第4章骅幾性直漉电路 提要」非线性电路是广泛存在于客观世界。基于线性方程的 电路定狸不能用于非线性电路。作为基础,本章研究最简单的 非线性电路即非线性直流电路。首先介绍非线性电阻元件特性 和非线性直流电路方程的列写方油。然后依次介绍三种近似分 析法:数值分析法、分段线性近似湍和图解法。 本章目次 1非线性电凰元件特性 4分段性近似油 2非线性直硫电路方程 5图解油 3救值分新法
1非线性电阻元件特性 2非线性直流电路方程 3数值分析法 4分段线性近似法 5图解法 第 4 章 非 线 性 直 流 电 路 非线性电路是广泛存在于客观世界。基于线性方程的 电路定理不能用于非线性电路。作为基础，本章研究最简单的 非线性电路即非线性直流电路。首先介绍非线性电阻元件特性 和非线性直流电路方程的列写方法。然后依次介绍三种近似分 析法：数值分析法、分段线性近似法和图解法。 本章目次 提要
41)非线性电阻元件特性 基本要求:了解典型非线性电阻的基本特性、非线性电阻的分类。 非线性电阻:端口上的电压、电流关系不是通过U平面坐标原点的直线,不满足欧姆 定律。 非线性电阻特性示例 示例(1)、+↑1 示例(2) U 0 0.7V PN结二极管特性曲线 辉光管特性 I=l(e U/U 电压是电流的单值函数,反之不然。 UIn(1/1s+l) 此类电阻称为电流控制型非线性电阻 记作: 电流是电压的单调函数,称为单调 型非线性电阻: U=UD
4.1 非线性电阻元件特性 •非线性电阻：端口上的电压、电流关系不是通过 U-I 平面坐标原点的直线，不满足欧姆 定律。 非线性电阻特性示例： (e 1) / = − U UT S I I = ln( / +1) T S U U I I 电压是电流的单值函数，反之不然 。 此类电阻称为[电]流控[制]型非线性电阻 记作： U =U(I) 基本要求：了解典型非线性电阻的基本特性、非线性电阻的分类。 0.7V − + P-N结二极管特性曲线 O U I I U Ubr S I 示例（1） U I − + U I 辉光管特性 O 示例（2） 电流是电压的单调函数，称为单调 型非线性电阻：
示例(3) 电流是电压的单值函数,反之不然。 此类电阻称为电压控制型非线性电阻记作: =/(U) 隧道二极管特性 +U R 非线性二端电阻的符号 线性电阻:线性电阻是没有方向性的,其特性曲线对称于坐标 原点。 对比: 非线性电阻:通常具有方向性,正向和反向的导电性不同,它们 的特性曲线对坐标原点不对称
电流是电压的单值函数，反之不然。 此类电阻称为[电]压控[制]型非线性电阻记作： I = I(U) + U − I 非线性二端电阻的符号 R 对比： 线性电阻：线性电阻是没有方向性的，其特性曲线对称于坐标 原点。 非线性电阻：通常具有方向性，正向和反向的导电性不同，它们 的特性曲线对坐标原点不对称。 − + 隧道二极管特性 I U U O I 示例（3）
42)非线性直流电路方程 基本要求:掌握依据非线性电阻特点,列写非线性直流电路方程的一般方法。 非线性电路的分析思路:依据基尔霍夫定律和元件性质列写电路方程。由于含有非线 性电阻,故所得电路方程是非线性代数方程,求解非线性代数方程得到电路解答。基 于线性电路推导出来的定理不能用于解非线性电路。 1电路中只含一个非线性电阻 线性 部分 oC 部分U (b) 含一个非线性电阻时的计算方法 (1)利用线性电路的戴维南定理(或诺顿定理)对线性部分进行化简得图(b)所示的简单 非线性电路。 (2)列写图(b)电路方程。若为流控型电阻即LU(,则应以电流/为变量列KVL方程: R I+U=UoC 若为压控型电阻,即上U,则应以电压U为变量列KVL方程:R(O)+U=U0c (3)如果想进一步求出线性部分的解答,则可根据上述求得的解答,用电压源或电流 源置换非线性电阻,得图()所示的线性直流电路,对其求解便得到所需解答
