《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 第五章波动的不稳定理论 §1波动稳定度概念 §2惯性不稳定 §3正压不稳定 §4斜压不稳定 §5K一H不稳定 重点:正压不稳定,斜压不稳定的概念,稳定度条件,动力不稳定与天气系统发生、发展的联系。 §1波动稳定度的概念 1波动稳定度的定义 定常的基本气流u上有小扰动产生,若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减则称波动是中性的或波动 是稳定的;若扰动随时间增强,则称波动不稳定。 2稳定度的表达方式 设有波动q=Qex=)=Qeb-m) 1) k取实数,o(c)可取复数。设 C=c+Ic (5.2) 代入(5.1)式得 q=Oekct ik(x-cm=leete(kr-o) t) 其中,波动相速cr=k 振幅A=Qe=Qe(为t的函数) 若o(c)=0,A不随t改变,称波动中性稳定);a(c)>0,A随t增大,称波动不稳定(增长波) (c)<0,A随时间减小,称波动稳定(衰减波) ∵波动一般解(复数解为共轭根)=增长解+衰减解=各特解的迭加 若O,≠0(c1≠0),则有波动不稳定。定义o|=|kc为不稳定增长率
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 1 第五章 波动的不稳定理论 §1 波动稳定度概念 §2 惯性不稳定 §3 正压不稳定 §4 斜压不稳定 §5 K—H 不稳定 重点：正压不稳定，斜压不稳定的概念，稳定度条件，动力不稳定与天气系统发生、发展的联系。 §1 波动稳定度的概念 1.波动稳定度的定义 定常的基本气流u 上有小扰动产生，若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减,则称波动是中性的或波动 是稳定的 ；若扰动随时间增强，则称波动不稳定。 2.稳定度的表达方式 设有波动 ik x ct i kx t () ( ) q Qe Qe − −ω = = (5.1) k 取实数, ω ( ) c 可取复数。设 r i ω = + ω ωi (c c ic = +r i) (5.2) 代入(5.1)式得 () ( ) i i r r kc t t ik x c t i kx t q Qe e Qe e − − ω ω = = (5.3) 其中，波动相速 r r c k ω = 振幅 i i kc t t A Qe Qeω = = (为t 的函数) 若ωi i ( ) c ＝0，A 不随 t 改变，称波动中性(稳定)；ωi i (c ) >0，A 随 t 增大，称波动不稳定（增长波）； ωi i ( ) c <0，A 随时间减小，称波动稳定（衰减波）。 ∵ 波动一般解（复数解为共轭根）=增长解+衰减解=各特解的迭加 ∴ 若 0 ( 0) i i ω ≠ ≠ c ，则有波动不稳定。定义 i i ω = kc 为不稳定增长率
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 若=0(c=0),则波动是稳定的(中性或衰减) 3.不稳定的充要条件 1)必要条件:由c≠0导出的条件,即波动不稳定必须满足的条件。若此条件不满足,则波动一 定是稳定的 2)充分条件(判据):由方程导出在A条件下,必有c≠0,则A条件称为不稳定的充分条件(或 不稳定判据)。 4.波动不稳定的天气学意义 第三章:不同尺度(类型)波动可表示不同类型的大气运动系统(主要研究系统的特征和移动 第五章:不同类型波动的不稳定可表示不同类型的大气运动的发展状况(主要研究系统强度的变化)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 2 若ωi i = = 0 0 (c ) ，则波动是稳定的（中性或衰减）。 3．不稳定的充要条件 1） 必要条件：由 0 i c ≠ 导出的条件，即波动不稳定必须满足的条件。若此条件不满足，则波动一 定是稳定的。 2） 充分条件（判据）：由方程导出在 A 条件下，必有 0 i c ≠ ，则 A 条件称为不稳定的充分条件（或 不稳定判据）。 4．波动不稳定的天气学意义 第三章：不同尺度（类型）波动可表示不同类型的大气运动系统（主要研究系统的特征和移动） 第五章：不同类型波动的不稳定可表示不同类型的大气运动的发展状况（主要研究系统强度的变化）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 影喻大气运动的因素,重力,科里奥利参数(,f的转度变化();大气的 性,大气的可压缩性,大气中辐射的告递:水汽,地形,海陆分布等 基本场 动力不稳定性 垂直切变 准定常动超长波 斜压不稳定 混合罗斯贝重力波 开尔文波 K不稳定 东风波 关 罗斯贝波 F压不稳定 惯性重力波 生不稳定 度 中尺度抗动 埃克不稳定 锋面、飑线 辞力稳定度 重力不定 条件不稳定 积雨云 水平切变 积云 大气边果层 声波、拉姆波 图5.1大气扰动与动力不稳定的关系 §2惯性稳定度 定义 地转平衡大气中,基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示 惯性振荡或快波的不稳定发展现象
