第四章几何设计第四章几何设计>拉格朗日插值与最小二乘法逼近>三次参数样条曲线>贝赛尔曲线和B样条曲线>不规则曲面√贝赛尔曲面和B样条曲面>三维几何造型
第四章 几何设计 第四章 几何设计 ➢拉格朗日插值与最小二乘法逼近 ➢三次参数样条曲线 ➢贝赛尔曲线和B样条曲线 ➢不规则曲面 ➢贝赛尔曲面和B样条曲面 ➢三维几何造型
第四章几何设计插值与拟合(b)(a)
第四章 几何设计 插值与拟合
第四章几何设计多项式插值利用实验手段得到yi=f (x)i=0, 1, 2, n一组有限的离散点构造一函数（x），近似地代替f（x），使β（x）通过所有的型值点，其他位置近似代替，（x）称为插值函数
第四章 几何设计 多项式插值 利用实验手段得到 一组有限的离散点 构造一函数 φ（x），近似地代替f（x），使φ（x） 通过所有的型值点，其他位置近似代替， φ（x）称 为插值函数
第四章几何设计线性插值F(x）过A,B两点线性插值。构造线性函数L1（x)：通过A，B两点最简单为过两点的线性函数yi-yo(x-x0)X- XIX-Xoy=yoX令b (x)1, (x)XI-XOXo-XXi~X0y=f(x)(4-1）式则为这两个一次式的线性组合。亦即PBy*=l(x)L (x)=yob (x) +yil, (x)式中l。（x）、1，（x）是线性插值的基函数，具有如下性质：y2Xb (x) =1b(x)=00XIX21(x)=0l (x)=1图4-1线性插值i=j1即(i, j=0, 1)X- XIX-XoL (x)=y10yoyiijXo-XX-
第四章 几何设计 线性插值 F(x)过A,B两点 构造线性函数L1(x): 通过A,B两点 最简单为过两点的线性函数
第四章几何设计二次插值如果y=f(x)在x0,x1,x2三个节点处的函数值为yo，yl，y2，可利用过这三个型值点构造一抛物线L2（×），二次多项式也可用基函数的线性组合表示Lz（x）=yolb（x）+yill（x）+yzh（x)基函数li（i=0，1，2）[1 i=j1(x,)都应为二次式，且满足loitj因。（x）是以x1、x为零点的二次式，故可写为同理b(x)=A(x-x)(x-x)(x-x)(x-x2)1 (x)又：b(x）=1..A(-x)(-x)=1(x -Xo)(x -X2）那么(xx0)(x-x)A= (x -x) (x - x2)2 (x)(x2 -X) (x2-)(x-x)(x-x2)1b (x) =(-x,) ( -x)即Lz (x) = (x) yi
第四章 几何设计 二次插值 如果y=f(x)在x0,x1,x2三个节点处的函数值为y0，y1，y2，可 利用过这三个型值点构造一抛物线L2（x），二次多项式也可用基 函数的线性组合表示 基函数li（i=0，1，2） 都应为二次式，且满足 同理 即
第四章几何设计拉格朗日多项式插值xXoX1X2X.yyoyiy2Yn(x)构造一n次多项式L（x）i=0,1,=yi..n同样可通过基函数的线x(x)y性组合求n次函数，使其i=j通过以上n+1个型值点1(x)(i,j=0,1,n)0iti由于1（x）具有n个零点，即xo、X，xi-1，xi+1，x故有l（x）=A（x-x）（x-x）..（x-xi-）（x-x+1）..(x-x）又由（x）=1，可求得A=（x- x0）（x-x,）（x-x-）（x）（x-x.)(x-X0)(x-x)*(x-x-)(x-x+).(x-x)所以1 (x)=（x-x0)(X-XI)..(X-Xi-)X-x+)(X-X)X-Xi=0,1,.nX-X1E()(x)()由此得此为拉格朗日多项式插值
第四章 几何设计 拉格朗日多项式插值 构造一n次多项式Ln（x） 同样可通过基函数的线 性组合求n次函数，使其 通过以上n+1个型值点 此为拉格朗日多项式插值
第四章几何设计例4-1用二次插值公式求cos24°10'36"的值。查余弦表可得到y=cosx三个节点处的函数值：24°10'24°11'24°12'x0.912360.912240.91212y(x)-()L(x)=(x-24°11） (x-24°12')L2(x)0.91236(24°10°-24°11'）（24°10-24°12）(x- 24°10'）(x- 24°12')0.91224（24°11_24°10"）（2411-24°12(x-24°10')(x-24°11)0.91212（24°12-24°10"）（24°12'-24°11)L（24°10'36"）=0.91229=cos24°10'36
第四章 几何设计
笔而竞口可没计#defineN3/*N=数据点数*/main ()lint i,j;float x [N],y[N],T, V, U, Y;scanf ("%f",&T);fori=0;1<=N-1;i++）(printf（“inputx[i],y[i]In");scanf（“%f,%f",&x[i],&y[i]);1Y=0;for（i=O;i<=N-l;i++）fU=1;V=1;for(j=o;j<=N-l;j++)(if (j! =i){U=U* (T-x [j]); V=V* (x [i] -X [j]);1Y= Y+ U/V* y [i];1printf ("y (%f) =%fI n,T,Y);
第四章 几何设计
第四章几何设计二、最小二乘法衡量逼近程度常用各点偏差的平方和即总偏差表示：rZ[yi -f (x)]?9=i= 1最小二乘法就是要获得使总偏差达到极小值时的函数，作为最佳逼近函数
第四章 几何设计 二、最小二乘法 衡量逼近程度常用各点偏差的平方和即总偏差表示： 最小二乘法就是要获得使总偏差达到极小 值时的函数，作为最佳逼近函数
第四章几何设计一、一次多项式逼近82 = (yi - ax) /m假设型值点之间存在线性关系y = a, x + a2mZxy -(≥x)(2y)a1-为了确定a1，a2，依最小二乘法m-(x)(a x; + 82 - y;)2=y=ax+82根据多元函数极值定理[ZxiZyimar=0Zxyi.LZxY0Omx + 8m =(α + x - yi) = 0Y± +8Zx = Zx;yi(az + ajxi - y;)x; = 0a=
第四章 几何设计 一、一次多项式逼近 假设型值点之间存在线性关系 为了确定a1，a2，依最小二乘法 根据多元函数极值定理