300 0.048 , 96 2000 AB ad cd V I A V V V R   = = = = = = ⓑ二次谐波分量的作用，RC并联电路的阻抗 2 1 2 2000 158 85.4 1 1 2 1 4 2 cd R j C R Z j CR j R j C     = = = =  − + + + 全电路阻抗 2 2 2 1000 12.6 158 2980 90 Z j L Z j j ab cd = + = + − =    2 2 2 200 0.0214 90 2980 90 m ab m ab V I A Z  = = =  −  2 2 2 m cd m 3.39 175.4 V Z I V = =  − cd

四次谐浪分量的作用方法同上将20换成4 R 2000 =79∠-87.7 +14aCR 1+j8 24a=140L+24a=12000x+79∠-877=6280∠90 74ab 0.00204∠-90°A 4ab6280∠90 Vm4ad=Z4a1m4=0.161∠-1777V 可见负载上的四次谐波电压只占直流电压的 0.161/96=0.17%,四次以上谐浪分量所占百分 比则更小,可不再计算更高次谐浪的影响

ⓒ四次谐波分量的作用,方法同上,将2换成4 4 2000 79 87.7 1 4 1 8 cd R Z j CR j   = = =  − + + 4 4 4 2000 79 87.7 6280 90 Z j L Z j ab cd = + = +  − =    4 4 4 40 0.00204 90 6280 90 m ab m ab V I A Z  = = =  −  4 4 4 m cd m 0.161 177.7 V Z I V = =  − cd 可见负载上的四次谐波电压只占直流电压的 0.161/96=0.17%，四次以上谐波分量所占百分 比则更小，可不再计算更高次谐波的影响