第4章解线性代数方程组的迭代法 4-1向量序列和矩阵序列的极限 4-2简单迭代法 4-3赛德尔迭代法 4-4松驰法
迭代法适用于解高阶稀疏非病态方程组。它只需要 存储非零元素 但对有些问题,迭代可能发散或收敛很 慢
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§4-1向量序列和矩阵序列 定义1设向量X=(xx,xm)(m=0.12 如果对每个分量x,都有lmxn=a,则称向量 m→00 a=(x,a2,.n)为向量序列{X的极限;或 者称向量序列{X}收敛于向量a,记为: Imx=a m→00
k 例:设X= kk+ ),当k→O时,有 k lim -=0. lim k-yookk-yook+1 所以:imx=(0 k→>∞
定理1向量序列{xy收敛于向量c的充分 必要条件是:对任何向量范数都有 im m=o m→00
定义2设矩阵A=(am)(m=02,)是 n阶方阵,如果对于每个元素序列a都 存在极限,即: lim am=a则称矩阵 A=(an)n为矩阵序列{A)的极限,或 者称矩阵序列收敛于矩阵A,记为 lim a=a
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e 例:设矩阵A=k sink 21+ 当→时,m=!me=0 lim sinkei k-yook k→x k 所以有mn4/00
定理2矩阵序列A"}收敛于矩阵4的充分 必要条件是对于任何矩阵范数都有 m 0 m→00
§4-2 jacobi迭代法(简单迭代法) 设有方程组Ax=b 其中A是NxN非奇异矩阵。故有 唯一解。 把上式改写成迭代形式
X=BX+g 于是设X0)是一个任意的初始迭代向量。 代入等式的右边,得到新的向量记为X XO=BX+g 一般地有: X (k) BX (k-1) (k=1,2,…) 我们得到向量序列{,k=01 如果{“收敛于X,即: (k) 则向量X是Ax=b的解 现讨论解的求法及收敛性
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