第九章常微分初值问题的数值解 ODE Ordinary Diferential Equations) 9.1常微分方程及其求解概述 9.2Euer法、预估校正法 9.3龙格库塔法 94线性多步法(阿达姆法) 95方程组与刚性问题 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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91常微分方程及求解概述 (Ordinary Differential Equations, ODE) 9.11基本概念 描述自由落体的ODE: S 2g (9-) d t 若设:t0=0时s=0,s=1(9-2) 0时s=0 或设: 时s=0 那么ODE9-1)唯一确定了S=() 的运动轨迹。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
只有一个自变量的微分方程为ODE,否则称为偏微分方程 PDE。 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。 如 y +qx)= 如:(9-4)是二阶的 方程中关于未知函数及其各阶导数均是一次的,则称为线性微 分方程。 如:(9-1)是线性二阶ODE。 (92,(9-3)是(9-1)的初始条件。亦称定解条件。(9-1)9-2)叫做 初值问题。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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(9-1),(9-3)叫做边值问题。 ·在没有给定解条件时。方程一般有一族解曲线y(x,)。如: y dx 有解yx.d=ce.(为任意常数) 对任意的n阶ODE,如果能写成: y,y 则称该方程为显式的。方程(9-4)是显式的。而下面方程 是隐式的。 sin y )+expl =y+x 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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对于高阶显式方程。通过定义n-1个新变量,可以写成n维一阶 方程组。 即令: dy dx y 那么(-5可以改写为如下的方程组: y0=y1 y1=y2 y0,y1,…,yn-1 一般我们把方程组写成向量形式: 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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这里:y=(ny1…,yn) 在讨论初值问题时,我们从一阶方程开始: y=J, x0)=y ·当(xy)与y无关时,fxy)=g(x) 则初值问题 g 变为积分问题 y=8 故求解微分方程具有更广泛的意义。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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9.12数值解及其重要性 ODE的解很少能用初等函数及其 不定积分的组合表示。例如方程 y=r+y2 不能表示为初等函数,故得不到精确解。 有的解可以表示为自变量的显示形式, 但仍然得不到精确解。例如 v=1-2xy 的解是 ya)=e hedt 而[ed难以求积。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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9.1.3ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1.离散化 用 Taylor级数,数值积分和差商逼近导数等手段, 把ODE转化为离散的代数方程(称差分方程)。 2.递推化 在具有唯一解的条件下,通过步进法逐步计算出解 在一系列离散点上的值。从而得到原ODE的数值近似解。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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初值问题解法 我们讨论一阶ODE,而高阶可能化为一阶 ODEs。一阶初值问题 可以一般地写成: xy)x∈x dx 1 9.2欧拉( Euler)方法 Euler方法是求解(9-8)最简单方法,但精度差, 故不实用。然而对理论分析很有用。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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921方法原理及推导 设初值问题(98)满足: a)f在区域R:xn≤x≤X,y0,对v(x,n)(x,y2)∈R f(x, y)-f(x, y 2)<Ly-y2 那么(9-8)就存在唯一的解。 a),b)可用更强的,但便于检验的 条件来代替: 在R内有界。 y 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
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