第5章拉普拉斯变换与系统函数
第5章 拉普拉斯变换与系统函数
5.5系统函数p3275.5.1系统函数的代数结构与零极点LTI系统的系统函数具有如7.1-2a的有理分式函数代数结构：bos" +b,sm-I +...+bm-is+bm. = N(s)H(s) =D(s)aos" + a,sn-I +...+an-is +an对上式的分子多项式和分母多项式进行因式分解，则成为7.1-3amII(s-z)6B(s)H(s)1A(s)doI(s-p,)j=1
5.5 系统函数p327 • 5.5.1 系统函数的代数结构与零极点 LTI系统的系统函数具有如7.1-2a的有理分式函 数代数结构： 对上式的分子多项式 和分母多项式 进行因式分 解，则成为7.1-3a ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 D s N s a s a s a s a b s b s b s b H s n n n n m m m m − − − − = + + + + + + + + = = = − − = = n j j m i i s p s z a b A s B s H s 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
式中zi(i=1,2,m）是分子多项式B（s）的根..，，n）是分母多项式A（s）的根。, pj (j=1,2,·在z=zi 时，B（s）=O，因此称zi为系统函数H（s）的零点;在z=pj时，A（s）=0，因此称pi为系统函数H（s)的极点。·在B（s）或A（s）有重根时，称H（s））有高阶零点或高阶极点
• 式中zi （i=1,2，.，m）是分子多项式 B（s）的根 ，pj（j=1,2，.，n）是分母多项式A（s） 的根。 • 在z=zi 时，B（s）=0 ，因此称zi 为系统函数H（s） 的零点； • 在 z=pj时，A（s）=0 ，因此称pj为系统函数 H（s） 的极点。 • 在B（s） 或A（s）有重根时，称H（s） 有高阶零点 或高阶极点
5.5.2极点分析，系统函数的极点包含了系统的时域响应形式及稳定性的信息。B(s)H(s)，由于实际应用中遇到的系统函数A(s)·通常有m≤N，因此H(s）可展开为部分分式的形式
5.5.2极点分析 • 系统函数的极点包含了系统的时域响应形式及 稳定性的信息。 • 由于实际应用中遇到的系统函数 • 通常有 ，因此 可展开为部分分式 的形式。 ( ) ( ) ( ) A s B s H s = m N H(s)
C(1）单极点情况：H(s)=21k=ls-pkh(t) =ZCk,eP*'u(t)对上式两端作拉普拉斯反变换，得到k=1也即:Pk ~ eP'u(t)①pk为实数，则e将随pk0而具有不同的性质。Px0时，ePxt=elpal1->+0>+8因此，在系统所有极点均在s平面的负实轴上时，系统才稳定
（1）单极点情况： 对上式两端作拉普拉斯反变换，得到 也即： 因此，在系统所有极点均在s平面的负实轴上时， 系统才稳定。 = − = n k k k s C H s 1 p ( ) = = n k p t k h t C e u t k 1 ( ) ( ) ~ ( ) p p e u t t k k ① k p 为实数，则 t k e p 将随 pk 0、 pk = 0 和 pk 0 而具有不同的性质。 pk 0时， 0 p = ⎯⎯→⎯+→ t − pk t t k e e pk = 0时， 1 p = t k e ，(t 0) pk 0 时， = ⎯⎯⎯→ + k t pk t t→+ e e p
②Pk是复数。若p是H(s)的复极点，则p*也是H(s)的极点，而H(s)的部分分式展开式中的相应项为CkC.则有:S-Pks-PkCk2Ch,e*"cosOt+2Ck,e*'sin 0t (t≥0)S-PkS-Pk仅当=Re[pk]<0时，Pk和pk对应的两项单位冲激响应才会随t→+α以指数衰减的形式收敛于零，从而才能满足h(t)→0(t→+oo)的系统稳定性条件；
② pk 是复数。 若 k p 是H(s)的复极点，则 * k p 也是H(s)的极点，而H(s)的 部 分分式展开式中的相应项为 − + − k k k k s p C s p C 则有： 2 cos 2 sin ( 0) 1 2 + − + − C e t C e t t s p C s p C k t k k t k k k k k k k 仅当 k = Repk 0时， k p 和 * k p 对应的两项单位冲激响应才会随t → + 以指数衰减的形式收敛于零，从而才能满足h(t) →0 (t →+)的系统稳 定性条件；
jaS平面O图7.1-1H（s）的极点与所对应的响应函数
[例5-18]：对于给定的数值条件，-1V2(s) =332s+Is+22现将其视为某系统的传输函数，求此系统的单位冲激响应。解：设该系统的系统函数为H(s)，则有/1515-12233/153315S++s+224444
[例5-18]: 对于给定的数值条件， 现将其视为某系统的传输函数，求此系统的单位冲激 响应。 解：设该系统的系统函数为H(s)，则有 2 3 2 3 1 ( ) 2 2 + + − = s s V s 4 15 4 3 2 15 4 15 4 3 2 15 2 3 2 3 1 ( ) 2 s j j s j j s s H s + + + + − − = + + − =
可知有32/15Ck=0Ck2O0V1544因此直接得到3/154(t ≥0)h(tsin/154
可知有 因此直接得到 4 3 k = − 4 15 k = 0 1 Ck = 15 2 2 Ck = − h t e t t 4 15 sin 15 4 ( ) 4 3 − = − (t 0)
从以上的讨论可见，在H(s)仅存在单极点时，每个极点p都对应了eRelpali的单位冲激响应项或幅度为eRelpali的正弦或余弦形式单位冲激响应项。因此，仅当Re[pl<0，也即所有极点均位于s平面的左半平面（不含jo轴）时，系统才稳定
从以上的讨论可见，在 H(s)仅存在单极点时，每个极点 k p 都 对应了 p t k e Re 的单位冲激响应项或幅度为 p t k e Re 的正弦或余弦 形式单位冲激响应项。因此，仅当Re 0 k p ，也即所有极点均 位于 s 平面的左半平面（不含 j 轴）时，系统才稳定