第5章离散时间系统的时域分析(K)6()离散系统福离散系统的时域分析与连续系统的时域分析有对应关系1=01=0Ja()(0)=Zp'6()(0)连续系统微分方程1含微分、数乘、相加运算(0) =(0)+(0)= )(0) +(0)(0) = 6(0)*μ(0)、相加含移位（或延时）、数乘、离散系统差分方程()=()+() =()+() ()= 6() *()
第5章 离散时间系统的时域分析 e k( ) y k( ) 离散系统 连续系统 离散系统的时域分析与连续系统的时域分析有对应关系 微分方程 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) n m i j i j i j a y t b e t = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h p zi zs y t y t y t y t y t = + = + 含微分、数乘、相加运算 离散系统 差分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h p zi zs y k y k y k y k y k = + = + 含移位（或延时）、数乘、相加 ( ) ( ) ( ) zs y t e t h t = ( ) ( ) ( ) zs y k e k h k =
5.1系统差分方程及其经典解5.1.1差分方程6()(r)TLI单输入一单输出的LTI离散系统差分方程的一般形式为常系数线性差分方程前向差分方程p"6(+w)+pw-I6(+-J)+ +p's(+J)+p°6()+)+-+-)+ ++)+)1=01=0Zαr(+)=Zp's(+)NMWN
单输入—单输出的LTI离散系统差分方程的一般形式为 常系数线性差分方程 y k( ) LTI e k( ) 0 0 ( ) ( ) n m i j i j a y k i b e k j n m = = + = + 5.1 系统差分方程及其经典解 5.1.1 差分方程 前向差分方程 1 1 0 1 1 0 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) n n m m a y k n a y k n a y k a y k b e k m b e k m b e k b e k − − + + + − + + + + = + + + − + + + + L L
后向差分方程p"6()+p-I6(-J)+ +p6(-w)α"()+α-()+ +(-)=1=01=026(-)(-=NM差分方程的阶数输出序列y(K)的最高序号与最低序号之差
差分方程的阶数 输出序列y(k)的最高序号与最低序号 之差 0 0 ( ) ( ) n m n i m j i j a y k i b e k j n m − − = = − = − 1 0 1 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) n n m m a y k a y k a y k n b e k b e k b e k m − − + − + + − = + − + + − L L 后向差分方程
5.1.2差分方程的解1=01=0216(-1)-(K-)=≥0N①送代法求解差分方程的方法：②经典法③变换域法1.送代法用迭代的方法求得差分方程的数值解便于用计算机求解，但不易得出解析式
5.1.2 差分方程的解 求解差分方程的方法： ①迭代法 ②经典法 ③变换域法 1.迭代法 用迭代的方法求得差分方程的数值解 便于用计算机求解，但不易得出解析式。 0 0 ( ) ( ) n m n i m j i j a y k i b e k j − − = = − = −
如 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2) = e(k)y(0) = 0, y(l) = 2,e(k) = 2* ε(k)解: y(k)=-3y(k-1)-2y(k-2)+e(k)y(2) = -3y(1) - 2y(0)+e(2) = -6+ 4 = -2y(3) = -3y(2)- 2y(1)+e(3) = 6- 4 +8 = 10y(k) ={0,2, -2,10, ...k=0
如 ( ) 3 ( 1) 2 ( 2) ( ) y k y k y k e k + − + − = (0) 0, (1) 2, ( ) 2 ( ) k y y e k k = = = 解：y k y k y k e k ( ) 3 ( 1) 2 ( 2) ( ) = − − − − + y y y e (2) 3 (1) 2 (0) (2) 6 4 2 = − − + = − + = − y y y e (3) 3 (2) 2 (1) (3) 6 4 8 10 = − − + = − + = y k( ) 0,2, 2,10, = − k = 0
2.时域经典解用时域法求解离散系统的程序建立系统的差分方程由e(k),确定特解y,(k)求特征根入；确定齐次解的形式(查表5-2)yi(k)的形式(查表5-1)()=()+(含待定系数)由初始条件确定系数系统响应y(k)
2. 时域经典解 用时域法求解离散系统的程序 建立系统的差分方程 求特征根i ,确定齐次解 yh (k)的形式(查表5–1) 由e (k),确定特解yp (k) 的形式(查表5–2) + + 由初始条件确定系数 ( ) ( ) ( ) h p y k y k y k = + (含待定系数) 系统响应y(k)
(1)齐次解yh(k)()+α"-(-)+ +α(-)=0冬美之卫结齐次解也称作自由响应，是齐次方程的解一阶差分方程的齐次解()+(-D=0意味着y（K)）是一个公比(-)为(-a)的几何级数(即等-0()比数列)()=C(-α)其中C是待定系数，由初始条件定
(1)齐次解yh (k) y k ay k ( ) ( 1) 0 + − = ( ) ( 1) y k a y k = − − ( ) ( )k h = − y k C a 其中C是待定系数，由初始条件定 一阶差分方程的齐次解 意味着yh (k)是一个公比 为(-a)的几何级数(即等 比数列) 齐次解也称作自由响应，是齐次方程的解 1 0 ( ) ( 1) ( ) 0 n y k a y k a y k n + − + + − = − L 齐次差分方程
n阶差分方程的齐次解设齐次解由形式为C2的组合把yi(k)=C2*代入n阶齐次差分方程得()+α"-I(-)+ +α"(-+)+α(-)=0cah +an-icak-l +...+acak-1-n ,+aocak-n =01:c0,0,除以cak-n:y+α-y-+r a'y+α°=0一美夕卫结的程妞卫
n 阶差分方程的齐次解 把 yh (k) =C k代入n阶齐次差分方程得 1 1 1 0 0 n n a a a n − + + + = − L 差分方程的特征方程 1 1 1 1 0 0 k k k n k n n c a c a c a c − − − − + + + + = − 0, 0, k n c c − 除以 设齐次解由形式为C k 的组合 1 1 0 ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 n y k a y k a y k n a y k n + − + + − + + − = − L
°有n个特征根入；(i=1,2,3...n)"(K)=Zc'y当入均为单实根时(查表5-1)得求差分方程齐次解步骤差分方程一→特征方程一→特征根一yi(k)的解析式→由起始状态定常数
1 1 1 0 0 n n a a a n − + + + = − L 有n个特征根 i (i = 1, 2, 3. n) 当 均为单实根时(查表5 -1)得 1 ( ) n k h i i i y k C = = 差分方程的特征方程 求差分方程齐次解步骤: 差分方程→ 特征方程→特征根→ yh (k)的解析式→由起始状态定常数
例1：求下列方程的齐次解yi(k)y(k)+3y(k-1)+2y(k-2) = 0解：入23入十2=02=1, =—2Yh(k) =C(-1)k +C,(-2)表5-1:特征根入为单实根时，齐次解yi(k)=c >k
1) ( ) 3 ( 1) 2 ( 2) 0 y k y k y k + − + − = 例1：求下列方程的齐次解yh (k) 1 2 ( ) ( 1) ( 2) k k y k C C h = − + − 解：λ＋3λ＋2＝0 2 1 2 ＝－， ＝－ 1 2 表5－1： 特征根λ为单实根时，齐次解yh (k)＝c λ k