《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 第三章大气中的波动 §1波动的基本概念 §2微扰法与方程组的线性化 §3大气声波 §4重力外波和重力内波 §5惯性振荡与惯性波 §6水平无辐散的 Rossby波 §7有水平辐合辐散的 Rossby波 §8大气混合波一惯性重力外波 §9群速度,波的频散效应 重点:微扰法,重力波和罗斯贝波,相速度和群速度 §1.波动的基本概念 1.波动的表示方法 波动:质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动(振荡)而振动在空间的传播形成波动 波动与振动的联系与区别: 1)波动是振动的传播形式; 2)波动是能量传播的一种基本形式; 3)振动是质点的运动,是仅以时间为自变量的运动,主要属于常微分方程问题(如惯性振荡); 4)波动是以时间、空间为变量的方程,属于偏微分方程问题(如惯性波)。 根据 Fourier迭加原理,大气中所有运动=不同频率、不同振幅的简谐波的迭加 对于空气的微团,若其任何一物理量q仅在x方向呈现周期变化(波动),则可以用周期函数表 q=Acos k(x-c1)-8 或 (x,y, =,t)=A(y,=cos(kx-ot-8) (3.2) (一维波,直线波,对应偏微分方程中的弦振动) 镂接2D函数绘图软件 Advanced Grapher演示:D谐波 其中A,k,C,O,δ皆为波参数。同样: q(x,y, -,t)=A(=)cos(kx+ly-ot-8) (3.3) 二维波,平面波,对应偏微分方程中的膜振动)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 1 第三章 大气中的波动 §1 波动的基本概念 §2 微扰法与方程组的线性化 §3 大气声波 §4 重力外波和重力内波 §5 惯性振荡与惯性波 §6 水平无辐散的 Rossby 波 §7 有水平辐合辐散的 Rossby 波 §8 大气混合波—惯性重力外波 §9 群速度，波的频散效应 重点：微扰法， 重力波和罗斯贝波，相速度和群速度。 §1. 波动的基本概念 1. 波动的表示方法 波动：质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动（振荡），而振动在空间的传播形成波动。 波动与振动的联系与区别： 1）波动是振动的传播形式； 2）波动是能量传播的一种基本形式； 3）振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，主要属于常微分方程问题（如惯性振荡）； 4) 波动是以时间、空间为变量的方程，属于偏微分方程问题（如惯性波）。 根据 Fourier 迭加原理，大气中所有运动=不同频率、不同振幅的简谐波的迭加。 对于空气的微团，若其任何一物理量 q 仅在 x 方向呈现周期变化（波动），则可以用周期函数表 示： q = −− A k x ct cos⎡ ⎤ ( ) δ ⎣ ⎦ (3.1) 或 q x y z t A y z kx t ( ) ()( ) , , , , cos = −− ω δ （3.2） （一维波，直线波，对应偏微分方程中的弦振动） 链接 2D 函数绘图软件 Advanced Grapher 演示:1D 谐波 其中 Akc ,,, , ω δ 皆为波参数。同样： q x y z t A z kx ly t () ( ) , , , ( )cos = +− − ω δ （3.3） （二维波，平面波，对应偏微分方程中的膜振动）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 q(x,, =,t)=Acos(kx+ly+mz-ot-8 (3.4) (三维波,立体波,对应偏微分方程中的空间振动) 链接曲面函数绘图软件 Grapher动态演示:1D2D3D谐波 31复数的旋转性和周期性 由于复数具有旋转性和周期性并且容易进行微分运算,通常用复数函数表示波动。根据复数的欧拉公 式 e= cos 0+isin e (3.5) 则(3.2)式改写 q(xy)=BRe{e-m-)=Re@=m) (3.6) Q=Ae0(复振幅) 将记号“Re”省写,(3.6)式变为 q(x,y, =,0=ge ik(r-ct) (3.7) 一(一维)波动的常用表达式 称为标准波型法或正交模方法 同样有: q(x,y,=,1)=Q(-)e (38) q(x,y, r, 1=ge r+l-+me -on) (39) 2.波参数 1)振幅:振动所产生的最大位移 A
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 2 q x y z t A kx ly mz t ( ) , , , cos = ++ − − ( ω δ ) （3.4） （三维波，立体波，对应偏微分方程中的空间振动） 链接曲面函数绘图软件 Grapher 动态演示:1D_2D_3D 谐波 图 3.1 复数的旋转性和周期性 由于复数具有旋转性和周期性并且容易进行微分运算，通常用复数函数表示波动。根据复数的欧拉公 式： cos sin i e i θ = + θ θ （3.5） 则（3.2）式改写 ( ) ( ) , , , Re{ } i kx t q x y z t Ae − − ω δ = ( ) Re{ } i kx t Qe −ω = （3.6） i Q Ae− δ = （复振幅） 将记号“ Re ”省写，（3.6）式变为 ( ) ( ) ,,, ik x ct q x y z t Qe − = （3.7） ——（一维）波动的常用表达式 称为标准波型法或正交模方法。 同样有： ( ) () ( ) ,,, i kx ly t q xyzt Q z e + −ω = （3.8） ( ) ( ) ,,, i kx ly mz t q x y z t Qe ++ −ω = （3.9） 2. 波参数 1) 振幅：振动所产生的最大位移 A = max | | q
