试卷代号：1080 座位号■■ 中央广播电视大学2006一2007学年度第一学期“开放本科”期末考试 土木工程专业 工程数学（本）试题 2007年1月 题 号 二 三 四 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）》 1.A,B都是n阶矩阵，则下列命题正确的是(). A.AB=IA BI B.(A-B)2=A2-2AB+B2 C.AB=BA D.若AB=0,则A=0或B=0 2.已知2维向量组a1,a2,a4,4,则r(a1,2,a,a4)至多是(). A.1 B.2 C.3 D.4 3.设AX=0是n元线性方程组，其中A是n阶矩阵，若条件( )成立，则该方程组没 有非零解， A.r(A)<n B.A的行向量线性相关 C.Al=0 D.A是行满秩矩阵 589
试卷代号 :1080 座位号仁工口 中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试 土木工程专业 工程数学(本) 试题 2007拜乙1月 题 号 四 } LC}1i、 分 分 数 得 分 评 卷人 一、单项选择题 (每小题 3分 ，本题共 IJ分) A,I3都是 ，，阶矩阵 ，则下列命题正确的是( ). A.{A Ii一 {A {BI B. (A一B)z =A2一2AB十BZ C. AB=BA D.若 AB=O，则 A=0或 B=0 .已知 2维向量组az ,az gas eaa，则 r(a az,as }aa)至多是( A. 1 B. 2 c. s n. } 3.设 Ax=O是 n元线性方程组，其 中 A是 ，，阶矩阵，若条件( )成立，则该 方程组没 有非零解 . A. r(A)< rz 13. A的行 向量线性相关 C. }A}=0 D. A是行满秩矩阵 几89
4.袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是 红球的概率是(). A B君 c 5.设x1,x2,x是来自正态总体N(μ，d)的样本，则( )是4无偏估计. B.x1十x2十x3 D. 2 2 2 +号x+ 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）》 1.设A,B均为3阶矩阵，且|A|=-6,|B|=3,|-(A'B-1)3|= 2.设A为n阶矩阵，若存在数入和非零n维向量x,使得Ax=λx,则称入为A的 3.已知P(A)=0.8,P(AB)=0.2,则P(A-B)= 4.设离散型随机变量X~ 0 1 2],则a= 0.20.5a 5.若参数0的估计量0满足E(0)二0，则称0为0的 590
4.袋中放有 3个红球 ，2个 白球 ，第一次取 出一球 ，不放 回，第二次再取一球 ，则两次都 是 红球的概率是( 6 八 。 二二 乙匕 3 -10 B. 。 3 七。 下二: 乙U 9 -25 D. 5.设x xz,x。是来自正态总体N如，了)的样本，则( )是f}无偏估计 1 ，1 . 1 - x, -t-- x,叶一 二~x}, 5 一 5 一 5 }3. x,+x2+x;, 1 。1 .3 下二x,十 下二x,卞 下一x< 5 一 5 一 5 2 .2 .2 - x,十 ~,-x，十 - x, 5 一 5 一 5 得 分 评卷人 二、填空题(每小题 3分，共 15分) 1.设 A,B均为 3阶矩阵，且!A}=一6,}B}=3,}一(A'B一‘)} 2.设 A 为 n阶矩阵 ，若存 在 数 几和非 零 n维 向量 x，使 得 Ax=}1x，则 称 入为 A 的 3.已知 P(A)=0.8,P(AB)=0. 2，则 P<A-B) _ “ -一 d 盯 刁 m 男 ︻.l se we 二II 设离散型随机变量X }- 四。.2 U.，5 J 5 590 .若参数 B的估计量B满足E(孙=B，则称B为B的
得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分）】 -1 -37 2 51 1.设矩阵A= -2 -2 -7 ,B= 0 1 ,I是3阶单位矩阵，且有(1一A)X=B, -3 -4 -8 0 求X. 2.求线性方程组 x1+x2+x3十2x4=3 x2-2x4-3x4=-4 -3x1十2x2-x3-9x4=-5 2x1-x2+3x3+8x4=8 的全部解 3.设X~N(3,4),试求(1)P(57).(已知Φ(1)=0.8413，(2)= 0.9772,Φ(3)=0.9987) 4.某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm,今对这批管材进行检验，随机取出9 根，测得它们直径的平均值为99.9mm,样本标准差s=0.47,已知管材直径服从正态分布，问 这批管材的质量是否合格（检验显著性水平a=0.05,t.s(8)=2.306) 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 设向量组a1,a2,ag线性无关，证明向量组a1十a2,a2十a,a1十g也线性无关· 591