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 3 图 5.1 大气扰动与动力不稳定的关系 §2 惯性稳定度 1．定义 地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示 惯性振荡或快波的不稳定发展现象
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 惯性稳定度判据 设基本气流是地转平衡,(u=m≠CODs),环境位势只有南北分布即 0中=0,v=0 1=-1a (58) 设气块在南北运动过程中不扰动环境位势场的分布, ax Ox,a=-fu (59) 由气块的水平运动方程组: fi (5.10) +fu= fu 改写为 fi= (5. 则初始位于y=y、并随基流作纬向移动的气块,由于某种原因穿越基流而向北运动,其经向位移 为6y·移动后的纬向速度可由∫”(1D2得 u(o +8y)=u(o)+fSy=u(o)+foy (5.12) 而y+Oy处的基流速度为: u(o+Oy)=u(o)+dy (513) 将(5.12)(513)式代入(511)的第2式得; dv d t =fu(y)+6y-(y)-f6y|=-f(-)y 514)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 4 2．惯性稳定度判据 设基本气流是地转平衡，( ) u u const = ≠g ，环境位势只有南北分布，即 0, 0 v x ∂φ = = ∂ （5.7） 1 u f y ∂φ = − ∂ （5.8） 设气块在南北运动过程中不扰动环境位势场的分布， 0, f u xx yy ∂∂ ∂∂ φφ φφ = = = =− ∂∂ ∂∂ （5.9） 由气块的水平运动方程组： 0 du fv dt dv fu fu dt ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ （5.10） 改写为 ( ) du dy fv f dt dt dv f u u dt ⎧ = = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ （5.11） 则初始位于 0 y y = 、并随基流作纬向移动的气块，由于某种原因穿越基流而向北运动，其经向位移 为δ y 。移动后的纬向速度可由 0 0 1 (5.11) y y y dy +δ ∫ 得： 00 0 uy y uy f y uy f y ( ) () () += + = + δ δ δ （5.12） 而 0 y y +δ 处的基流速度为： 0 0 ( ) () u uy y uy y y δ δ ∂ += + ∂ （5.13） 将（5.12）、（5.13）式代入（5.11）的第 2 式得； 0 0 () () ( ) dv u u f uy y uy f y f f y dt y y δ δ δ ⎡ ⎤ ∂ ∂ = + − − =− − ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ （5.14）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 北半球∫>0,δy>0,所以气块高开平衡位置后是返回或继续远高,取决于∫-的符号,则有: 0稳定 axcy=-,,所以惯性稳定度判据为 0, 时,ξa0→>惯性稳定→扰动减弱。 大气中通过惯性不稳定发展的惯性重力波的源区主要有:阻塞高压东北侧;副热带高压北侧或西北 侧;低纬东风带;赤道地区。 性不稳定 图52惯性不稳定的基流分布 4.惯性不稳定发展的能量来源
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 5 北半球 f y > > 0, 0 δ ，所以气块离开平衡位置后是返回或继续远离，取决于 u f y ∂ − ∂ 的符号，则有： 0 稳定 vu u x y y ζ ∂∂ ∂ = − =− ∂∂ ∂ ∵ ，所以惯性稳定度判据为： 0 稳定 3．惯性不稳定的天气学意义 大尺度运动，一般 0 ζ a ≥ ，所以一般情况是惯性稳定的。但在西风急流右侧，由于 0 u y ∂ > ∂ ，当 u f y ∂ > ∂ 时， 0 ζ a →惯性稳定→扰动减弱。 大气中通过惯性不稳定发展的惯性重力波的源区主要有：阻塞高压东北侧；副热带高压北侧或西北 侧；低纬东风带；赤道地区。 图 5.2 惯性不稳定的基流分布 4．惯性不稳定发展的能量来源
