第六章离散时间系统的乙域分析6.1Z变换6.1.1Z变换的定义从拉氏变换（LT)到Z变换（ZT）)抽样信号的LT（对连续信号进行均匀抽样后可得到离散时间信号K=-001(0)t(0)→V1(0)= (0)· 2(0) = 1(0)2( -KL)8K=-80Z1()(-K)L,[8(t-kT) ]=e-kTs8-N(KL)6-r12 ←f(t)的双边LTLr[f(t) ]=F(S) =X
第六章 离散时间系统的Z域分析 6.1 Z变换 一） 从拉氏变换( LT )到Z变换( ZT ) 1） 抽样信号的LT (对连续信号进行均匀抽样后可得到离散时间信号 ) ( ) f t ( ) T t ( ) s f t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s T k f t f t t f t t kT =− = = − ( ) ( ) k f kT t kT =− = − ℒb [(t–kT) ]=e –kTS ℒb [f s (t) ]=F(S) ( ) kTS k f kT e − =− = f s (t)的双边LT 6.1.1 Z变换的定义
K=-00Z1(KL)6: LbLf(t) ]=F(S) =-128令Z=eST(Z为复变量K=-00 E()=()-←称序列f(kT)的双边Z变换X复变量Z的函数
令 Z= e ST (Z为复变量） ( ) ( ) k k F Z f kT Z − =− 则 = 复变量Z 的函数 称序列f (kT)的双边Z变换 ℒb [f s (t) ]=F(S) ( ) kTS k f kT e − =− =
2)复变量Z与S的关系L,[ f(t) ]=F(S)= Z 1(KL)6?-KL28K=-8Z 1(KL)S-rE(s)=S0002= E(2)E()S域与Z域间的重要关系(-2)5=621(@-e)=JUS说明1）为简便起见f(kT)简计为f(k)2）若序列f(k)是由连续信号f(t)抽样得到则f(k) =f(kT)=f(t)l=kT (T为抽样周期)3）序列f(k)并非一定由连续信号f(t)抽样得到离散时间信号源形式多样
2) 复变量Z与S 的关系 ( ( ) ) ST z e F Z F S = = ℒb [ f s (t ) ]=F(S)= ( ) 1 kTS k f kT e − =− （ ） ( ) ( ) (2) k k F Z f kT Z − =− = (6 5) ST Z e = − 1 ln (6 6) S Z T = − S域与Z域间的重要关系 说明 2）若序列f (k)是由连续信号f (t)抽样得到 则f (k) =f (kT)= f (t)| t=kT (T为抽样周期) 1）为简便起见 f (kT)简计为f (k) 3）序列f (k)并非一定由连续信号f (t)抽样得到 离散时间信号源形式多样
二)Z变换的定义f(k)的双边z变换，求和K=-00运算在正、负域进行。Z 1(r)s-r(@-)E(S) =k-0f(k)的单边Z变换，求和运算Z1(r)S-r(@-8)E()=只在正k域进行。（无论k<0时f(k)是否为零）80K=-00Z()()-r8当f(k)为因果序列时[即f(k)=0, k<0K=0K=-00f(k)的单、双边1(r)-= 1()-函E()=Z变换相等。88说明：本书单、双边乙变换都讨论-1[F(2)]Z变换简写为F(Z)=[f(k) ] ,_f(k)=简记为（象函数）f(k) F(Z)
二） Z变换的定义 ( ) ( 7 ) (6 ) k k F Z f k Z − =− = − f (k)的双边Z变换，求和 运算在正、负k域进行。 0 ( ) ( ) (6 8) k k F Z f k Z − = = − f (k)的单边Z变换，求和运算 只在正k域进行。 (无论k <0 时 f (k)是否为零） 0 ( ) ( ) = ( ) k k k k F Z f k Z f k Z − − =− = 则 = 当f (k)为因果序列时[ 即f (k)=0, k <0 ] ( ) ( ) k k f k k Z − =− = f (k)的单、双边 Z变换相等。 说明：本书单、双边Z变换都讨论 简记为 f (k) F(Z)（象函数） Z变换简写为 F(Z)= [f (k) ] ， f (k)= -1 [F(z)]
6.1.2Z变换的收敛域K=--81(K)-rE(S) =8只有当该幂级数收敛时K=0序列f(k)的ZT才有意义E()=()-8-()8：（）X收敛域：对于任意给定的有界序列f（K），使其z变换的定义式级数收敛的所有z值范围收敛域