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 2)位相(角);6=k(x-c)-05:初位相 y 图32筒谐波 3)相速度(波速)c:等位相线(面)移动的速度。 (310) dt 等位相线(面):位相相同的点构成的线(面) 4)波长L:固定时刻相邻两个等位相点之间的距离 5)波数k:用位相角所表示的单位距高内所包含的波长为L的数目 k (311) L 而气象中的绕地球一周波的数目=27F=27a09,其中L为波长 6)周期τ:固定位置上振动重复(波形复原)一次所需要的时间 (312) 7)频率U:单位时间内振动次数。 (3.13) 8)园频率o:用2丌位相角表示的单位时间内的振动次数 =2ms22 (3.14) 或 (3.14) 3.二维波的波数矢K和波速矢C 其中k=O0,00,K=K+/,ys) 波数矢K=k+lj 等位相面沿x、y方向的移速分别为:
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 3 2) 位相（角）；θ = −− k x ct ( ) δ δ ：初位相 图 3.2 简谐波 3) 相速度（波速）c：等位相线（面）移动的速度。 co s n t dx c dt θ = = （3.10） 等位相线（面）：位相相同的点构成的线（面）。 4）波长 L：固定时刻相邻两个等位相点之间的距离。 5）波数 k：用位相角所表示的单位距离内所包含的波长为 L 的数目。 2 k L π = （3.11） 而气象中的绕地球一周波的数目 2 2 cos R a L L π π ϕ = = ，其中 L 为波长。 6）周期 τ：固定位置上振动重复（波形复原）一次所需要的时间。 L 2 c kc π τ = = （3.12） 7）频率υ ：单位时间内振动次数。 1 υ τ = （3.13） 8）园频率 ω：用 2π 位相角表示的单位时间内的振动次数。 2 2 v kc π ω π τ = == （3.14） 或 t θ ω ∂ = − ∂ （3.14）’ 3． 二维波的波数矢 K JJG 和波速矢C JG 波数矢 K ki l j = + JJG GG （3.15） 其中 k l , x y ∂ ∂ θ θ = = ∂ ∂ ， 2 2 KK kl =| |= + JJG ， 2 K L π = 等位相面沿 x、y 方向的移速分别为：
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 dx (3.16) (3.17) 相速矢(波速矢):C=2=2K (3.18) K K√k2 (3.19) C≠c2i+C,j(波速矢C不服从三角形合法法则) K C (3.20) 链接3D函数绘图软件3 D Grapher动态演示:三维表面重力波 4.横波与纵波 41横波:振动方向与波传播方向垂直的波。 ⊥C即VC=0 1)水平横波:质点在水平面的一个方向振动,而波在水平面上的另一个方向传播。 2)垂直横波:质点在垂直方向上振动,但波在水平面上传播。 42纵波:振动方向与波传播方向一致的。 V∥C即IxC=0 图33非线性波的例子—木星大红斑(孤立波) 链接函数绘图软件 Graphmatica演示: Rossby型孤立波
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 4 co s x n t dx c dt k θ ω = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3.16） co s y n t dy c dt l θ ω = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3.17） 相速矢（波速矢）： 2 C K K K ω ω = = JG JJG JJG （3.18） 2 2 C K k l ω ω ∴ = = + (3.19) C ci c j ≠ + x y JG G G （波速矢C JG 不服从三角形合法法则） 2 2 x y k l C ci c j K K ⎛⎞ ⎛⎞ = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ JG G G ∵ （3.20） 链接 3D 函数绘图软件 3D Grapher 动态演示:三维表面重力波 4． 横波与纵波 4.1 横波：振动方向与波传播方向垂直的波。 V C ⊥ JG JG 即 V C⋅ = 0 JG JG 1） 水平横波：质点在水平面的一个方向振动，而波在水平面上的另一个方向传播。 2） 垂直横波：质点在垂直方向上振动，但波在水平面上传播。 4.2 纵波：振动方向与波传播方向一致的。 V C// JG JG 即 V C× = 0 JG JG 图 3.3 非线性波的例子——木星大红斑（孤立波） 链接函数绘图软件 Graphmatica 演示:Rossby 型孤立波
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 §2.微扰法与方程组的线性化 1.目的 大气运动方程组是非线性的,直接求解非常困难。 用微扰法(小扰动法)将方程组线性化,讨论简单的波动(线性波)问题。即对波动采用间接 研究方法:求振动解→求波速c 1)小振幅波:振幅远小于波长的波,即A<<L,为线性波,可用小扰动法。 2)有限振幅波:振幅不比波长小很多的波,波动方程组是非线性的(非线性波),不能用小扰动法 2.小扰动法(微扰法)的基本假定(作法) 1)将各种因变量分成两部分,一部分为运动的基本状态,通常与时间t和经度(x)无关;另一部分是扰 动部分,它表示各变量相对与基本状态的偏差。即F=F+F,或F=F-F。 湍流与波动的比较:湍流:平均运动(对1)+脉动(微尺度);波动:平均运动(对tx)+扰动(较 大尺度)。 F 2)扰动量相对平均量很小,即 F 3)当扰动量为零时,基本量也要满足原来的方程组和边界条件。 4)扰动量(或扰动量的微商)的二次乘积项可以在方程组中忽略(线性化的具体体现),即 FF=OF aF 0,F 0 对于地球大气运动,进一步可对主要物理量做如下具体假定 =l+u,且设l= const,(恒定的平均纬向风,即常数型基本气流) (无平均经向风) =,=0 (无平均垂直运动) (3.21) p=p+p,P=p(y,z)(平均气压在南北和垂直方向分布不均匀 p=p+p',p=p(x)(平均密度在垂直分布方向分布不均匀) 而且l<<l,p<P,P<P