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 因为地转基流l=l(y),是正压大气,有效位能(APE)不能释放。所以扰动发展的能源为基本气流 的动能(即平均动能)。 §3正压稳定度 定义:正压基流上,扰动形成的正压大气 Rossby波的振幅是否随时间增长的问题 1正压不稳定的必要条件一郭晓岚(Kuo)定理 正压大气:l=l(y),采用水平无辐散和静力平衡近似,则有p系线性化方程组 ao ay l (517) ax ay 由于水平无辐散,引入流函数Y,则 518) (517)2a(51 a并利用(517)3→涡度方程(习题Cha3 aua +uVby+B Ov a 设大气在y∈(y12y2)的纬向管道内流动,有齐次(刚壁)边界条件 (520) lJ=y y=) 设(519)式的解为: x一c (52 (521)式代入(519)式并设-c≠0,得
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 6 因为地转基流u uy = ( )，是正压大气，有效位能（APE）不能释放。所以扰动发展的能源为基本气流 的动能（即平均动能）。 §3 正压稳定度 定义：正压基流上，扰动形成的正压大气 Rossby 波的振幅是否随时间增长的问题。 1 正压不稳定的必要条件—郭晓岚（Kuo）定理 正压大气：u uy = ( )，采用水平无辐散和静力平衡近似，则有 p 系线性化方程组： ' ' ' ' ' ' ' ' 0 u uuf v tx y x u v fu tx y u v x y φ φ ⎧⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ + − − =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎨⎜ ⎟ + + =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ⎪ ⎪∂ ∂ ⎪ + = ⎪ ∂ ∂ ⎩ （5.17） 由于水平无辐散， 引入流函数 Ψ ’ ，则 ' ' ' ' u v, y x ∂ ∂ ψ ψ =− = ∂ ∂ （5.18） ( ) ( ) 2 1 5.17 5.17 x y ∂ ∂ − ∂ ∂ 并利用（5.17）3→涡度方程(习题 Cha.3-3) ' ' 2 2 2 0 h u t x u y x ψ ψ β ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ∇+− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ （5.19） 设大气在 ( ) 1 2 y yy ∈ , 的纬向管道内流动，有齐次（刚壁）边界条件： 1 2 ' ' 0 yy yy ψ ψ = = = = （5.20） 设（5.19）式的解为： ' ( ) ( ) ik x ct ψ y e − = Ψ （5.21） （5.21）式代入（5.19）式并设u c − ≠ 0 ，得：
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 a'u d-yp k2|Y=0 (522) dy 设的共轭根为Y,c的共轭根为c,则有: a-u d-yp ∫[(52)y-(52yy: 注意:Y d平dyd _,可得 d(….d平.d a4 v=0(524) u-c l-C 因为,平在yy2处为零,所以(5.24)式左端第一项应为零,则(524)式左端第二项也应为零。 又V=N 2ic,,则有 l-c l-C a2 B 平d=0 对于正压不稳定,c1≠0 au (B-2) 所以 >0,令∫( 平→f(y)=0,此积分式的几何意义:(面积和) S1+S2 因此∫(y)必经过f(y)=0处,即f(y)在(y1,y2)内必定至少改变一次符号。所以,正压不稳定的必要 条件为:在(y,y2)内至少存在一点y,使得 a2u B 0(在y=y处 郭晓岚定理(流体力学中 Reyleigh定理的推广)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 7 2 2 2 2 2 0 u d y k dy u c β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ − Ψ ∂ + − Ψ= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （5.22） 设 Ψ 的共轭根为 * Ψ ，c 的共轭根为 * c ，则有： 2 2 * 2 