第一章绪论1-1没英文字母E出现的概率为0.105，x出现的概率为0.002，试求E和x的信息量。11解：1#=1og27=1og20.105=3.25bitp11=1og20.002=8.97bit1,=log 27心1-2某信息源的符号集由AB.CD和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4,！1/8，1/8，3/16，5/16。试求该信息源符号的平均信息量。raoe a解：平均信息量H=-1.111113355=-0g24-810828-810821610828-161og216-164=2.23bit/符号1-3设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4、1/8、1/8、1/2传送，每一消息的出现是相互独立的，试计算其平均信息量。-rane a解：平均信息量H=1_1111,110g2元8-10g28-21=175bit/符号10g2810822A814一个由字母AB,CD组成的字，对于传输的每一字母用二进制脉冲编码，00代替A01代替B，10代替.11代替D每个脉冲宽度为5ms（1）不同的字母等可能出现时。试计算传输的平均信息速率；(2)若每个字母出现的等可能性分别为P=1/5,P=1/4,Pc-1/4,Pr-3/10,试计算传输的平均信息速率。1
1 第一章 绪论
解：（1)因一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms，传送字母的符号速率为1RB4=2×5×10-=100B等概时，平均信息速率R，=Re41og24=200b/s(2)每个符号平均信息量为4--H=-ZPlog2P=-10g2号-4-10g24-40-5=1.985bit/符号平均信息速率R，=Rz4H=100×1.985=198.5b/s1-5国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1个单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现的概率的1/3.(1)求点和划的信息量；(2)求点和划的平均信息量。解(1)由已知条件划出现的概率是点出现的概率的1/3，即P=1/3P2且Pi+P=1，所以P,=1/4，P2=3/41划的信息量1=-10g2=2bit3点的信息量0.415bit12=-10g2431(2)平均信息量H=×0.415+×2=0.81bit/符号441-6某离散信息源输出，x8个不同的符号，符号速率为2400B,其中4个符号出现概率为P()=P(2)=1/16,P(xs)=1/8,P(x4)=1/4其余符号等概出现。1）求该信息源的平均信息率：(2）求传送1元的信息量解(1由已知条件得P(xs)=P(x)=P(x)=P()=9信息源的：1-10g2401-110g2元-41-4x-3元10g21680H(x)=-ZP(x)log2P(x)=-2x=x1og28168-2.875bit/符号则信息源的平均信息速率为R，=R，×H=2400×2.875=6900bt/s(2)传送1h的信息量为：I-TxR=3600x6900=2.484×10°bit2
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1-7设某信息源以每秒2000个符号的速率发送消息，信息源由A,B,C,D,E五个信息符号组成,发送A的概率为1/2,发送其余符号的概率相同,且设每一符号出现是相互独立的。求：(1)每一符号的平均信息量；(2)信息源的平均信息速率；(3)可能的最大信息速率。1解(1油已知条件得Px)P(x2)=Px)=P(x4)=P(xs)--2'8每一符号的平均信息量即信息源的炳1-4×x10g2-1=2bit/符号H()--(x)1og (x)--10g48（2测信息源的平均信息速率为尺=Rg×H=2000×2=4000bit/s（3）等概时可获得最大信息速率：先求最大信息量：Hmmc=10g25=2.32bit/符号则最大信息速率：Rmx=Rg×Hm=2.32×2000=4640bit/s1-8如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求R，和R有四进制信号，码元宽度为0.5ms求传码率Rg和独立等根时的传信率Rg解：由已知条件码元宽度为0.5ms所以R=1/0.5×103=2000BRe=RrnlogaN 因为 N=2所以R=2000bitls当N-4时,RR=2000BRe=RBlog24-4000bitis1-9在强干扰环境下，某电台在5min内共收到正确信息量为355Mbit,假定系统信息速率为1200kbit/s。1)试问系统误信率P，是多少？(2)若假定信号为四进制信号，系统码元传输速率为1200KB，则P是多少？解：(1)先求所传送的总的信息量。1=1200×10×5×60-360Mbit所传送的错误的信息量I-360-355-5Mbit则系统误信率P,=1/1a=5/360=0.01389(2)由已知条件1200KB则Re4=RB4×10g2=2400kbitls1e=2400×10×5×60=720Mbit1=720-355-365Mbit则P=1/l吨=365门20=0.50693