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 5 §2. 微扰法与方程组的线性化 1. 目的 大气运动方程组是非线性的，直接求解非常困难。 ∴ 用微扰法（小扰动法）将方程组线性化，讨论简单的波动（线性波）问题 。即对波动采用间接 研究方法：求振动解→求波速 c 1） 小振幅波：振幅远小于波长的波，即 A << L，为线性波，可用小扰动法。 2） 有限振幅波：振幅不比波长小很多的波，波动方程组是非线性的（非线性波），不能用小扰动法。 2. 小扰动法（微扰法）的基本假定（作法） 1）将各种因变量分成两部分，一部分为运动的基本状态，通常与时间 t 和经度（x）无关；另一部分是扰 动部分，它表示各变量相对与基本状态的偏差。即 ' FFF = + ，或 ' F FF = − 。 湍流与波动的比较：湍流：平均运动（对t ）+脉动（微尺度）；波动：平均运动（对 t，x）+扰动（较 大尺度）。 2）扰动量相对平均量很小，即 ' | | 1 F F << 。 3）当扰动量为零时，基本量也要满足原来的方程组和边界条件。 4）扰动量（或扰动量的微商）的二次乘积项可以在方程组中忽略（线性化的具体体现），即 ' ' '' ' ' 0, 0, 0, F F FF F F x y ∂ ∂ === ∂ ∂ "" 对于地球大气运动，进一步可对主要物理量做如下具体假定: ' u uu = + ,且设 u = const.，（恒定的平均纬向风，即常数型基本气流） ' v vv = = , 0 （无平均经向风） ' w ww = = , 0 （无平均垂直运动） （3.21） ' p =+ = p p p pyz , (,) （平均气压在南北和垂直方向分布不均匀） ' ρ = + ρ ρ , ρ = ρ （z） （平均密度在垂直分布方向分布不均匀） 而且 '' ' u up p << << << , , ρ ρ ， ( ) ( ) 0, 0 x t ∂ ∂ = = ∂ ∂
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 3.大气方程组的线性化 1)z系大气运动方程组(必须先展开) l-+1—+ -n=-19 ax +l-+v-+1 I ap +l-+-+w-w=-g (3.22) paz +u-+v-+w 0 t ax ay az P=pRT +++/=P(0,0,00 u 一+1 其中x=C,/C,。 预备知识 <<1 pp+p (3.23) 利用微扰法的第3)条假定,可得 P (平均纬向风是地转风,即基流是准地转的) fp Oy =-g(垂直运动的平均状态是准静力平衡的 (3.24) 将(321)式代入到(322)式,并利用(323)、(324)式以及微扰法的第4)条假定→z系
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 6 3. 大气方程组的线性化 1）z 系大气运动方程组 （ d dt 必须先展开） 1 p u v w u fv txy z x ρ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + + − =− ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ 1 p u v w v fu txy z y ρ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + + + =− ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ 1 p u v w wg txy z z ρ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + + =− − ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ （3.22） 0 uvw uvw t x y z xyz p RT ρ ρ ρ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + + ++ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = p u v wp u v w txy z txy z χ ρ ρ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +++ = +++ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ 其中 / χ = C C p v 。 预备知识： ' ' 11 1 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ' 1 ρ ρ << 2 ' ' 1 1 ρ ρ ρ ρρ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ − + −⋅⋅⋅⋅⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ' 1 1 ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ≈ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ' 2 1 ρ ρ ρ = − （3.23） 利用微扰法的第 3）条假定，可得： 1 p u f ρ y ∂ = − ∂ （平均纬向风是地转风，即基流是准地转的） p g z ρ ∂ = − ∂ （垂直运动的平均状态是准静力平衡的） （3.24） 将（3.21）式代入到（3.22）式，并利用（3.23）、（3.24）式以及微扰法的第 4）条假定→z 系
动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 线性化方程组。 树如:a )-F p+ p u+u +—+M l ay az 得: fi I ap 则有线性化大气运动方程组(又称扰动方程组 0-0 I ap p ax p ap ay I ap p P az pp T fp uv C 其中N=/cD p=√zRT为 Laplace声速。 0 az 2)p系的大气运动方程组 ao at ax ++ +l-+V-+D fu =-a= 3.26 0 oy