2 * 2 * 0 u d y k dy u c β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ − Ψ ∂ + − Ψ= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （5.23） () () 2 1 * 5.22 5.23 y y ⎡ ⎤ Ψ− Ψ dy ∫ ⎣ ⎦ ： 注意： 2 2* * * * 2 2 d d dd d dy dy dy dy dy Ψ Ψ ΨΨ ⎛ ⎞ Ψ −Ψ = Ψ −Ψ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，可得： 2 2 1 1 * 2 * * 2 * 1 1 0 y y y y dd d u dy dy dy dy dy y uc uc β ⎛ ⎞⎛ ⎞ ΨΨ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Ψ −Ψ + − − Ψ Ψ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ⎝ ⎠ − − ∫ ∫ （5.24） 因为 * Ψ Ψ, 在 1 2 y y, 处为零，所以（5.24）式左端第一项应为零，则（5.24）式左端第二项也应为零。 又 * Ψ Ψ 2 = Ψ ， * 2 1 1 2 i ic uc uc u c − = − − − ，则有： 2 1 2 2 2 2 0 y i y u y c dy u c β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ − ∂ ⎝ ⎠ Ψ = − ∫ （5.25） 对于正压不稳定， 0 i c ≠ 所以 2 2 0 u c Ψ > − ，令 ( ) 2 2 2 2 ( ) u y f y u c β ∂ − ∂ = Ψ − ( ) 2 1 0 y y → = f y dy ∫ ，此积分式的几何意义：（面积和） 1 2 s s + = 0， 因此 f ( ) y 必经过 f y() 0 = 处，即 f ( ) y 在( y y 1 2 , ) 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的必要 条件为：在( ) 1 2 y y, 内至少存在一点 c y ，使得 2 2 0 u y β ∂ − = ∂ （在 c y y = 处） （5.26） ——郭晓岚定理（流体力学中 Reyleigh 定理的推广）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 或 0 (527) Oy ay)ay 即正压不稳定要求基本气流的绝对涡度的南北梯度,在(y1y2)区间内的某些地方(至少有一点)为 零,或在(y1,y2)内改变符号,或。在(y,y2)内取得极值 注:美籍华人郭晓岚于198年提出此正压大气(长波)不稳定判据。 令B=0,由(526)式得: 2=0(在y=y处)— Reyleigh定理 (528) 其中y=y是u=l(0)的拐点 32 了c 图53瑞利正压不稳定的基流分布 正压不稳定的(第二)必要条件— Fjortoft定理 B-o. yOu dy>0 (529) 在(y1y2)内,基本气流l与基流绝对涡度的梯度正相关(习题cha.5-6)。如果要将此定理应用于 4,则要将(59)式中的B取零,理解为-1,即-与。“负相关,才可能发生正压不稳定 也可以理解为绝对涡度必须在所考虑的空间内有极值(对B平面上的不可压流,等价于基本气流有拐点) 才可能发生不稳定。 注:1950年 Charney, Fjortoft和 Von neumann利用电子计算机成功地实现了对正压涡度方程的数值积
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 8 或 0 c a y y u f y yy ζ = ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ −= = ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ （5.27） 即正压不稳定要求基本气流的绝对涡度的南北梯度，在( y y 1 2 , ) 区间内的某些地方（至少有一点）为 零，或 a y ∂ζ ∂ 在( ) 1 2 y y, 内改变符号，或 a ζ 在( y y 1 2 , ) 内取得极值。 注：美籍华人郭晓岚于 1948 年提出此正压大气（长波）不稳定判据。 令 β = 0，由（5.26）式得： 2 2 0 u y ∂ = ∂ （在 c y y = 处）——Reyleigh 定理 （5.28） 其中 c y y = 是u uy = ( )的拐点。 