试卷代号：1080 座位号■■ 中央广播电视大学2007一2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本）试题 2008年7月 题号 二 三 四 总分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( A.(A+B)-1=AI+B-1 B.IA+BI=1Al+BI C.-2AB|=2|A|B| D.(AB)-I=B-'A-1 2.下列命题正确的是(). A.n个n维向量组成的向量组一定线性相关 B.向量组a1,a2,…,a,是线性相关的充分必要条件是以a1,a2,…,a,为系数的齐次 线性方程组k1a1十k2a2十…十k,a,=0有解 C.向量组1，a2,…,,0的秩至多是s D.设A是n×n矩阵，且m<n,则A的行向量线性相关 3.设线性方程组AX=B的两个解为X,,X2,(X1≠X2),则下列向量中( )-一定是 AX=B的解. A.X:+X2 B.X-X2 C.X:-2X2 D.2X2-X: 4.设X~N(50,10),则随机变量( )~N(0,1). A.X-50 B.X-50 100 10 C.X-100 D.X10 50 50 569
试卷代号 :1080 座位号口口 中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷) 工程数学(本) 试题 2ooa年 7月 题 号 四 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题(每小题 3分 ，本题共 15分) 1.设 A,B均为1，阶可逆矩阵 ，则下列等式成立的是( ). A. (a+B)一‘=A-' }-B-' B. } A十}I= IAI+ }}I C.}一2AB } = 2" } A}} B } D. (AB)-‘=B一’A-} 2.下列命题正确的是( ). A. r，个 ，，维向量组成的向量组一定线性相关 B.向量组a az , ... } a，是线性相关的充分必要条件是以ai }a2, """,a:为系数的齐次 线性方程组k,ai +k2aZ -f-"""-}-ksas=0有解 C.向量组 ai }a2 , """ }a, ,0的秩至多是 、 D.设 A是 mXn矩阵，且 min，则 A 的行向量线性相关 3.设线性方程组 AX=B的两个解 为 X X2,(X,}XZ)，则 下列 向量中 ( )一定是 .9X=B的解. A. X,+XZ B. X，一XZ C. X,一2X2 U. 2X2一X, 4.设 X-}-N(50,102 )，则随机变量( )-VN(0,1). X一 ;i 0 100 X一 }0 10 X一 100 50 X一 10 50 弓69
5.对正态总体N(μ，d2)的假设检验问题中，U检验解决的问题是( A已知方差，检验均值 B.未知方差，检验均值 C.已知均值，检验方差 D.未知均值，检验方差 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）】 1,设A,B,C均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为A-1,B-1,C-1, 则(CA'B-1)-I= 2.线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 3.若P(A)=0.8,P(AB)=0.5,则P(AB)= 3x20≤x≤1 4.设随机变量X的概率密度函数为f(x)= lo 其它 则P(X<)= 5.设x1,x2,…,xm是来自正态总体N（,g2)的一个样本， 得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） [O 107 r1-17 1.已知X=AX十B,其中A= -111,B= 2 0 ,求X. 1-103· -3 2x1-x2十x3十x4=1 2.k为何值时，线性方程组 x1+2x2-x十4x4=2 有解，并求出一般解。 x1十7x2-4x+11x4=k 3.已知P(A)=寻，P(B1A)=号，P(AB)=号，求P(A+B). 570
J.对正态总体N如，扩)的假设检验问题中，U检验解决的问题是( A.已知方差，检验均值 B.未知方差，检验均值 C.已知均值，检验方差 D.未知均值，检验方差 得 分 评卷人 二、填空题(每小题 3分，共 15分) 1.设 A , B , C均 为 n 阶 可 逆 矩 阵 ，逆 矩 阵 分 别 为 A-i } B-i } C-i 则(CA'B一‘)一‘= .线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 .若 P(A)=0. 8;P<AB)=0. 5，则 P<AB)= ·设随““量/的”率密度函”为，(x)一{ 3才 0蕊x镇 1 0 其它 尸(X<喜 乙 )一 5. 设 x1，x2 ... } x.: 是 来 自 正 态 总 体 N 6}) 的 一 个 样 本 ， m火 2‘ 、 产 则告客,:_ }x;_ 得 分 评卷人 三、计算题(每小题 16分，共64分) 求 X ﹁lesese| |||Ilsewewe - 一 1 一 3 门 | 1]2 | 阵 曰 B -- 刁 一 .一 一 已知 X=AX-f-B，其中 A= 一一 1 1 1 一 1 0 3 2.k为何值· ， ·性一{ 2x，一x2+x;,+x4=1 二，}-2x2-xa-f-4x4=2 有解，并求出一般解. x,十一7x:一4x:一十11x4 =k _ ‘_ _/，、 1 。，，、。，、 1 。 。。}, , 1 二 。 。.。、 s.匕翔L伙八)=丁,l代t5 I八)一可e(伙八1。)=万，水t' l八十tS). 570
