海南大学：《数字电子技术 Digital Electronics Technology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 逻辑代数基础

⊙海南大学 21概述 HAINAN UNIVERSITY 1.逻辑与逻辑运算 逻辑:事物间的因果关系。 逻辑运算:逻辑状态按照指定的某种因果关系进行 推理的过程。 2.逻辑代数与逻辑变量 逻辑代数:是描述客观事物逻辑关系的数学方法, 是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数 学家乔治布尔( George boole)于1847年提出的,所以 又称为布尔代数。 逻辑变量:逻辑代数中的变量。逻辑变量的取值范 围仅为“0”和“1”,且无大小、正负之分。 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 1. 逻辑与逻辑运算 ◼ 逻辑：事物间的因果关系。 ◼ 逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行 推理的过程。 2. 逻辑代数与逻辑变量 ◼ 逻辑代数：是描述客观事物逻辑关系的数学方法， 是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数 学家乔治·布尔(George Boole)于1847年提出的，所以 又称为布尔代数。 ◼ 逻辑变量：逻辑代数中的变量。逻辑变量的取值范 围仅为“0”和“1” ，且无大小、正负之分。 2.1 概述

⊙海南大学 22三种基本的逻辑运算 HAINAN UNIVERSITY 1.与逻辑(AND 当决定某一事件的全部条件都具备时,该事件才会发 生,这样的因果关系称为与逻辑。 设定逻辑变量并状态赋值 逻辑变量:A和B,对应两个开 y关的状态。1-闭合,0-断开; 描述逻辑关系的逻辑函数:y,对应灯的状态, 图表称为真值表1-灯亮,0-灯灭。 串联开关电路功能表与逻辑的真值表与逻辑表达式 开关A开关B灯YAB F=A·B 断开断开灭000 断开闭合灭0 (逻辑乘) 闭合断开灭 00 闭合闭合亮 B 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2.2 三种基本的逻辑运算 1. 与逻辑（AND） 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发 生，这样的因果关系称为与逻辑。 设定逻辑变量并状态赋值： 逻辑变量：A和B，对应两个开 关的状态。1－闭合，0－断开； 逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1－灯亮，0－灯灭。 开关A 开关B 灯Y 断开 断开 灭 断开 闭合 灭 闭合 断开 灭 闭合 闭合 亮 串联开关电路功能表 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 与逻辑的真值表 描述逻辑关系的 图表称为真值表 与逻辑表达式 Y=A·B （逻辑乘） A B Y

⊙海南大学 22三种基本的逻辑运算 HAINAN UNIVERSITY 2.或逻辑(OR) 当决定某一事件的所有条件中,只要有一个具备,该事 件就会发生,这样的因果关系叫做或逻辑。 或逻辑的真值表或逻辑符号 A00 b Y ②r 010 A B 并联开关电路功能表 开关A开关B灯 断开断开灭 或逻辑表达式B 断开闭合亮 Y=A+B 闭合断开亮(逻辑加) 闭合闭合亮 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2.2 三种基本的逻辑运算 2. 或逻辑（OR） 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事 件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。 开关A 开关B 灯Y 断开 断开 灭 断开 闭合 亮 闭合 断开 亮 闭合 闭合 亮 并联开关电路功能表 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 或逻辑的真值表 或逻辑表达式 Y=A+B （逻辑加） 或逻辑符号 A B Y

⊙海南大学 22三种基本的逻辑运算 HAINAN UNIVERSITY 3.非逻辑(NOT) 当某一条件具备了,事情不会发生;而此条件不具备 时,事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非 非逻辑的真值表 Y 非逻辑符号 0 04 电路功能表 非逻辑表达式 开关A灯Y FA=A Y 断开亮 (逻辑加) 闭合灭 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2.2 三种基本的逻辑运算 3. 非逻辑（NOT） 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备 时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。 电路功能表 开关A 灯Y 断开 亮 闭合 灭 非逻辑的真值表 A Y 0 1 1 0 非逻辑表达式 Y=A=A’ （逻辑加） 非逻辑符号 A Y

⊙海南大学 22三种基本的逻辑运算 HAINAN UNIVERSITY 4.复合逻辑 与非 F=Ⅹ.Y 或非F=X+Y 真值表 真值表 XYF X Y 0 0011 1110 00 0 F1000E xYxY F XY F 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2.2 三种基本的逻辑运算 4. 复合逻辑 ➢ 与非 真值表 F = XY X Y F X Y F 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 X & Y F F = X + Y X Y F 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 X Y F ➢ 或非 真值表 X Y F ≥1