图 5.3 瑞利正压不稳定的基流分布 2．正压不稳定的（第二）必要条件——Fjortoft 定理 2 1 2 2 2 0 y y u u dy y β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ −Ψ > ∂ ⎝ ⎠ ∫ （5.29） 在( ) 1 2 y y, 内，基本气流u 与基流绝对涡度的梯度正相关（习题 cha.5－6）。如果要将此定理应用于 图 5.4，则要将（5.29）式中的 β取零，u 理解为u u − c ，即u u − c 与 2 2 u y ∂ ∂ 负相关，才可能发生正压不稳定。 也可以理解为绝对涡度必须在所考虑的空间内有极值（对 β 平面上的不可压流，等价于基本气流有拐点） 才可能发生不稳定。 注：1950 年 Charney，Fjortoft 和 Von Neumann 利用电子计算机成功地实现了对正压涡度方程的数值积
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 分,从此使天气预报进入了定量化的新时代。 世界著名气象学家郭晓岚小传 郭晓岚,1912年生于满城县张辛庄村,世界著名气象学家。幼时家境贫寒,高小毕业后回家 参加农业劳动。1929年暑期,考入保定第二师范。1932年升为清华大学数学系,次年转入地 球物理系。1937年毕业后被南京中央研究院紫金山气象研究所录用。其间,著述甚丰,获硕士学 位。1945年与杨振宁、叶笃正等22人去美国芝加哥大学学习。1948年获芝加哥大学地球物理 学博士学位。后在麻省理工学院高级研究员。1962年回芝加哥大学任地球物理学教授。197 年获美国气象最高荣誉奖一罗斯贝奖。他学识渊博,成绩卓著,在气象界诸多领域做出了创造性的成 绩。曾4次(1973、1979、1986、1992年)应中国科学院邀请回国讲学或参加学术 性会议。1979年,郭晓岚在国内出版《大气动力学》(江苏科学技术出版社),他还兼任台湾“中 央研究院”院长。 正压不稳定系统的结构为: > ,<0 正压不稳定 正压稳定 <0 <0 正压不定 正压稳定 图54正压稳定度与基流分布
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 9 分，从此使天气预报进入了定量化的新时代。 世界著名气象学家郭晓岚小传 郭晓岚，１９１２年生于满城县张辛庄村，世界著名气象学家。幼时家境贫寒，高小毕业后回家 参加农业劳动。１９２９年暑期，考入保定第二师范。１９３２年升为清华大学数学系，次年转入地 球物理系。１９３７年毕业后被南京中央研究院紫金山气象研究所录用。其间，著述甚丰，获硕士学 位。１９４５年与杨振宁、叶笃正等２２人去美国芝加哥大学学习。１９48 年获芝加哥大学地球物理 学博士学位。后在麻省理工学院高级研究员。１９６２年回芝加哥大学任地球物理学教授。１９７０ 年获美国气象最高荣誉奖—罗斯贝奖。他学识渊博，成绩卓著，在气象界诸多领域做出了创造性的成 绩。曾４次（１９７３、１９７９、１９８６、１９９２年）应中国科学院邀请回国讲学或参加学术 性会议。１９７９年，郭晓岚在国内出版《大气动力学》（江苏科学技术出版社），他还兼任台湾“中 央研究院”院长。 正压不稳定系统的结构为： 图 5.4 正压稳定度与基流分布
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 正压不稳定长渡结构 正B稳定长渡结构 0 长构 ,v0 图55正压稳定度与长波结构左:K→K;右:K→K 导式 线 榈背线 流 急流 导式 (a)急流分布 (b)正压衰减型 (c)正压发展型 导式:NwSE向,曳式:NESw向 图56正压发展槽与衰减棺 3.正压不稳定的天气学意义 0对应的波称为最不稳定波,即最先发生不稳定的波长所对应的波段。计算表明:正压不稳 定最不稳定波长LM≈2000m。研究表明正压不稳定多发生在热带,如东西风交界处,季风低压,西非 波动。则正压不稳定可作为ICZ( nter-Tropical Convergence Zone赤道辐合带)中的大尺度(天气尺度) 10
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 10 图 5.5 正压稳定度与长波结构 ' ' ( K K ; K K) 左： 右： → → 导式：NW-SE 向，曳式：NE-SW 向 图 5.6 正压发展槽与衰减槽 3．正压不稳定的天气学意义 0 i L ∂ ω = ∂ 对应的波称为最不稳定波，即最先发生不稳定的波长所对应的波段。计算表明：正压不稳 定最不稳定波长 2000 L km M ≈ 。研究表明正压不稳定多发生在热带，如东西风交界处，季风低压，西非 波动。则正压不稳定可作为 ITCZ（Inter-Tropical Convergence Zone,赤道辐合带）中的大尺度（天气尺度）