4.2 非线性直流电路方程 非线性电路的分析思路：依据基尔霍夫定律和元件性质列写电路方程。由于含有非线 性电阻，故所得电路方程是非线性代数方程，求解非线性代数方程得到电路解答。基 于线性电路推导出来的定理不能用于解非线性电路。 1 电路中只含一个非线性电阻 − + 线性 部分 a b − + b (b) a 线性 部分 a b (a) (c) 含一个非线性电阻时的计算方法 U U U I I I UO C Ri (1) 利用线性电路的戴维南定理(或诺顿定理)对线性部分进行化简,得图(b)所示的简单 非线性电路。 (2) 列写图(b)电路方程。若为流控型电阻即U=U(I)，则应以电流I为变量列KVL方程： i UOC R I +U(I) = 若为压控型电阻，即I=I(U)，则应以电压U 为变量列KVL方程： i U U UOC R I( ) + = (3) 如果想进一步求出线性部分的解答，则可根据上述求得的解答，用电压源或电流 源置换非线性电阻，得图(c)所示的线性直流电路，对其求解便得到所需解答。 基本要求：掌握依据非线性电阻特点，列写非线性直流电路方程的一般方法
例题)41 图示电路,非线性电阻特性为 69 Q U=12-41(单位:V,A +1.5A R 1.5A U U 3g1 试求电压U和U1的值。 9V 9V b 解 (c) (1)将a,b左边的线性含源一端口网络等效成代入特性方程得到电压的两个解答 戴维南电路,如图(b)。对图(a)电路,当 U=(32-4×3)V=-3V a,b断开时求得开路电压 3 ×9V+(2+ (3+6) 3+62×15A=9V U=[(=3)2-4×(-3)V=2 (3)用电压源置换非线性电阻得图(c)所示的 等效电阻 线性直流电路。由节点分析法得 3×6 R=(2+2,g)g=492 3+6 693929 6929 (2)对图(b列KVL方程: 求解得到U1与U的关系: 4+12-4=9 U1=1.5V+0.50 当U分别等于U和U时,由上式求得电 T=3A P"=-3A 压U的两个值: U1=1.5V+05′=0U"1=1.V+0.5″=12V
例题 4.1 图示电路，非线性电阻特性为 U I 4I 2 = − (单位：V,A) 试求电压 U 和U1的值。 解 (1) 将a,b左边的线性含源一端口网络等效成 戴维南电路，如图(b)。对图(a)电路，当 a,b断开时求得开路电压 ) 1.5A 9V 3 6 3 6 9V (2 (3 6) 3 = + + + + UOC = 等效电阻 = + = + ) 4 3 6 3 6 (2 Ri (2) 对图(b)列KVL方程： 4 4 9 2 I + I − I = I' = 3A I'' = −3A 代入特性方程得到电压的两个解答： ' (3 4 3)V 3V 2 U = − = − " [( 3) 4 ( 3)]V 21V 2 U = − − − = (3) 用电压源置换非线性电阻得图(c)所示的 线性直流电路。由节点分析法得： + = + + 6 2 9V ) 2 1 3 1 6 1 ( 1 U U 求解得到U1与 U 的关系： U1 =1.5V + 0.5U 当U分别等于U’和U”时，由上式求得电 压U1的两个值： U' 1 =1.5V + 0.5U' = 0 U" 1 = 1.5V + 0.5U" = 12V − + U 9 V 1.5A 6 2 3 − + U1 I a b − + U I a b Ri UOC (a) (b) 9 V 1.5A 6 2 3 − + U1 a b (c) U
例题)42 图示电路中非线性电阻特性为=10-3U3(单位:A,V), R1+ R=lkQ 求分别为2V、10V和12V时的电压U。 解 对图中电路列KVL方程: RI+U 将R及非线性电阻特性代入式(1)得: 03×103U3+U-U=U3+-Us=0 (1)当U=2V时,U=V (2)当U=10V时,U=2V (非线性电路不满足线性叠加定理) (3)当=1V时,U"=2.144V
例题 4.2 图示电路中非线性电阻特性为 3 3 I 10 U − = (单位：A，V)， R = 1k 求US分别为2V、10V和12V时的电压U。 解 对图中电路列KVL方程： RI +U −US = 0 将R及非线性电阻特性代入式(1)得： 10 10 0 3 3 3 3 + − = + − = − U U US U U US (1) 当 US = 2V 时， U' = 1V (2) 当 US = 10V 时， U'' = 2V (3) 当 US = 12V 时， U ''' 2.144V = US R − + U I I （非线性电路不满足线性叠加定理）
