第六章代数插值 6.1 Lagrange插值 6.2 Newton插值 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
插值自变量和应变量的关系以表格或曲线形式给出 由于函数关系过于复杂或当前还未找到合适的方程表达 希望用较少数据点存入计算机 产生插值问题 dx 逼近对计算不便或复杂的函数Bm=[x=0= 用另一便于计算的函数近似之 称为逼近方法 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
!"# $ %&'()*+,-./0 123456 7./89 ':;9./ ?@A ?@A<"B
61 Lagrange插值 常用n次多项式P ao t a,x n 根据 Weierstrass逼近理论 /(r)+8 f(r) 图 Weirstrass逼近理论示意 x∈ E>0 If(x)-Pn() 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
6.1.1插值多项式 插值多项式 (x,y,) yn 型值点 x In X 图型值点和插值多项式 P(x)=an+ax+…+ax+…+a P(x,) =f(x) 使 4u4¨2·一确定 n+1个待定系数n+1个条件 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
推是=B,。(x)y +…+B n.i yit + B ∑B,(x)·y B(x)—Pn(x)的基本式,基函数 Pn(x)通过型值点, (6-3)→(6-2) yoB,o(o) +y,B,,(x y +…+ynBn,(x0)=y yoB.G) BR()++y,B,()=y 6-4 y0B,.0(x y,B,(,)+.+y,Bn.(,)=y 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
(6-4)成立的条件 B 由(6-2)Bn(x)和B,(x)最高冥次相同 构造满足(6-5)的Pn(x),令 B (x)=c )(x-x1)·(x-xn) 为使 0;x=x1;j=0,…,n 定义C=(x-xn)-(x1-x,)x1-x,)-(-x 所以 Dn(x)=(x-x0)…(x-x1)(x-x1)(x-xn) B,()-m8 D,(x D, lx 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
lagrange多项式 Rolle,s theorem 图函数与根的关系 个根 1个根 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
! "
最简单的插值多项式,n=1,线性插值 从(6-1 L(x)=∑y D,(x) D() X-X X-X L(x)= x=x;: L()=y xo x 图线性插值示意 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
!!"# $$%& !!"# $$%&
多项式的插值误差:f(x)=P(x)+R(x)(6-12) 其中R(x)=G(x)∏(x-x) 证明 构造(使 n时:Pn(x1)=f(x)即Rn(x,)=0) R G(x).∏(x-x 13 0 对另一自变量t定义一个新的函数 Q()=f()-Pn()-G(x)∏(-x,)(6-14) 取某个固定的x值,则 x O(r)=0 西华师范大学数学与 《计算方法》 信息学院
# ' ' % $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ '
Q()在[xn…,x,…x]区间有(n+2)个根 若f()连续可微,反复应用Role定理 “()在以上区间有一个根即: Q)=0,∈[;…,x…,x](6-15) 西华师范大学数学与 《计算方法》 10 信息学院
& ( (