第二章连续时间系统的时域分析时域分析：对系统的分析与计算均以时间t为变量优点：直观、！物理概念清楚缺点：对高阶系统或复杂激励计算复杂2.1系统微分方程的经典解、微分方程（数学模型）的建立一为建立线性系统的数学模型，需找出描述其工作特性的微分方程式。图所示电路写出以u为响应的数学模型B一1RRURB·!十
第二章 连续时间系统的时域分析 时域分析：对系统的分析与计算均以时间t 为变量 优点：直观、物理概念清楚 缺点：对高阶系统或复杂激励计算复杂 2.1 系统微分方程的经典解 一、微分方程（数学模型）的建立 为建立线性系统的数学模型，需找出描述其工作 特性的微分方程式。 i s uL R L C uC iL i c uR i R 图所示电路写出以uL为响应的数学模型 '' ' 1 1 L L L s L i R i i C R i C + + = +
写出图所示系统的数学模型(0)虫1二x(0)
− e t( ) y t( ) + − 2 3 5 1 + − ' x t( ) '' x t( ) x t( ) ''' x t( ) 写出图所示系统的数学模型
(0)6(0)TLI对于任意一个单输入一单输出的LTI系统，其数学模型的一般形式为"-(-)(0)+ 07,(0)+0(0)as++p"-1(u-1)() +T p'6.(0) +p°s(t)=p"6(T1=01=0简记为()=6()NJUJ二、微分方程的经典解法
对于任意一个单输入—单输出的LTI系统，其数学模 型的一般形式为 y t( ) LTI e t( ) ( ) ( ) n n a y t 二、微分方程的经典解法 ( 1) 1 ( ) n a y t n − + − ' 1 +L a y t( ) 0 +a y t( ) ( ) ( ) m m = b e t ( 1) 1 ( ) m m b e t − + − ' 1 +L b e t( ) 0 +b e t( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) n m i j i j i j a y t b e t = = 简记为 =
用时域法求解连续系统的流程图建立系统的微分方程求特征根入；，确定齐次解由e(t)确定特解yp(t)yh(t)的形式(查表2-1)的形式(查表2-2)(0)=(0)+()(含待定系数)由初始条件确定系数系统响应(t)
用时域法求解连续系统的流程图 ( ) ( ) ( ) h p y t y t y t = + (含待定系数) 系统响应y(t) 建立系统的微分方程 求特征根i , 确定齐次解 yh(t)的形式(查表2–1) 由e(t)确定特解yp(t) 的形式(查表2–2) + + 由初始条件确定系数
例1 描述某LTI系统的数学模型为)()+2);()+Q(1)=G(l)邸 6(0)=J0cO218(0) (0)= (0)=0 求系统响应(0)8(0)舞:幸低卫结+2y+e=0=-=-3拜有苟± (0)=c'6_5+c*6-3t:性衣舞-()=co22(2b+20)c021+(—2b+20)2IU/-10c021、插石[= ]-2b+20= 0b=J2b+20=J0
例1 描述某LTI系统的数学模型为 '' ' y t y t y t t ( ) 5 ( ) 6 ( ) e( ) + + = ' 已知 e( ) 10cos ( ), (0) 2, (0) 0 t t t y y = = = 求系统响应 y t t ( ) ( ) 2 解： 特征方程 ＋ ＋ ＝ 5 6 0 1 2 2 3 特征根 ＝－ ， ＝－ ( ) 2 3 1 2 t t h y t c e c e 齐次解 ＝ ＋－ － 查表 ，可设特解为 ＝ ＋ 2-2 cos sin y t P t Q t p ( ) ( ) ( ) y y y y y p p p p p 5 5 cos 5 5 sin 10cos P Q t P Q t t + 求 、 ，将 、 、 代人原方程，整理后有 ＋ － ＋ ＝ 5 5 10 5 5 0 P Q P Q + = − + = 1 1 P Q = =
(0)=CO2I+2U=CO2(f.++):()=()+(0)=c+c+ c02尔人爸希张年(o)=--c-210:c c=ITe(0)+ CO2(t -十(0)=(0)+(舞命
