模糊与概率 王磊
模糊与概率 王磊
思路: 结论: ?·模糊和概率的基本知识·概率表征不完备 ?·模糊集合的几何图示·超立方体中的点的集合 ?·模糊集合的大小 隶属度函数和M(A) ·模糊集合的模糊程度·模糊熵E(A ?·模糊集合间的包含关系·模糊包含度S(A,B) ?·如何用模糊集合间的包·模糊熵—包含度定理 含关系表征某个模糊集E()=S(A∪AF,A∩A) 合的模糊程度
思路： 结论： • 模糊和概率的基本知识 • 模糊集合的几何图示 • 模糊集合的大小 • 模糊集合的模糊程度 • 模糊集合间的包含关系 • 如何用模糊集合间的包 含关系表征某个模糊集 合的模糊程度 • 概率表征不完备 • 超立方体中的点的集合 • 隶属度函数和 • 模糊熵 • 模糊包含度 • 模糊熵—包含度定理 M A( ) E A( )S A B ( , ) ( ) ( , ) c c E A S A A A A =
模糊和概率的基本知识 1是否不确定性就是随机性?似然比、概率是否代表了所有的不 确定性? Bayesian camp:概率是一种主观的先验知识,不是一种频率 和客观测量值 Lindley:概率是对不确定性唯一有效并充分的描述,所有其 他方法都是不充分的 相似:通过单位间隔[O,1]间的数来表述不确定性,都兼有集 合、相关、联系、分布方面的命题 区别:对待A∩Af。经典集合论,A⌒A=,P(A∩A)=P(中)=0 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在A⌒A≠φ
一、模糊和概率的基本知识 1.是否不确定性就是随机性？似然比、概率是否代表了所有的不 确定性？ Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值 Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的 相似：通过单位间隔[0,1]间的数来表述不确定性，都兼有集 合、相关、联系、分布方面的命题 区别：对待 。经典集合论， 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在 c A A , ( ) ( ) 0 c c A A P A A P = = = c A A
(1)是否A∩A°=p总是成立的? 考虑能否逻辑上或部分地违背“无矛盾定理”( Aristotle的 三个‘思考定理’之一,同时‘排中定貍’A=X,‘同 A= A 性定理’ 这些都是非黑即白的经典定理。) 模糊(矛盾)的产生,就是西方逻辑的结束 P(BA) P(A∩B) (2)是否可以摊异条牛橛务篇壬P(如X)=0 经典集合论中: A∪A° AoA 模糊理论:考虑超集 是其子集 的子集性程 度,这是模糊集合的特有问题
（1）是否 总是成立的？ 考虑能否逻辑上或部分地违背“无矛盾定理”（Aristotle的 三个‘思考定理’之一，同时‘排中定理’ ，‘同 一 性定理’ 这些都是非黑即白的经典定理。） 模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束 （2）是否可以推导条件概率算子 ？ 经典集合论中： 模糊理论：考虑超集 是其子集 的子集性程 度，这是模糊集合的特有问题。 c A A = c A A X = A A = ( ) ( | ) ( ) P A B P B A P A = c A A c A A ( | ) ( | ) 0 c c P A A A A P X = =
2。模糊和概率:是否与多少 模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性 例子:明天有20%的几率下小雨(包含复合的不确定性) 停车位问题 个苹果在冰箱里的概率和半个苹果在冰箱里 事件倒转,地球演变恢复原点 模糊是一种确定的不定性( deterministic uncertainty),是物理 现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的,人们需 要重新审视现实模型
2。模糊和概率：是否与多少 模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。 例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性） 停车位问题 一个苹果在冰箱里的概率和半个苹果在冰箱里 事件倒转，地球演变恢复原点 模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理 现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需 要重新审视现实模型
不精确的椭圆 概率上的椭圆还是模糊的椭圆?可否m(x)=PrOb{x∈A}? 证实了概率论是一种有限测量理论
不精确的椭圆 概率上的椭圆还是模糊的椭圆？可否 ？ 证实了概率论是一种有限测量理论。 ( ) Pr { } m x ob x A A =
二、模糊集合的几何图示: sets as points 将论域ⅹ的所有模糊子集—模糊幂集合F(2)看成一个超立 方体Ⅳ=[0,,将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。 非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距,最大模糊。 也是唯一满足以下特性的点:A=A⌒AC=A∪AF=AF (多值连续集合理论) AoB min(m A2B AU B max(m. m
二、模糊集合的几何图示：sets as points 将论域X的所有模糊子集——模糊幂集合 看成一个超立 方体 ，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。 非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。 也是唯一满足以下特性的点： （多值连续集合理论） (2 ) X F [0,1] n n I = c c c A A A A A A = = = min( , ) max( , ) c 1 A B A B A B A B A A m m m m m m m m = = = −
{x2}=(01) X=(l1) 6=(00) 模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点,其坐标(匹配值是(13 3/4)。表明第一个元素x属于A的程度是13,第二个元素x2的程度是3/4。立 方体包含了两个元素{x,x2}所有可能的模糊子集。四个顶点代表{x1,x2}的 幂集2X。对角线连接了模糊集合及其补集
模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3， 3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立 方体包含了两个元素{x1，x2}所有可能的模糊子集。四个顶点代表{x1，x2}的 幂集2 X。对角线连接了模糊集合及其补集
a is properly fuzzy iff A∩A≠ o or iff AU A≠X {x2}=(01) x=(11) AQA =(00) A=(1/3,3/4),A°=(2/3,1/4),A∩A=(1/3,14),A∪A°=(2/3,3/4) 完整的模糊方形。越靠近模糊立方体的中点,A就越模糊。当A到达中点时, 所有四个点A∫,A⌒r,心汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点,A 就越确定。当A到达顶点时,全部四个点发散到四个顶点,得到二值幂集合2x。 模糊立方体将 aristotelian集合“流放”到顶点处
完整的模糊方形。越靠近模糊立方体的中点，A就越模糊。当A到达中点时， 所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点，A 就越确定。当A到达顶点时，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2 X。 模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。 , , , ccc A A A A A A A is properly fuzzy iff or iff c A A X c A A (1/ 3,3/ 4), (2/ 3,1/ 4), (1/ 3,1/ 4), (2/ 3,3/ 4) c c c A A A A A A = = = =
、模糊集合的大小隶属度函数和M(A)=∑m(x) x2=(01) X=(11) 8=(00) =( A=(1/3,34)的计数等于M(A=1/3+34=13/12。计数M(A)等于从原点到A的矢 量的模糊汉明范数(l范数)。(X鬥,M)定义了模糊理论的基本测量空间
三、模糊集合的大小——隶属度函数和 1 ( ) ( ) n A i i M A m x = = A=(1/3,3/4)的计数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。计数M(A)等于从原点到A的矢 量的模糊汉明范数(l1范数)。（X, In , M）定义了模糊理论的基本测量空间