得 分 评卷人 三、计算题(每小题 16分 ，共 64分) 一 1 一 2 一 4 一3) 「“5飞 一一7 8」 {’“一} L-。 3 ‘o}}’‘是3阶单位矩阵’且有(1-A)X一“’ n ︺ 9 户 g d 一 一 尸 |l lll esle wee L 一一 设 矩 阵 A 求 x. 2.求线性方程组 x1+ x:十x3+ 2x4= 3 xz一 2x，一 3 x,=一 4 一 3 x,+ 2xz一 x3一 9x4=一 5 2x1一 xz+ 3x3+8x4= 8 的全部解 3.设 X-vN(3,4)，试求 (1)P(5 得 分 评卷人 四、证明题 (本题 6分) 设向量组 a} ,az ,as线性无关 ，证明向量组 al+az ,az+as ,al+a3也线性无关 591
试卷代号：1080 中央广播电视大学2006一2007学年度第一学期“开放本科”期未考试 土木工程专业工程数学（本） 试题答案及评分标准 (供参考) 2007年1月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 二、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.8 2.特征值 3.0.6 4.0.3 5.无偏估计 三、计算题（每小题16分，本题共64分）】 1.解：由矩阵减法运算得 0 0 -1 -3 13 1-A 0 0 2 2 -7 2 3 …5分 0 0 3 -4 -8 3 49 利用初等行变换得 1 310 0> 1 13 10 07 2 3 0 1 0 0 11 -21 0 490 1 0 10-30 1 「1 1 3 0 01 「110 -2 -3 0 1 -2 0 0 10 -3 0 1 0 0 -1 -1 -1 1 0 01 1 1-1 0 0 1-3 21 0 10 -3 0 1 01 1 1-1 592
试卷代号:1080 中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试 土木工程专业 工程数学(本) 试题答案及评分标准 (供参考) 一、单项选择题(每小题 3分，本题共 15分) 1.A 2. B 3. D 4. B 二、填空题(每小题 3分 ，本题共 15分 ) 1. 8 2.特征值 3. 0. 6 4. 0. 3 5.无偏估计 三、计算题 (每小题 16分 ，本题共 64分) 1.解:由矩阵减法运算得 J. L ﹁一 一 gd t/ 0 以 11 八乃 ‘4 户以 | 陀 | 旧 ︸ 一一 ﹁gd 一 叮‘I O U 一 - - 一 1 一 2 一 4 2007年 1月 5分 卜U 夕 曰 g d 厂 卜 卜 - 门|1 ||| | 1 .1 ︹︺ 八U l l 口 甘 以四 .队四 -- 了 . - A 里 利用初等行变换得 干 ! 一 ︸ ~门 八 ︺ 1 1 g d 山esl o 一以 | 阳 1伙 LU 一 ﹁一 ﹂ n ︺ 八︺ ，1 1 1 C钊 八曰︺ ﹄0 1 3 1 0 1 0 3 7 4 9 一 2 一 3 ﹁ l es es es es ，e es wees i 9 d ll - ﹃e n ︺ n︺ 11 1 上 11 n U 几 | 比 ! 胜陌 ﹂ 一 ﹁叫| 引 |川 . 月 三川 | - 划 1 一 1 1 一 2 一 1 1 一 1 一 2 一 3 l 一 3 0 1 1 1 1.1 入U 1 一 3 1 一 3 0 1 ︿U C曰︸ 1 1 0 1 1 门 ︸ 卜以 | 阳 | 四 自 厂 比 welo 一 592
1-3 27 即 (I-A)-1= 3 0 1 -1 由矩阵乘法运算得 -3 2 5 一4 27 X=(1-A)-B -15 …16分 1 1 5 6 2.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1 1 1 2 3 1 3 0 1 -2 -3 -4 0 1 -2 -3 -4 -3 2-1 -9 -5 5 2 一3 4 2 一1 8 8 0 -3 1 [11 1 2 3 11 1 2 3 01-2 -3 -4 01 -2 -3 一4 0 0 12 12 24 0 0 1 1 2 0 0-5 -5 -10 0 0 0 0 [1 0 0 1入 0 1 0 -1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 此时齐次方程组化为 x1=-2x4 x2=x4 x3=-x4 令x4=1,得齐次方程组的一个基础解系 X1=[-21-11]/ ………12分 令x4=0,得非齐次方程组的一个特解 X。=[1020] 593