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1-10已知某四进制数字信号传输系统的信息速率为2400bt/s，接收端共收到216个错误码元，试计算该系统P.的值。解由已知条件R4=2400bt/s，R=10g2NR4_=1200B所以R1og24半小时共传送的码元为200×0.5×3600=2.16×10°个2162.16x10 =10-系统误码率P.=1-11设一数字传输系统传送二进制码元的速率为1200Baud,试求该系统的信息速率；若该系统改为传送16进制信号码元，码元速率为2400Baud，则这时的系统信息速率为多少？解(1)Rg=R,=1200bit/s(2)R,=Rlog216=2400X4=9600bit/s第二章确定信号和随机信号分析2-1设随机过程()可表示成（)=2c0s（2+），式中8是一个离散随机变量，且P(8=0)=1/2,P(=氧/2)=1/2,试求E(1)及R(0,1)。解首先应理解E：(1)及R(0.1)的含义，E(1)是指当=1时，所得随机变量的均值，R：(0,1)是指当t=0及=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。E:(1)=E[2cos(2 t+ )] l=1=E[2cos(2 + )]-2(.co0cog1202nR:(0,1)-E[ (0) (1)]=E[2cos X2cos(2+ )]-4E[cos 0)(11co20+1co3㎡4=222(22-2.设z(t)=cosat-xzsint是一随机过程，若，和x是彼此独立且具有均值为0，方差为的正态随机变量，试求( [2()]E[2 ()](2)z()的一维分布密度函数(2)(3)B (t,t2)及R(t1,t2)4
4 第二章 确定信号和随机信号分析
解①由已知条件[x]=[x]=0且x,和x彼此相互独立。所以[2]-[][]=0D(1) = D(x2) = ,而 =E[]-E[x]所以[]-D()+[x]=同理[]=E[2(t)] - E[x cos 2t -x2 sin 2] =cos gE[x] -sin ctE[x2]= 0E[22(t)] - E[(x cos 2t - x sin at)]=E[ cos ct +x3 sin tt-2xi2 cos ptsin cpz]=cos E]+ sinaE[]-2cos at sin tE[x](cost+sinat)e(2)油于x和x,是彼此独立的正态随机变量，且z()是x,和x,的线性组合，所以z也是均值为，方差为。的正态随机变量，其一维概率密度为f(2) =20p[22(3)R(t1,t2) = E[z(t)z(t2)] = E[x1 cos a61 - x2 sin 20f1 [ cos 2f2 - xg sin at2])= [cos ab cos a2 +sin ab sin 20t]=[cos ub(1 -L2]]令-=R()=cosB (t1,2) -R (t1,2)-E[2()][2(2)]-R (1,2) - cos 2-3求乘积z(t)=x(t)y()的自相关函数。已知x(t)与y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为R（)，R（)。解R(,2)=[z(1) 2(2]=[x((1)()(2)]=[x()x()()(]=[x()(2)]((2)](因为x()与(t统计独立)=R (1,t2)R,(61,t2)=R（)R()=R(）因为x()和平稳）所以，2()也是平稳随机过程，且有，R（)=R（)R（)24若随机过程z()=m()=cos（α+9)，其中m()是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm（)为1+t-1<T<0Re(s)=3 1-s<10其他9是服从均匀分布的随机变量，它与m(0)彼此统计独立。(1)证明是宽平稳的；(2)绘出自相关函数R（)的波形：(3)求功率谱密度P()及功率S。5
