第八章数值积分 8-1 Newton- Cotes公式 8-2复化求积公式 8-3 Somber g求积公式 8-4 Gauss型求积公式
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求积分=,(x) b sin t 问题 积不出.如」sinx2d,。t d等 2.难积.当f(x)复杂时,不好使用N-L公式 3.表格函数 ∫(x)∫(x)∫(x1)…∫(x
希望:用近似简单有效方法求Ⅰ→数值积分公式 般形式为 f(ke∑4/(x)(算简单 k=0 x→>求积节点 常数,与f(x)无关 42→求积系数 R=∫)2∑4()叫截断误差余项) k=0
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§8.1 Newton-Cotes求积公式 插值型求积公式 已知(x2,f(x2)(k=0,1,…,n)插值f(x)=P(x)+R(x) 积分:「f(x)=(x+R(x)略去余项 b f(r)dxp(xddx ∑4(x)(x2=E」4(x)dx:(x) 记4=4(x)=一(系数由节点惟一确定)
则f(x)e∑4(x) 配=0 32)(83称为插值型求积公式其截断误差为 RI1=LR(r)dx f( M+1 n+ Newn-Cote求积公式 节点等距时的插值型求积公式 常用的n个Newm-Cot求积公式 1两点梯形公式 b f(x)delf ∫(a)+f(b
2三点 Simpson公式(抛物线公式) a+ 6 f(x)dx≈=f(a)+4f(“,)+∫(b) 3五点C0tes公式(略) y↑ y=∫(x) y=∫(x) 0 a a+b 6t
求积公式的代数精确度衡量求积公式精度高低的标准之一) 定义若求积公式!(x)∑4(x)对∫∈P有/=0 而当∫=xm时风门≠0,则称其具有m次代数精度→越高越好! 易证:该求积公式具m次代数精确度<当=1,x…,x时R月]=0 当f=xm时团≠0 (m+1) 例:m1个节点的插值公式因风/- () on1(x)dx,故至少 (n+1)! 有m次代数精确度可以证明,当结点数n+1为奇数时至少有n+次 代数精确度 所以:梯形公式→1代数精确度 Simpson公式)3次代数精确度
四水枳公式甄断误左 定理31设f(x)ca,b,则梯形公式截断误差为 R∫ (b-a) ∫"(n)∈(ab) 12 证B//=/f"x-a)(x-b 积分第二中值定理⑦r 2」(x-a)x-b)(b-a 定理2设f(x)Eca,1,则 Simpson公式误差为 b-a)3 28r(m)7∈(ab)(证明略)(证明思路)
五.求积公式的稳定性 求积公式的结点未必越多越好因为有一个所谓的稳定性不 能设到保证另外,对插值型公式而言,结点增多会因 Runge现象 而使求积误差增大 讨论:一个求积公式若至少有0次代数精确度,则 ∫1k=∑41∑4=b-a→求积系数基本特性 设计算f(x)有舍入误差,记E=maxE,则 0<k<n E=∑4[x)+6∑4(x ∑4()≤e k=0 k=0
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若求积系数4全非负则E<(b-a)E,即误差不会无限扩大 ≯计算过程稳定 结论若≈∑(1)至少有零次代数精确度; (2)系数全非负,则该求积公式稳定 表1→实用中很少采用多节点的插值型求积公式 这是因为()系数有正有负无法保证稳定性 (2) Runge现象发生 待定系数法→构造求积公式方法之二 待定系数法是根据代数精度度的定义,通过列方程求解 而得到求积节点和系数的方法用这种方法建立起的求积公 式的代数精确度是最高的
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