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 7 线性化方程组。 例如： ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' '' 2 1 p p u u v w u u fv t xy z x ρ ρ ρ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ + ∂ ∂∂ ∂ + + + + + − =− − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 得： '' ' uu p ' 1 u fv tx x ρ ∂∂ ∂ + − =− ∂∂ ∂ 则有线性化大气运动方程组(又称扰动方程组)： ' ' ' 1 p u u fv tx x ρ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + − =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ' ' '' ' ' 2 1 1 p pp u v fu f u tx y y y ρ ρ ρ ρρ ρ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + =− + =− − ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ' ' ' 1 p uw g tx z ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + =− − ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ( ) ( ) ( ) '' ' ' 0 uvw u tx x y z ρρρ ρ ∂∂∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + +++ = ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ∂ （3.25） ' '' p T p T ρ ρ = + 2 2 ' ' ' 2 '' L L C N u p f uv w C u w tx g tx z ρ ρρ ρ ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎜⎟ ⎜⎟ +−+ = ++ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ ⎣ ⎦ 其中 ( ) 1/2 1/2 d g g N z T θ γ γ θ ⎛ ⎞ ∂ ⎡ ⎤ = =− ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ∂ ⎣ ⎦ , / C p RT L = = χρ χ 为 Laplace 声速。 2) p 系的大气运动方程组 u v u fv txy p x φ ω ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + + − =− ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ u v v fu txy p y φ ω ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + + + =− ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ RT p P φ α ∂ =− =− ∂ （3.26） 0 u v xyp ∂∂∂ω ++ = ∂∂∂
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 +n+,‖a t"axoy八ap 其中C2=-(y-y) 设=p+,T=7(P)+TO=0(0=0),可得p系线性化方程组 )u-fi dt Cx (3.27) ax ay ap l 3)浅水模式方程组(z系方程组的简化形式 ah l-+1 fi t ah +l-+1 fu 设h=H+h。若设= co nst≠0,H=H(y);若设n=0,H= co nst。可得线性化方程组: 01÷+和=ay (3.29) fu v+C 0 其中C=√8H=√RT称为 Newton声速(绝热声速
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 8 2 2 0 C u v t x yp p φ α ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ + = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ 其中 ( ) 2 d R C RT g α = − γ γ 。 设 ' φ = + φ φ ， ( ) ' T T yp T = + , ' ω =ω (ω = 0) ，可得 p 系线性化方程组： ' ' ' ( ) u u fv tx x ∂∂ ∂φ + − =− ∂∂ ∂ ' ' ' u v fu tx y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂φ ⎜ ⎟ + + =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ （3.27） '' ' 0 u v xyp ∂∂∂ω ++ = ∂∂∂ ' 2 ' 2 0 C u t xp p φ α ω ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ⎜ ⎟ + += ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ 3) 浅水模式方程组（z 系方程组的简化形式） h u v u fv g txy x ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + + − =− ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ h u v v fu g txy y ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + + + =− ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ （3.28） 0 u v u v hh t x y xy ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ + += ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂∂ 设 ' hHh = + 。