2电路中含有多个非线性电阻 解题思路:若电路中含有较多的非线性电阻,宜对电路列写方程组,根据非 线性电阻是压控的还是流控的列写不同的方程。 (电路中的非线性电阻全部为压控非线性电阻情况口RV 右图中的非线性电阻为压控非线性电阻,即: R2 ①↓ +c→③ R:l1=l1(U1 R2:12=l2(U2) R 此时,须用电压作为待求量,把非线性电阻的电流非线性直流电路的节点电压法 作为变量,列写改进节点法方程。 (G3+G)Um-G30n3+1=G3U53+G4US4 (G5+G6Un2-GUn3-1=0 G Un-GUnm2+(G3+G6Um3-12=-G3U53 用节点电压表示上述方程中的非线性电阻电流 1=l1(U1)=1(Un-Un2) 12=12(U2)=l2(-Un)
2 电路中含有多个非线性电阻 解题思路：若电路中含有较多的非线性电阻，宜对电路列写方程组，根据非 线性电阻是压控的还是流控的列写不同的方程。 (1)电路中的非线性电阻全部为压控非线性电阻情况 右图中的非线性电阻为压控非线性电阻，即： 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) R I I U R I I U = = ： ： 此时，须用电压作为待求量，把非线性电阻的电流 作为变量，列写改进节点法方程。 3 4 1 3 3 1 3 3 4 4 5 6 2 6 3 1 3 1 6 2 3 6 3 2 3 3 ( ) ( ) 0 ( ) n n S S n n n n n S G G U G U I G U G U G G U G U I G U G U G G U I G U + − + = + + − − = − − + + − = − 用节点电压表示上述方程中的非线性电阻电流 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n I I U I U U I I U I U = = − = = − R1 R2 R3 R4 R5 R6 + U1 − + U2 − US3 US 4 1 I 2 I ① ③ ② 非线性直流电路的节点电压法
(2)电路中的非线性电阻一个是压控的,一个是流控的,设 ② 12=l2(2) R ①◆匚 对流控电阻R1要将其电流/选为待求量而不加以 R4 消去。这样得到的改进节点方程为: (G,+GUM-GUM+1=GUS+GUS4 (G3+G。Un2-GUn3-1=0 非线性直流电路的改进节点电压法 GUM-GUm+(G,+GsUm3-L,GU=-GUs3 Un1-U2=U1(1 R1 (3)电路中的非线性电阻全部为流控非线性电阻,即 R2 R U R U U2=U2(2) 用电流为待求量列写回路电流方程 非线性直流电路的回路电流法 (R4+R5)/1-R2-R3+U1=U 再用回路电流表示非线性电阻电压 R31+(R3+R5)2-U2=0 U2=U2(2)=U2(3-/2) R/1+(R3+R)l3+U2=Us3-Us4
(2) 电路中的非线性电阻一个是压控的，一个是流控的，设 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) U U I I I U = = 对流控电阻R1要将其电流I1选为待求量而不加以 消去。