第五章求矩阵特征根和特征向量 的数值方法 5-1幂法 5-2原点平移法 5-3逆幂法 5-4求实对称矩阵特征根的对分法
§5-1幂法 、幂法分析 幂法是用来计算实方阵的按模最大的特征值及 相应特征向量的一种迭代法 设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量,u2…,un 相应的特征值分别为4λ2…,并按其绝对值的大小排列 任给初始向量x≠0由迭代公式 Axk(k=012…) 得到向量序列{x} 所以 x0=01l1+212+…+ann
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于是 x1 a14+a221.n x(a1+a2(")2+…+a()n,) 由假设/4<=23…m所以只要a1≠0就有 Im C 这说明序列水收敛于A的与相对应的特征向量, 当k充分大时 即x为λ的特征向量的近似值 令(x)表示x的第个分量,则
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…+a x1 x(a1+a2(2)2+…+an()n) 所以 k+1 m k→ x 即两相邻迭代向量分量的比值收敛于4 这种由已知非零向量x及矩阵A的乘幂A构造向量序列 {x}以计算A的按模最大特征值及相应特征向量的方法称为 乘幂法,简称为幂法. 通常把迭代向量归一化,即把x的最大分量化为1 因此通常采用的幂法迭代公式为:
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m,=max(x) =4y(k=0 其中,m3=max(x)表示x中绝对值最大的分量 由此可得: Ay Afy yk mmim k-1 mmk-''", m.mmo 而 max(A xo)=max(A yo)mo =max(A Ayo)m=max(A x)mo max(a" y)mm =max(4yk1)m1…m1m =max(x)m21…mm
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所以 a,u, +a. l2+…+a, max(A“x0) max(x(+a2(")n2+…+a(),) 11+a +…+. max(a,u +a +∴+a 从而 lime k→ max(u 上式说明归一化向量序列{yk收敛于按模最大的特征值 所对应的特征向量因此,当k充分大时,y就是特征向量 l1的近似值
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同理 A k-1 max(a"xo 1(a4+a2(2)l2+…+a(")ln) max(2-1 au +a +…+C 所以 l max(a,u,+a,(2) )2+…+(2y) max(x max(a+a2(n2)2+…+an k-1 故 lim max(*k)=M →0 因此,当k充分大时,max(x)就是按模最大的特征值1的 近似值,即m≈
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§5-2原点平移法 幂法的收敛速度主要取决于比值2/A,若比值越小 则收敛越快;当接近于1时,则收敛很慢这时采用原点平移 法可加快幂法的收敛速度. 设A的特征值为,42…,n,则A-p特征值为 λ1-p,2-p,…,42-p,且A与A-p的特征向量相同对矩阵4-p 应用幂法,则有 (A-pI)xk (21-p)(a4+a2(22)l2+…+an 1-p 1-p 适当地选择P,使得1-p>2-n且
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这样对同一初始向量x,用幂法分别求矩阵A-p/和矩阵A的按模 最大的特征值,前者的收敛速度快于后者因此,对满足上述条件的 P,可先求出A-p的按模最大的特征值A及相应的特征向量a,从 而得出A的按模最大的特征值4+p及其相应的特征向量u4,这种加 速收敛的方法称为原点平移法 在实际计算中,p的选取或凭借于经验或通过多次试算 而得到。但对于一些简单情形,p可以估计的例如当矩阵 A的特征值满足2>2≥22…≥n>0或2<2≤≤…≤2<0时, 取p=(2+2,则有 4-p12-p<1-p(=23…,m) 且 2-p2- 1-p21 1-2+1-2n21-041 所以用原点平移法求可加快收敛速度
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§5-3逆幂法 逆幂法分析 设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量v,l2…,n2 相应的特征值分别为λ2…,并按其绝对值的大小排列 则由A=L,可得Au=-u,即A的逆矩阵A的特征值为 =12,…,m,并有 而且A对应于λ的特征向量u就是A的对应于的特征向量 如果对矩阵A用幂法求A的按模最大的特征值及相应特 征向量un,就是对A求按模最小的特征值λ及相应特征向量u 这种用A代替A应用幂法就称为对A应用逆幂法
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