通信原理第10章数字信号最佳接收2
2 通信原理 第10章 数字信号最佳接收
第10章数字信号最佳接收10.1数字信号的统计特性以二进制为例研究接收电压的统计特性）假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为no；并设发送的二进制码元为"0"和"1"其发送概率分别为P(O)和P(1)，则有P(O) + P(1) = 1若此通信系统的基带截止频率小于fh，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH，设在一个码元持续时间T.内以2f的速率抽样，共得到k个抽样值：，则有k=2fhTs3
3 第10章 数字信号最佳接收 ⚫ 10.1数字信号的统计特性 ◼ 以二进制为例研究接收电压的统计特性。 ◼ 假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其 单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为“0”和“1”， 其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有 P(0) + P(1) = 1 ◼ 若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样 定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求 不小于其奈奎斯特速率2fH。 ◼ 设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽 样值：，则有k ＝ 2fHTs
第10章数字信号最佳接收由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为f(n.X2012元0，式中，，－噪声的标准偏差；o,2－噪声的方差，即噪声平均功率；i=1/27.../k。设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为fr(n,n2,".,n)
4 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维 概率密度可以写为 式中，n － 噪声的标准偏差； n 2 － 噪声的方差，即噪声平均功率； i ＝1，2，.，k。 ◼ 设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 = − 2 2 2 exp 2 1 ( ) n i n i n f n ( , , , ) k n1 n2 nk f
第10章数字信号最佳接收由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k维联合概率密度函数可以表示为fk(n,n2,.,nk)= f(n)f(n,)... f(nk)2.元当k很大时，在一个码元持续时间T内接收的噪声平均功率可以表示为：之=n2f.Tk-或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成k1Zn?td2f.T5i=l
5 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性 系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速 率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样， 此k 维联合概率密度函数可以表示为 ◼ 当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可 以表示为： 或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成 ( ) = = − = k i i n k n f k n n nk f n f n f nk n 1 2 1 2 1 2 2 2 1 exp 2 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) = = = k i i H s k i i n f T n k 1 2 1 2 2 1 1 = = k i i H s T s n f T n t dt T s 1 2 0 2 2 1 ( ) 1
第10章数字信号最佳接收利用上式关系，并注意到o, =nofH式中no-噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：中f(n)dexplV2元0式中f(n)= fi(ni,n2, .,nt)= f(n)f(n2)... f(nk)n=(n1,n2，,nk）－k维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。需要注意，(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t），但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k维空间中的一个点。6
6 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 利用上式关系，并注意到 式中 n0 － 噪声单边功率谱密度 则前式的联合概率密度函数可以改写为： 式中 n = (n1 , n2 , ., nk ) － k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个 抽样值。 ◼ 需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是 后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维 矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。 n H n f 0 2 = ( ) = − Ts k n n t dt n f 0 2 0 ( ) 1 exp 2 1 ( ) n ( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) k 1 2 k 1 2 nk f n = f n n n = f n f n f
第10章数字信号最佳接收在码元持续时间T、噪声单边功率谱密度no和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，（n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：1sn?(t)dt由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错
7 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和 系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能 量： ◼ 由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量 都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而 另一些则无错。 Ts n t dt 0 2 ( )
第10章数字信号最佳接收设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和r(t) = s(t) + n(t)则在发送码元确定之后，接收电压r（t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为,2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“"0"的信号波形为so(t)时，接收电压r(t)的维联合概率密度函数为[r(t) -so (t)] dtfo(r)11XP2元0式中r=s+n一k维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；s-k维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。8
8 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t) 则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声 决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n 2，但是均值变为 s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0 (t)时，接收电压 r(t)的k维联合概率密度函数为 式中 r = s + n — k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值； s － k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。 ( ) = − − r t s t dt n f Ts k n 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r
第10章数字信号最佳接收同理，当发送码元"1“的信号波形为si(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为1s,()] dtf.(r)exp--C顺便指出，若通信系统传输的是M进制码元，即可能发送s1S2，…．，Si，…，SM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是s,时，接收电压的k维联合概率密度函数为1" [r(t) -s,(t)] dif.(r)xp(2元0, )仍需记住，以上三式中的k维联合概率密度函数不是时间的函数，并且是一个标量，而r仍是维空间中的一个点，是一个矢量。9
9 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 同理，当发送码元“1“的信号波形为s1 (t)时，接收电压r(t)的k 维联合概率密度函数为 ◼ 顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送s1， s2，.，si，.，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元 是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函 数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个 矢量。 ( ) = − − r t s t dt n f Ts k n 2 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r ( ) = − − r t s t dt n f Ts k i n i 2 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r
第10章数字信号最佳接收10.2数字信号的最佳接收“最佳”的准则：错误概率最小，产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。·判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1"的概率为P(1）发送码元"0"的概率为P(O），则总误码率P。等于P。 = P(1)Pl + P(O)Peo式中Pe1= P(0/1）－发送"1"时，收到"0"的条件概率;Peo=P(1/0）－发送"0"时，收到"1"的条件概率;上面这两个条件率称为错误转移概率10
10 第10章 数字信号最佳接收 ⚫ 10.2 数字信号的最佳接收 ◼ “最佳”的准则：错误概率最小 ◼ 产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在 二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最 小。 ◼ 判决规则 设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)， 发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) － 发送“1”时，收到“0”的条件概率； Pe0 = P(1/0) － 发送“0”时，收到“1”的条件概率； 上面这两个条件概率称为错误转移概率。 1 0 (1) (0) Pe = P Pe + P Pe
第10章数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“"0”，还是“1"。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数fo(r)和f(r)的曲线画在下图中（在图中把r当作1维矢量画出。）：fi(r)fo(r)P(A,/0)P(A/ 1)ro1可以将此空间划分为两个区域A.和A1，其边界是ro'，并将判决规则规定为：若接收矢量落在区域Ao内，则判为发送码元是“0"若接收矢量落在区域A.内，则判为发送码元是"1"11
11 第10章 数字信号最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可 以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判 决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。 由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0 (r)和f1 (r)的曲线画 在下图中（在图中把r 当作1维矢量画出。）： 可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0 ，并将判 决规则规定为： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。 A0 A1 r f0 (r) f1 (r) r0 P(A0 /1) P(A1 /0)