﹁月 ‘‘leses eseses eses 习 0 山 1 土 1 - 1 一 3 11 八J l.1 - r 一 L 即 (l一A)一1= 由矩阵乘法运算得 「‘ ‘一“一“)一‘“一L-: 一 3 0 1 1 一 1 16分 厂 1|L L 2.解 :将方程组的增广矩阵化为阶梯形 门 ‘! l wewe we ‘es l Z 一 1 1 一 2 一 1 3 2 一 3 一 9 8 1 一 2 2 1 2 一 3 一 3 4 3 一 4 4 2 一 | ﹄ | 一 门Ill l es l.11 .we l ees|日 勺 八 成件 Q 自 ︵曰 ︶ - 1 一 2 12 一 5 2 一 3 12 一 5 21 一 1 0 12 00 1 一 2 1 0 2 一 3 l 月.上 1 1 n o 八 U 工U ，I n ︺ C 介 1土 门 ︸ 0 日 日 防 厂 陌 盯 比 匕 日 日 以 四 以 四 伙 四 一 一 此时齐次方程组化为 {xZ= x, x3= 一 x4 令 二、=1，得齐次方程组的一个基础解系 X,= 〔一2 1 一1 1] 12分 令 x4 =0，得非齐次方程组的一个特解 Xo= [1 0 2 0] 593
由此得原方程组的全部解为 X=X。十kX:(其中k为任意常数)…16分 3.解：1P52)=1-PX23<2) =1-Φ(2)=1一0.9772=0.0228… 16分 4.解：零假设H。:4=100.由于未知2，故选取样本函数 T=x-'~(n-10 …………5分 s/√m 已知x=99.9,经计算得 5= 0.47=0.16, x= 3 99.9-100=0.625 0.16 …11分 s//n 由已知条件to.s(8)=2.306, x二出 s/√n =0.625<2.306=t.s(8) 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。…16分 四、证明题（本题6分）】 证明：设有一组数k1,k2,k,使得 k1(a1十a2)+k2(a2十a:)+k,(a1+a3)=0 成立，即(k1十k:)a1十(k1十k2)a2十(k2十kg)ag=0,由已知&1，a2,a3线性无关，故有 k1十kg=0 k1十k2=0 k2十k3=0 101 其系数矩阵110 为满秩矩阵，故该方程组只有零解，得k1=k2=kg=0,故a1十a2,a2 011 十aa,a1十a3是线性无关的，证毕. 6分 594
由此得原方程组的全部解为 分 分 分 分 分 分 八协 八匕 八匕 5 一we ︵卜曰 X二 Xo -}- kX 1 (其中 k为任意常数) 3.解 :(1)P(5 7) _ X一 3_ 7一 3. = 尸(二一 :> 二二二 ) 2 ‘ 2 。 X一 3, ， 。 X一3 ，，、 = 厂卜 ，丙一‘尹夕乙)= i一 厂}- 一一乏泛乙) 乙 乙 = 1一 }<2)= 1一 0. 9772= 0. 0228 4.解:零假设Ho } ft=100.由于未知了，故选取样本函数 T= x止二L :/ n 一 t(n一 1) 已知 x=99. 9，经计算得 s 0. 47 万 3 = 0. 16 x一 产 、/而 99. 9一 100 0. 16 = o. sz5 由已知条件 t},.o,(8)=2. 306 x一 产 、/ n = 0. 625< 2. 306= to。:(8) 故接受零假设 ，即可 以认为这批管材 的质量是合格的。 四、证明题 (本题 6分) 证明:设有一组数 kl,kz,ka，使得 k, (at+az)+kz (az+aa)+k, (ai+aa)=0 成立 ，即(k, +k3 )a土+(k, }-kz)az+(kz-}kz )a3 =0，由已知 ai,az}as线性无关 ，故有 门 ︶ 八川 n︺ 一一 -- 一- 了龙 ，丸 了左 + + + ︸走 ，左 ，左 ! ! !1之 we }、 0{为满秩矩阵，故该方程组只有零解，得‘1一‘2一‘;3一0，故“1十一“2 } a2 I」 几 | 以 1际LU 其 系 数 矩 阵 十。3}a}十。、是线性无关的，证毕. 6分 594