这样得到的改进节点方程为： = − = − − + + − − = − + − − = + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 1 2 1 1 3 1 6 2 3 6 3 2 3 3 3 5 6 2 6 3 1 3 4 1 3 3 1 3 3 4 4 U U U U I G U G U G G U I U G U G G U G U I G G U G U I G U G U n n n n n n S n n n n S S (3) 电路中的非线性电阻全部为流控非线性电阻，即 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 U U I U U I = = 用电流为待求量列写回路电流方程 4 5 1 5 2 4 3 1 4 5 1 5 6 2 2 4 1 3 4 3 2 3 4 ( ) ' ' ' ' ( ) ' 0 ' ( ) S S S R R I R I R I U U R I R R I U R I R R I U U U + − − + = − + + − = − + + + = − 再用回路电流表示非线性电阻电压 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ' ) ( ) ( ' ' ) U U I U I U U I U I I = = = = − R1 R2 R3 R4 R5 R6 + U1 − + U2 − US 3 US 4 1 I 2 I ① ③ ② 非线性直流电路的改进节点电压法 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + U1 − + U2 − U S 3 U S 4 1 I 2 I 1 I' 2 I' 3 I' 非线性直流电路的回路电流法
例题)43 电路含一个压控电阻和一个流控电阻。 +U 试列写关于控制量U和的联立方程 R/3 1(U1 解 SI l2(4)○ 12 对节点①列KCL方程: 1+/2-l3=0 将 1=l1(1) 代入上式,得 13=(Us3-Us+U1)/R 1(U)+12-(Us3-Us+U1)/R=0 再对左边回路列KⅥL方程得 联立方程 U2(2)-Us1+U1=0
例题 4.3 US 3 U S1 − + ( ) 2 2 U I ( ) 1 U1 I 2 I + U1 − ① R 3 电路含一个压控电阻和一个流控电阻。 I 试列写关于控制量U1和I2的联立方程。 解 对节点①列KCL方程： −I 1 + I 2 − I 3 = 0 1 1 1 3 3 1 1 ( ) ( ) / S S I I U I U U U R = = − + 将 代入上式，得 ( ) ( )/ 0 −I 1 U1 + I 2 − US3 −US1 +U1 R = 再对左边回路列KVL方程得 U2 (I 2 ) −US1 +U1 = 0 联立方程
43)数值分析法 基本要求:了解数值分析法原理,会用牛顿一拉夫逊法计算含一个非线 性电阻的电路。 数值分析法:借助计算机算法程序计算得出电路方程的数值结果。 图中含有一个非线性压控电阻,即图 中的/与U存在关系 线性 部分 =(U) (b) 牛顿-拉夫逊法示例 1根据前文所讲过的解题方法,首先将电路中的线性部分用诺顿电路进行等 效,如图(b)示,此时线性电路端口上的特性为 2以基尔霍夫定律为依据,将非线性电阻的特性引入到方程中: 1(0)-Isc+GU=0 3用牛顿一拉夫逊法进行求解 解题思路:令f(U)=1()-x+GU在UfU0坐标平面上画出fU)与U的关系曲线 曲线与横坐标U的交点就是方程的解答
4.3 数值分析法 数值分析法：借助计算机算法程序计算得出电路方程的数值结果。 − + U I 线性 部分 a b (a) − + U I a b SC I Gi (b) 牛顿-拉夫逊法示例 图中含有一个非线性压控电阻，即图 中的I与 U 存在关系 I I U = ( ) 1 根据前文所讲过的解题方法，首先将电路中的线性部分用诺顿电路进行等 效，如图(b)示，此时线性电路端口上的特性为： SC i I I GU = − 2 以基尔霍夫定律为依据，将非线性电阻的特性引入到方程中： ( ) 0 SC i I U I GU − + = 3 用牛顿－拉夫逊法 进行求解： 解题思路：令 f (U) = I(U) − I SC +GiU 在U—f(U) 坐标平面上画出 f(U) 与U的关系曲线 曲线与横坐标 U 的交点就是方程的解答。 基本要求：了解数值分析法原理，会用牛顿－拉夫逊法计算含一个非线 性电阻的电路