第七章样条函数 71样条函数的形成和定义 72二次样条函数 7.3三次样条函数 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
7.1样条函数 多项式插值的问题 在一定的区间内增加节点数能提高插值精度 但在某些情况下会出现很大偏差 个突出的例子就是 C.Runge发现的函数 y(x)= 1+x 在x∈「55范围内,若节点取得较少,则精度 很低。但节点数增加后,只在区间的中心部分精度 提高,在两边区域产生严重的振荡。见下图。原因 在于多项式的解析特性 10 和L(x) 因此有人提出分段插值的方法。 但一般的分段多项式缺点是分段的两侧 斜率和曲率不连续即曲线不光滑 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
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2.0 1.5 1.0 氵P(x)=L 81+x x∈[-55 0.5 0.0 P(x)=lo( x∈-5,5 -0.5 x∈[55] 101234 x-axis 图多项式插值的 Runge现象 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
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样条函数插值 Spline Functions Interpolation 是一种特殊的分段插值 S,(x) y2 +1 x;x1+1 图样条函数插值 样条函数的基本特点 1+1) 以及 (x)=S2((x,)或 最常用的是多项式样条 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
72二次多项式样条 将样条表示为: (x)=A+B(x-x,) +ox-x 共(n-1)个二次多项式3(n-1)个待定系数 需要3(n-1)个条件,才能唯一地确定之 )节点条件 (x) i+1 计2(n-1)个条件 (2)连接条件 S(x1)=Sn(x1)i=12,…,n-2(7-4) 计(n-2)个条件 (3)定解条件 n-1)-2(n-1)-(m-2) 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
可以对某个节点给定某种条件 通常是对端点给出规定,称为端点条件,例如 自由端点条件:S"(x1)=0 受箝端点条件:S(x1)=K 自定端点条件,如下: S1(x)=E1 7 E由(x1,y1)(x2,y2)(x2,y3胸成的二次式Q(x) 在x处的一阶导数确定 o(x)=ax2+Bx+y 因为 y1=0x12+Bx1+y y2=ax,+Bx,+r y3=x32+x3+y 解三元线性代数方程组,得到 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
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y3-y2|y2-y1 n -x C x2-x1 B (x1+x 2 xX E=0(x,=2ax,+B=S,(x) (7-8) 系数已被唯一地确定,计算步骤如下 (x1)=B1+2C(x-x)i=12, 应用连接条件(7-4) B.+2C.(x +1-X B,1+2C i+1 i+1 (7-10) 所以 B+1-B C1=2(x1+ i=1,2 X 应用节点条件(7-3) (x)=A+B(x1-x)+C(x-x) 7-12) 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
以及 a+B x +C,(x, i+1 B +B 7-13 所以 B.,+B 或者 B y B 1,2 又有 S1(x1)=B1+2C1(x1-x1)=B1 E=2ax, +B 计算步骤: 由y1,y2,y3求出B1 (7-15) 由B求出B计、C 由B,B-1求出 (7-11) 由y求出A 7-12 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
2.0 1.5 S,()=g(x) S,x=o() i=1,2,…,5 =1,2,…,10 1.0 x∈-5,5 5 1+x 0.5 0.0 P -0.5 x∈-5 x∈[55 x-axis K The Quadratic Spline Versus Langrangian Polynomial Interpolation 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
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73三次多项式样条 将样条表示为: S, (x)=A+Bx-x,)+C(x-x +D(x-x,) 共4(n-1)个待定系数 节点条件 ;(x)=y +1 计2(n-1)个条件 连接条件 i+1 1+1( ),i=1,2,…n-2 (7-18) S(x)=S2(x1)i=1,2,…,n-2 计2(n-2)个条件 定解条件 4(m-1)-2(n-1)-2(n-2)=2 两端受箝:S(x1)=K1,S1(xn)=K 两端自由:S"(x)=0,Sn(xn)=0 单端指定:S(x)=K1,S1(x)=J1 西华师范大学数 《计算方法》 学与信息学院
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