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解（1)因为m()是宽平稳的随机过程，所以其均值为[m()=α（常数）而是服从均匀分布的，所以()=112，(08<2），又因为8是与m(t)彼此统计独立的，所以E[2(0)]= E[m(2]cos(mt + 0]] ==E(m(e)[cos pt cosg-sin mgt sin e]= [m(2)][cos mpt cosg - sin mpt sin 0]=al" [cos apt cos8 - sin apt sin 8], de = 0R, (1,t2)= E[z(z1/2(t2)]= E[m(t1)cos(t1 +0)m(z2 )cos(0f2 +0)]= E[m(t1)m(t2 ][cos(0t +9)cos(t +9)]=0.5Rm(t)E(cos[(21+t2)+2]+cosm(2-t1)=0.5R(tXE[cosm(,-t,)]+E[cosa(+t)cos28-sin 2%(g +ta )sin 28 1 )= 0.5R (tXE[cos % (2 -L)]+0)(令t2 -i=t)=0.5R(t)cos%m由于R（t,)与时间起点无关，而只与时间间隔有关，且E[z()]=0与时间无关，所以2(t)是宽平稳的。J0.5(1+)cos@om-1<T<0(2)R,(t)=0.5Rm(t)cosT=j0.5(1)cos@oT0≤T<110其他R（的波形可以看成一个余弦函数和一个三角波的乘积。如图2.所示。(3)因为z(t)是宽平稳的，所以，Pz()Rz（)P,(a)=[6(α+)+(a-)*0.5sa22元1J sa (a+m) Sa'(α-m))4122S=R,(0)=!2R(r)1/2-1/2图2.1
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2-5知噪声n(t)的自相关函数（）-=el,a为常数；2() 求P,(a)及S;(2)绘出R)及P（图形。解（1)油已知条件n(t）是平稳随机过程，P（α）台R（)a2P(a)-"R(e-anrd r-"2a4a+2a+S-R(0)=%22)R）及P（图形如图2.2所示R(u)*Rr(r) a/2002-6RC低通滤波器如图2.3所示。当输入均值为零，功率谱密度为n2的高斯白噪声时：（1)求输出过程的功率谱密度和自相关函数；(2)求输出过程的一维概率密度函数。R图2.3
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解1jac1(1)H(α) =11+joRCR+Joc1[F(o)P =1+ (aRC))输出功率谱密度为1P (a)-|(o)"P(a) - 0.21+(αR)22a因为P(α) = R(),利用e-l 2+2H自相关函数为R(0。exp4RCRC（2因为高斯过程通过线性系统后仍为高斯过程。而(]=(](0)=02 - R(0) - R (0)- 04RC所以输出过程的一维概率密度函数为r1f(x)=-expl12元g2g其中。3_no4RC2一7（0是一个平稳随过程，它的自相关函数是周期为2s的周期函数。在区间（-1，1）（s）上，该自相关函数R（）=1-|试求（）的功率谱密度P：（）并用图形表示。8
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解因为（)是一个平稳随机过程，所以P（α)台R(t)对R(t)进行傅里叶变换，得P(a)=San)- s()a(a-nr)P(a)=T图形如图2.4所示Pela2元4元-4弄-2元0图 2.42-8将一个均值为零、功率谱密度为^/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为带宽为B的理想带通滤波器上，如图2.5所示。（1)求滤波器输出噪声的自相关函数：(2)写出输出噪声的一维概率密度函数。2#82#,-B-w-o,+BOoBww,+4o9
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解(1)将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上，其输出是一个窄带高斯白噪声。[H(0)=0其他P()-H(o)"P(o)[n.信其他又因为P()R()1["P(o)e"do所以R(6)=211pntsngewda +.tengerda2元Ja,822元1,~8 2=n,BSa(rBe)cos o,r(2)因为高斯过程经过线形系统后仍是高斯过程，所以输出噪声的一维概率密度函数为(x-a)2)1f(n) =exp/2元202因为[]=0所以a= E[5. ()]= E[5,(t)]H(0)=0G=R,(0)-R,()=n,B所以输出噪声的一维概率密度函数为x21f (x) =exp2nB2m,B2-9图2.6为单个输入，两个输出的线性过滤器，若输入过程（）是平稳的，求（)与（)的互功率谱密度的表示式。s,(t)h()Oq(t)05.(t)0hz(t)图2.610
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