4.随机抽取某班28名同学的数学考试成绩，得平均分为x=80分，样本标准差s=8分， 若全年级的数学成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，试问在显著水平a=0.05下，能否认 为该班的数学成绩为85分？（已知to.s(27)=2.052) 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 设随机事件A,B相互独立，试证：A,B也相互独立. 571
4.随机抽取某班 28名同学的数学考试成绩，得平均分为x}=so分，样本标准差 、=s分， 若全年级的数学成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，试问在显著水平 a=0. 05下，能否认 为该班的数学成绩为85分?(已知to,os (27)=2. 052) 得 分 评卷人 四、证明题 (本题 6分) 设 随机事件 A,B相互独立 ，试证 :A,B也相互独立. 571
试卷代号：1080 中央广播电视大学2007一2008学年度第二学期“开放本科"”期末考试（半开卷） 工程数学（本） 试题答案及评分标准 (供参考) 2008年7月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 二、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.B(A-1)'C-I 2.r(A)=r([A:b]) 3.0.3 4台 5.N7 三、计算题（每小题16分，本题共64分） 1.解：X=(1一A)1B, 5分 0 2 -1 且(1-A)-1 -1 2 -1 12分 0 1一1 由矩阵乘法得 0 2 -1 X=(I-A)B= -1 2 -2 ……16分 0 1 -3 -3 3 2.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 -1 11 2 -1 4 2 1 -142+0 -5 3 -7-3 7 -411k」0 5-37 k-2 572
试卷代号:1080 中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷} 工程数学(本) 试题答案及评分标准 (供参考) 2008年 7月 一、单项选择题(每小题 3分 ，本题共 15分 ) 1.D 2. C 3.D 4. B 5.A 二、填空题(每小题 3分 ，本题共 15分 ) ·B(A一‘)'C一1 .r<A)=r([A :b]) 3. 0. 3 1 一5 4. 5.N(。，6 7z2) 三、计算题(每小题 16分.本题共 64分 ) 1.解 :X=(I一A)-'B, ﹁l e| |Il seeses esee l j.1 l l les l 一 一 一 0 一 。 广 | 一 L 且 (I一A)一‘= 由矩阵乘法得 5分 12分 16分 ﹁l eswe e || || | | 1.J 几0 月马‘ 勺 口 ‘.土 n产‘ 八j - 一 - 厂一 1 .﹂ 1 1 Cj 一 。 一 j.工 9 ‘ 5 尸一 1 1 匕 ﹁I lra es eswe e| | | IJ 1 1 ，. 1 1.1 一 一 一 0 2 X=(1一A)一’B= 一 1 2 2.解 :将方程组的增广矩阵化为阶梯形 门 l e e l .1 .e l 一 一 l l C乙 人 找 一 1 1 一 1 一 4 2 一 l 4 一 5 3 一 7 一 3 1l 5 一 3 7 k一 2 572
2 -1 +0 -5 -7 3 10分 0 0 0 0 k一 当k=5时，方程组有解，且方程组的一般解为 (其中x3,x4为自由未知量)…16分 3 3 x=5+x-x 3.解：P(AB)=P(AP(BA)-2 P(B)-P(A B)6 P(AB)1 于是 P(A+B)=PA)+P(B)-PAB)=片+G-立=号 …16分 4.解：作假设H。:以=85，H1:≠85 选取统计量 T=t幽 ………5分 s/n 当H为真时，T~t(27) 已知x=80,s=8,n=28,o=85,计算得 T= |80-85 =3.25 11分 s/n 8/28 因为|T=3.25>t.s(27)=2.052,所以拒绝H.即不能认为该班的数学成绩为85分. …16分 四、证明题（本题6分】 证明：P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)一P(A)P(B)=P(B)(1-P(A)) =P(A)P(B) 所以A,B也相互独立.证毕. …(6分) 573
一 1 一 5 一 7 一 3 k一 5 10分 以 | 际 尸 | 山 t 当k=5时，方程组有解，且方程组的一般解为 { 4 1 6 万一万x3一万x4 (其中 x, , x;为 自由未知量) 16分 3 .3 = 二二-十 ~二，xto.o} (27)=2. 052，所以拒绝 Ho.即不能认为该班的数学成绩为 85分. ··············。·····‘··············································································…… 16分 四、证明题 (本题 6分) 证明:P(AB)=P<B)一P(AB)=P(B)一P(A)P<B)=P(B)(1一P(A) ) =P(A)P(B) 所以A,B也相互独立.证毕................................................................... , (6分) 573