⊙海南大学 22三种基本的逻辑运算 HAINAN UNIVERSITY 异或F=AB=A.B+4B>同或F=X⊙Y=XY+Xy 真值表 真值表 X Y F A XY F F ABAB F 000B 001 A F F B 011 110 001 A○ 81 与或非F=(AB+C·D B CO D 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2.2 三种基本的逻辑运算 ➢ 异或 真值表 X Y F 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 X Y F 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ➢ 同或 真值表 F = AB = AB'+A' B B A =1 F B A F F=X⊙Y=X’·Y’+X·Y B A F B A = F ➢ 与或非 F = (AB +C D)

⊙海南大学 23逻辑代数基本与常用公式 HAINAN UNIVERSITY 1.基本公式(P24) 序号 公式 序号 公式 规律 A●0=0 10 A+0=A 01律 A●1=A 11 A+1=1 01律 23456 1=0;0=1(公理) A·A=A 23 (A)=A 还原律 A+A=A 重叠律 A·A3=0 14 A+A=1 互补律 A●B=B·A 15 A+B=B+A 交换律 7A·(BC)=(AB)·C16A+(B德●摩根(De 结合律 8A·(B+C)=A·B+A·C‖17A+(BC Morgan)定理 分配律 (A·B)=A+B 18 (A+B)=A.B 反演律 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2.3 逻辑代数基本与常用公式 1. 基本公式（P24） 序号 公 式 序号 公 式 规 律 1 A• 0=0 10 A+0=A 01律 2 A • 1=A 11 A+1=1 01律 3 1’=0; 0’=1（公理） 12 (A’)’=A 还原律 4 A • A= A 13 A+A=A 重叠律 5 A •A’=0 14 A+A’=1 互补律 6 A •B=B •A 15 A+B=B+A 交换律 7 A •（B •C） = （A •B） •C 16 A+（B+C）=（A+B）+C 结合律 8 A •（B+C）=A • B + A • C 17 A+（B•C） =（A+B)• (A+C) 分配律 9 (A •B)’=A’+B’ 18 (A+B)’=A’•B’ 反演律 德•摩根（De. Morgan）定理

⊙海南大学 23逻辑代数基本与常用公式 HAINAN UNIVERSITY 2常用公式(P25) 序号 式 规律 19 A+A●B=A 吸收律 20 A+A●B=A+B 吸收律 21 A·B+A●B=A 22 A·(A+B)=A A●B+A●C+B●C=A●B+A●C 23 吸收律 A●B+A●C+B●C·D=A·B+AC 24 A·(AB)’=A°B';A'·(A·B)’=A 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 2. 常用公式（P25） 序号 公 式 规 律 19 A+A• B=A 吸收律 20 A+A’ • B=A+B 吸收律 21 A• B+A • B’=A 22 A•（A+B）= A 23 A •B+A’ • C+B • C=A •B+A’•C A •B+A’ • C+B • C • D=A •B+A’•C 吸收律 24 A•（A•B）’=A•B’；A’•（A•B）’=A’ 2.3 逻辑代数基本与常用公式

⊙海南大学 24逻辑代数的基本定理 HAINAN UNIVERSITY 1.代入定理 在任何一个含有变量A的逻辑等式中,若以一函数式取 代该等式中所有A的位置,该等式仍然成立。 2.反演定理 在一个逻辑式Y中,若将其中所有的+变成“” 变成“+”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成 反变量,反变量变成原变量,所得函数式即为原函数式 的反逻辑式,记作:Y。 例:已知Y=AB+(C+D)E’,求Y。 A#: Y=(AB+(C+D')E,)=(A'+B)(CD+E) 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 1. 代入定理 在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取 代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。 2. 反演定理 在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·” ， “·” 变成“+”， “ 0”变成“1” ， “1”变成“0” ，原变量变成 反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式 的反逻辑式，记作：Y’ 。 例：已知 Y=AB’+(C+D’)E’，求Y’。 解： Y’=(AB’+(C+D’)E’)’= (A’+B)(C’D+E) 2.4 逻辑代数的基本定理

⊙海南大学 2.4 逻辑代数的基本定理 HAINAN UNIVERSITY 3.对偶定理 若两个函数式相等,那么它们的对偶式也相等。 对偶式:在一个逻辑式Y中若将其中所有的“+”变成 ”,“变成“+”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,所 得函数式即为原函数式的对偶式,记作:Y。 例:X×y=X X (X+y=X Xy+Xz+yz=X'y+X·Z— (X+y)(X+2)(y+z)=(x+y)-(X+z) 信息科学技术学院 Digital Electronics Technology 2021/1/26

Digital Electronics Technology 2021/1/26 3. 对偶定理 对偶式：在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成 “·” ， “·”变成“+”， “0”变成“1” ， “1”变成“0” ，所 得函数式即为原函数式的对偶式，记作：YD 。 若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。 2.4 逻辑代数的基本定理 x+x·y=x x·(x+y)=x x·y+x·z+y·z=x·y+x ·z (x+y) ·(x+z) ·(y+z)= (x+y) ·(x+z) 例：