第二章逻辑代教基础 D 第 辑代数基础 Ill m
第二章 逻辑代数基础 逻 辑 代 数 基 础 第 二 章
第二章逻辑代教基础 D 1847年,英国数学家乔治·布尔(G. Boole提出了用数学分析方法表示 命题陈述的逻辑结构,并将形式逻辑归结为一种代数演,从而诞生了著名 的“布尔代数” 1938年,克劳德·向农(C.E. Shannon)将布尔代数应用于电话继电器 的开关电路,提出了“开关代数”。 随着电子技术的发展,集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关,故 人们更习惯于把开关代数叫 做逻辑代数。 逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工 具! Ill m
第二章 逻辑代数基础 逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工 具！ 1847年,英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示 命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演，从而诞生了著名 的“布尔代数”。 1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器 的开关电路，提出了“开关代数”。 随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故 人们更习惯于把开关代数叫 做逻辑代数
第二章逻辑代教基础 D 本章知识要点: ☆基本概念; ☆基本定理和规则; ☆逻辑函数的表示形式; ☆逻辑函数的化简。 Ill m
第二章 逻辑代数基础 本章知识要点： ☆ 基本概念 ； ☆ 基本定理和规则 ； ☆ 逻辑函数的表示形式 ； ☆ 逻辑函数的化简
第二章逻辑代教基础 D 2.1逻辑代数的基本概念 逻辑代数L是一个封闭的代数系统,它由一个逻辑变量集K, 常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成, 记为L={K,+,,-,0,1}。该系统应满足下列公理 公理1交换律 对于任意逻辑变量A、B,有 A+B=B+A A·B=B·A 公理2结合律 对于任意的逻辑变量A、B、C,有 (A+B)+C=A+(B+C) (AB)·C=A·(B·C) lIllI IIIII
第二章 逻辑代数基础 逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K， 常量0和1以及“或” 、 “与” 、 “非”三种基本运算所构成， 记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。 2.1 逻辑代数的基本概念 公 理 1 交 换 律 对于任意逻辑变量A、B，有 A + B = B + A ； A·B = B ·A 公 理 2 结 合 律 对于任意的逻辑变量A、B、C，有 (A + B) + C = A + ( B + C ) ( A·B )·C = A·( B·C )
第二章逻辑代教基础 D 公理3分配律 对于任意的逻辑变量A、B、C,有 A+(BC)=(A+B)(A+C); A·(B+C)=AB+AC 公理40-1律 对于任意逻辑变量A,有 A+0=A A·1=A A+1=1;A.0=0 公理5互补律 对于任意逻辑变量A,存在唯一的A,使得 A+A=1 A·A=0 公理是一个代数系统的基本出发点,无需加以证明。 lIllI IIIII
第二章 逻辑代数基础 公 理 3 分 配 律 对于任意的逻辑变量A、B、C，有 A + ( B·C ) = (A + B)·(A + C) ； A·( B + C) = A·B + A·C 公 理 4 0─1 律 对于任意逻辑变量A A + 0 = A ； A ·1 = A A + 1 = 1 ； A ·0 = 0 公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。 A A + A =1 AA = 0 公 理 5 互 补 律 对于任意逻辑变量A，存在唯一的 ，使得
第二章逻辑代教基础 D 2.1.1逻辑变量及基本逻辑运算 变量 逻辑代数和普通代数一样,是用字母表示其值可以变化 的量,即变量。所不同的是 1.任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或 取值1。 2.逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号,无大小、正负之分。 Ill m
第二章 逻辑代数基础 2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化 的量，即变量。所不同的是： 1．任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或 取值1。 2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。 一、变量
第二章逻辑代教基础 D 、基本逻辑运算 描述一个数字系统,必须反映一个复杂系统中各开关元 件之间的联系,这种相互联系反映到数学上就是几种运算关 系 逻辑代数中定义了“或”、“与”、“非”三种基本 算或”运算 如果决定某一事件是否发生的多个条件中,只要有 个或一个以上条件成立,事件便可发生,则这种因果关系 称之为“或”逻辑。 例如,用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路 lIllI IIIII
第二章 逻辑代数基础 二、基本逻辑运算 描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元 件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关 系。 逻辑代数中定义了“或” 、 “与” 、 “非”三种基本 运算。 1．“或”运算 如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一 个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系 称之为“或”逻辑。 例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路
第二章逻辑代教基础 D 例如,下图所示电路。 A B 并联开关电路 电路中,开关A和B并联控制灯F。可以看出,当开关A B中有一个闭合或者两个均闭合时,灯F即亮。因此,灯F与开 关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。可表示为 F=A+B或者F=A∨B,读作“F等于A或B”。 lIllI IIIII
第二章 逻辑代数基础 电路中，开关A和B并联控制灯F。可以看出，当开关A、 B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮。因此，灯F与开 关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。可表示为 并联开关电路 A B F 例如，下图所示电路。 F = A + B 或者 F = A ∨ B，读作“F等于A或B”
第二章逻辑代教基础 D 假定开关断开用0表示,开关闭合用1表示;灯灭用0表示,灯 亮用1表示,则灯F与开关A、B的关系如下表所示。 即:A、B中只要有一个为1,则F为1;仅当A、B均为0时,F 才为0。 “或”运算表 001 B010 F011 并联开关电路 “或”运算的运算法则: 0+0=01+0=1 0+1=11+1=1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。 lIllI IIIII
第二章 逻辑代数基础 假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯 亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。 即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F 才为0。 A 0 1 1 1 1 0 0 B F 0 1 0 1 1 “或”运算表 F 并联开关电路 A B “或”运算的运算法则： 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门
第二章逻辑代教基础 D 2.“与”运算 如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备,事 件才能发生,则这种因果关系称之为“与”逻辑。 在逻辑代数中,“与”逻辑关系用“与”运算描述。 两变量“与”运算关系可表示为 F=AB或者F=A∧B 即:若A、B均为1,则F为1;否则,F为0。 “与”运算表 0011 B0101 F0001 Ill m
第二章 逻辑代数基础 2．“与” 运算 如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事 件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。 在逻辑代数中， “与”逻辑关系用“与”运算描述。 两变量“与”运算关系可表示为 F = A·B 或者 F = A∧B 即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。 A 0 1 1 0 0 0 0 B F 0 1 0 1 1 “与”运算表