AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 第三章Z变换 3.1Z变换的定义及收敛域[*] Z变换的定义 X(eo) r(n)e 个序列x(n)的z变换定义为 g[x(n)]=X(x)=∑ r(n)z 式中z是一个连续复变量,·称为z变换算子,它把序列x(n)变换为函数X(z)。 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 3.1 Z变换的定义及收敛域 [**] Z变换的定义 第三章 Z变换
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 3.1.2Z变换与离散时间傅里叶变换的关系[* X(x)=Xre)=∑[x(nr1e 可以看作原序列x(n)与指数序列r"相乘后的离 单位圆 散时间傅里叶变换。显然,当r=1时有z=e",上式 z平面 就是x(n)的离散时间傅里叶变换。 复数z平面的单位圆 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 3.1.2 Z变换与离散时间傅里叶变换的关系 [**] 上式
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 3.1.3Z变换的收敛域[*] ∑|x(n)z|=∑|x(n)r"e≤∑|xn)r"1 ∑|x(n)|r+∑|x(n) =∑|x(-m)|r+∑|x(n)|r"<∝ 两个和式为有限值,则无穷级数∑|x(n)z|也为有限值,即级数收敛。 ∑|x()2|≤M∑R"+∑Rr m=1 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 3.1.3 Z变换的收敛域 [**]
IAIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU I Im[z] Im[z] 0)z变换的收敛域 (d)左边序列(n2<0)的收敛域 (由半径为Rx-圆周延伸到无穷远处; (以R2+为半径的圆内) z=a是例3.3的极点) 典型序列z变换的收敛域(“0”表示零点,“×”表示极点) 数字信号处理简明教程
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AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 3.2z反变换[ 部分分式展开法 当z变换是变量z的一个多项式有理分式时,可以用部分分式分解的方法将其变成简单 因式项(一阶)的和,再由z变换表查出对应各简单因式项的序列,然后相加求得X(x)的z反 变换。一个N阶的z函数可用N阶降幂的分子分母多项式表示,即 ∑a;x X(z)= ,|z|>max[|p,门] 1+∑bx 上式的变换形式在离散线性时不变系统的研究中常常出现。假定X(z)有N个单阶的 极点,即p1,p2,…,p,这时X(z)的部分分式可以表示为 A,z X(z)=Ao+ A A PI z-p2 p Az =A+ p: 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 新·未来青年论坛暨2015微软学生夏令营 部分分式展开法 3.2 Z反变换 [**] 上式
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 7序列卷积的z变换(卷积定理) 两个序列卷积的z变换是两个序列各自z变换的乘积。设 [x(n)]=X(z),R-<|z|<Rx a[h(n)]=H(x),R1<|z|<R 若 y(n)=I(n)*h(n)=2h(m)x(n-m) 则y(n)的z变换为 Y(z)=H(z)X(z), max(R, R)<Iz< min(R+, Rny 上式Y(x)的收敛域是H(x)和X(x)收敛域的交集。如果其中一个z变换的收敛域边缘上的 极点被另一个z变换的零点抵消则Y(z)的收敛域就会扩大一些。在多数情况下,卷积定理 对于避免在时域的繁琐运算是非常有效的,它是一个很有用的性质。 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 新·未来青年论坛暨2015微软学生夏令营 7 序列卷积的Z变换(卷积定理)
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 3.4Z变换域中离散时间系统的描述 3.41由线性常系数差分方程导出系统函数[ 在2.4.2节中定义了单位采样响应h(n)作为线性时不变离散系统的时域描述,这里考虑 的系统是因果系统,即h(n)=0,n<0。此时式(2.48)可改写为 y(n)=∑x(m)h(n-m) 在z变换域中也可以用系统的单位采样响应h(n)的z变换H(z)来描述离散线性时不变 系统,即 H(z)=∑h(n)z” 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 新·未来青年论坛暨2015微软学生夏令营 3.4 Z变换域中离散时间系统的描述 3.4.1 由线性常系数差分方程导出系统函数 [**]
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 根据z变换的序列卷积性质,式(3.37)的z变换为 Y(z)=h(z)X(z) 式中X(z)、Y(z)和H(z)分别表示输入x(n)输出y(n)和单位采样响应h(n)的z变换。 于是系统函数H(z)可以表示为系统的输出序列y(n)的z变换与输人序列x(n)的z变 换之比 H(、Y(z) X(z) 与系统的频率响应函数H(e)不同,H(z)对那些不是有界输入有界输出(BIBO)意义下的稳 定系统也存在。 数字信号处理简明教程
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AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 对于线性常系数差分方程式(2.52)描述的线性时不变系统,利用z变换的线性和移位性 质可以方便地求得其系统函数。考虑一个线性时不变系统,其输入和输出序列满足式(2.52) 定义的线性常系数差分方程,即 y (n k)=∑ax(n-k) 对上式两边取z变换,并利用线性和移位性质,得到 N ∑b2xY(x)=∑ax2X(z) 于是可将系统函数进一步表示为 ∑ atz X(z) 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 新·未来青年论坛暨2015微软学生夏令营 对上式
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 34.2系统函数的频域分析 系统函数H(z)是两个多项式之比,也可用因式分解式把H(z)表示为下 列形式: (1-cz-1) H(z=AN ∏(1-dx3) 根据上式中的极-零点分布可以确定系统的因果性和稳定性 分子中的每一个因式(1-c4z1)在z=ck处提供一个零点和z=0处提供一个极 点;同样,分母中每一个(1-d4z-1)因式在z=d处提供一个极点和在z=0处提供一个零点。 这样,两个因式之比使得部分零点和极点抵消。因此,系统函数是由极零点在z平面上的分 布和常数因子A所确定。 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 新·未来青年论坛暨2015微软学生夏令营 3.4.2 系统函数的频域分析