6.1.2 Z变换的收敛域 ( ) ( ) k k F Z f k Z − =− = ( ) k k f Z k ZT − =− 即 （ ） : 绝对可和条件 存在的充要条件 0 ( ) ( ) k k F Z f k Z − = = 只有当该幂级数收敛时 序列f (k)的 ZT才有意义 收敛域：对于任意给定的有界序列f (k) ，使其Z变换 的定义式级数收敛的所有z值范围收敛域
1)有限长序列z变换的收敛域(f(k)仅在有限区间k≤k≤k,存在）上(s) 1(rk) =^l s() 2()K=0-N解(1)2()-=JE() =2()-r=88w(s)8(k)的Z变换是与Z无关的常数1因而在Z的全平面收敛，即Z[≥0+BG(s)
1)有限长序列 Z变换的收敛域(f (k)仅在有限区间k1 k k2存在） 解(1) 1 ( ) 例 求以下有限长序列 的 f k ZT =0 (1) ( ), (2) ( ) 1 2 3 2 1 k k f k = (k)的Z变换是与Z无关的常数1， 因而在Z的全平面收敛，即| Z |0 0 ( ) ( ) = ( ) =1 k k k k F Z k Z k Z − − =− = = Im( ) Z Re( ) Z
K=O() ()= 解(2)a)求f(k)的双边z变换K 1()-x = 1()-= ,++3+-1+E(S)=8为使f(k)的双边Z变换存在，应满足00f(k)为有限长序列时其F(Z)是Z的有限次幂Z-的加权和，其收敛域一般为0<Z」<80
f (k)为有限长序列时其F(Z)是Z 的有限次幂Z -k 的加权和，其收敛域一般为0 0 Im( ) Z Re( ) Z
f(k)为有限长序列时其F(Z)是z 的有限次幂z-k的加权和，其收敛域至少为00时，其收敛域为00时，其收敛域为[z>0 当ki<0,k,<0时，其收敛域为|Z|<
f (k)为有限长序列时其F(Z)是Z 的有限次幂Z -k 的加权和，其收敛域至少为0 0时，其收敛域为0 0时，其收敛域为| Z | >0 c．当k1 <0 , k2 0时，其收敛域为| Z | <
2）因果序列Z变换的收敛域()=()长真K=解: E(S)=N,e()-=(a-)←等比级数88K=0J-0-1-8E() = jIW(-)=-(as-l)W+-05中->[-==K所-a>lg,&(K)S-BG(S)结论：因果序列仅当|Z}>|α|时其ZT存在其收敛域为半径为α的圆外区域称为收敛圆
2）因果序列Z变换的收敛域 2 ( ) ( ) k 例 求 的 变换，并确定其收敛域。 f k a k Z = ( ) 1 0 ( ) ( ) = k k k k k F Z a k Z aZ − − =− = = 解： 等比级数 ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 ( ) lim lim 1 N N k N N k aZ F Z aZ aZ + − − → → − = − = = − 1 aZ a 1 Z − 即 = 1 1 1 Z Z Z a − = − − 1 aZ Z a 1 − 不定 = = 即 1 aZ Z a 1 − 无界 即 ( ) k Z a k Z a Z a − Im( ) Z |α| Re( ) Z 结论：因果序列仅当|Z|>|α|时其ZT存在， 其收敛域为半径为|α|的圆外区域 称为收敛圆
3)反因果序列Z变换的收敛域 ()=(--)共收K=-00解: E()=pe(--)-=(p-I) =(p-,)080=川=JJ-p-S.Z(p-,)=E()=(P-,)=P-,S-(p-,S)MOV+JJ-P--Pp-,[pl-5p-,Sw(s)S-P[s/<plPrE(-F-J)<KG(S)结论：反因果序列仅当Z<|b|时其ZT存在,半径为的圆，其收敛域为半径为b的圆内区域也称其为收敛圆
3）反因果序列Z变换的收敛域 3 ( ) ( 1) k 例 求 的 ，并确定其收敛域。 f k b k ZT = − − ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( 1) = k k k k k k k F Z b k Z bZ b Z − − − − − − =− =− =− = − − = 解： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) lim lim 1 N N m m N N m m b Z b Z F Z b Z b Z b Z + − − − − → → − = = − = = = − 1 b Z b 1 Z − = 即 令m k = − 1 1 1 b Z Z b Z Z b − − − = − − ( 1) k Z b k Z b Z b − − − − Im( ) Z Re( ) Z 结论：反因果序列仅当|Z|<|b|时其ZT存在， 其收敛域为半径为|b|的圆内区域 半径为|b|的圆， 也称其为收敛圆