若设u nst H H y = ≠= co 0, ( ) ；若设u H nst = = 0, co 。可得线性化方程组： ' ' ' u u fv tx x ⎛ ⎞ ∂∂ ∂φ ⎜ ⎟ + − =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ' ' ' u v fu tx y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂φ ⎜ ⎟ + + =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ （3.29） ' ' ' '2 0 0 u v u fu v C t x xy φ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − + += ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 其中C gH RT 0 = = 称为 Newton 声速（绝热声速）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 罗斯贝泌 西进波 东进波 图34中纬度大气波动的频率分布 4)旋转地球大气中可能出现的波动 作用力:重力,气压梯度力,科氏力。 媒介特性:旋转,连续,可压缩,具有层结。 ∴地球大气中基本的波动形式:声波、重力波(重力内波,重力外波)、惯性(内)波和长波( Rossby 作业:Cha3-1、3 §3.大气声波 声波:由空气的可压缩性产生的振动在空气中的传播 1.(水平)声波的波速公式 设空气仅在x方向受压缩而产生振动(即为一维水平声波),则u≠0,v 0,不考虑科氏力 有z系线性化方程组: 0-0 I ap ax (3.30) l at ax 采用标准波型法(也称正交模方法)求解,即设(3.30)式有下列形式的单波特解:
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 9 图 3.4 中纬度大气波动的频率分布 4) 旋转地球大气中可能出现的波动 作用力：重力，气压梯度力，科氏力。 媒介特性：旋转，连续，可压缩，具有层结。 ∴ 地球大气中基本的波动形式：声波、重力波（重力内波，重力外波）、惯性（内）波和长波（Rossby wave）。 作业：Cha.3－1、3 §3. 大气声波 声波：由空气的可压缩性产生的振动在空气中的传播。 1．（水平）声波的波速公式 设空气仅在 x 方向受压缩而产生振动（即为一维水平声波），则 ' '' u vw ≠ 0, 0 = = ，不考虑科氏力， 有 z 系线性化方程组： ' ' 1 p u u tx x ρ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ' ' 0 u u tx x ρ ρ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + += ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ （3.30） '2 ' L u pC u tx tx ρ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + =+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ 采用标准波型法（也称正交模方法）求解，即设（3.30）式有下列形式的单波特解：
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 P=ne(kr-e ) = n e(ur-acr) 3 P P P 把(3.31)式代入(3.30)式,并注意下列微分运算关系式: =ik() at ax (-ikc)()=-k2c2() ()=(ik)()=-k2() 可得 U=-ik k(c-l)n+i风=0 (3.3) ik(c-up=cal-ik(c-unl 将此线性代数方程组改写为: U+0.I-=·P=0 -(c-a)n+0.P=0 (3.34) 0U+C(c-a)-(c-)P=0 这是以U,∏P为变量的线性齐次代数方程组,由线性代数中的 Cramer法则可知:此类方程组存在 唯一非零解的必要条件是系数行列为零,即
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 10 ( ) () ' ' ' i kx t ik x ct u U U e e p P P ω ρ − − ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ =Π =Π ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ (3.31) 把（3.31）式代入（3.30）式，并注意下列微分运算关系式： ( ) ikc i () () t ω ∂ =− =− ∂ ( ) ik ( ) x ∂ = ∂ u ik c u ( ) ( )( ) t x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + =− − ⎝ ⎠ ∂ ∂ （3.32） () ( )() () 2 2 2 2 2 ikc k c t ∂ = − =− ∂ () ( )() () 2 2 2 2 ik k x ∂ = =− ∂ 可得： ( ) P ik c u U ik ρ − − =− − − Π+ = ik c u ik U ( ) ρ 0 （3.33） ( ) ( ) 2 L − − = − −Π ik c u P C ik c u ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 将此线性代数方程组改写为： ( ) 1 c uU P 0 0 ρ − + ⋅Π− ⋅ = ρU cu P − − Π+ ⋅ = ( ) 0 0 （3.34） ( ) ( ) 2 0 0 U C c u c uP L ⋅ + − Π− − = 这是以U P , , Π 为变量的线性齐次代数方程组，由线性代数中的 Cramer 法则可知：此类方程组存在 唯一非零解的必要条件是系数行列为零，即