( ) ( ) 2 3 ( ) 2 2 cos( ) ( ) 4 h p t t y t y t y t e e t t − − = − + − 解得 ＝ ＋ cos sin 2 cos(t ) ( ) 4 p y t t t = ＝ ＋ － ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 cos 4 p h t t y t y t y t c e c e t － － 全解 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ － ( ) 1 2 0 2 cos 2 4 y c c 代人初始条件 ＝ ＋ ＋ ＝ (0 2 3 2 sin 0 ) 1 2 4 y c c ＝－ － － ＝ c c 1 2 ＝ ＝－ 2 1
(0)=J6-5t - 6-3t + cO2(↑ -7↑>0特解齐次解自由响应强迫响应暂态响应稳态响应当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数时，系统的全响应也可分解为瞬态响应和稳态响应
2 3 ( ) 2 2 cos( ) t 0 4 t t y t e e t − − ＝ − + − 齐次解 特解 自由响应 强迫响应 暂态响应 稳态响应 当输入信号是阶跃函数或有始的周期 函数时，系统的全响应也可分解为瞬态响 应和稳态响应
2.1.2关于系统在t=0.与0,状态的讨论（难点）讨论的前提1=01=0Zα'P()()=Zp'6()(0)D)0NΛ8NW2）t<0时e(t)=03）求t≥0时系统的响应y(t1.初始状态与初始条件（O~）初始状态（第二类初始条件）e(t)加入=0I5FN-初始状态反映历史信息而与激励无关e(t)加入e(t)加入后瞬间》）（0*）初始条件（第一类初始条件）前瞬间0.0（06(并回t0(o))(0~)1：^7)(o+) =0(0t)-()(0~)A
2.1.2 关于系统在t＝0-与0+状态的讨论（难点） 讨论的前提 ( ) ( ) 0 0 1) ( ) ( ) 0 n m i j i j i j a y t b e t t − = = = 2） t <0时 e(t)=0 3）求 t 0时系统的响应y(t) 1. 初始状态与初始条件 初始状态（第二类初始条件） 0 t e (t)加入 0– 0+ e (t) 加入 前瞬间 e(t) 加入 后瞬间 ( ) (0 ) j y − j n = − 0,1,2, , 1 L 初始状态反映历史信息而与激励无关 ( ) (0 ) j y + 初始条件（第一类初始条件） ( ) (0 ) ( ) j y e t 由 和 共同决定 − ( ) ( ) 0 0 j y t − + 从 可能发生跳变 : ( ) ( ) ( ) (0 ) j j j y y y 令 (0 )- (0 ) 跳变量 V + = + - ( ) ( ) (0 ) (0 ) j j y y 即 + −
10)(0t)因·河竺田e6年：思，0+82.初始条件（即跳变量）的确定方法a.对电路模型利用物理概念进行判断r(0)=I△(0)=0坐(o+)=(o+)=(o+)9t=0uc2uc1宁C2=1/2FTC,=1F
2. 初始条件(即跳变量) 的确定方法 a. 对电路模型利用物理概念进行判断 C1=1F uC1 t=0 uC2 C2=1/2F 1 2 1 2 (0 ) 1V (0 ) 0 (0 ) (0 ) (0 ) u u u u u 已知 求 − − + + + = = = = ( ) ( ) ( ) 0 (0 ) (0 ) (0 ) j j j y y y + + ＋ － 求解微分方程时，一般限于 ｔ 范围， 应当利用 作为初始条件，求齐次解的系数。 因此，需要从已知的初始状态 设法求得
b.8匹配法（8函数平衡法）对任意系统的数学模型普遍适用的方法基本思路1=01=0WiaTZp'6)()(D0(0)=ONfΛ8JJ01=0α'7(0)=Zp'6()()I<OQN2）引入8(t)后函数在跳变点的导数存在如果由于激励信号的加入，在方程右端出现8(t)及其各阶导数，则方程左端也相应产生与之对应的8（t)及其各阶导数项使之方程两端平衡，而左端冲激函数的产生意味着左端y（i)(t)中的某些项在t=0处有跳变
b. 匹配法（ 函数平衡法） ( ) ( ) 0 0 (1) ( ) e ( ) 0 n m i j i j i j a y t b t t − = = Q = 基本思路： ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 n m i j i j i j a y t b e t t − + = = = （2）引入(t)后函数在跳变点的导数存在 如果由于激励信号的加入，在方程右端出现(t)及其 各阶导数，则方程左端也相应产生与之对应的(t)及其 各阶导数项使之方程两端平衡 ，而左端冲激函数的产 生意味着左端y ( i ) (t)中的某些项在t=0处有跳变。 对任意系统的数学模型普遍适用的方法