计算方法 第四章数值积分与数值微分 §45数值微分
第四章 数值积分与数值微分 §4.5 数值微分
§45数值微分 先看一个实例 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 年份1900191019201930194019501960197019801990 人口76092.010651232131.7150.717932040226.52514 试计算美国20世纪的(相对)年增长率 若记时刻的人口为x(),则人口的增长率为 t r(t) dx/dt如何求 x()
§4.5 数值微分 先看一个实例: 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 试计算美国20世纪的(相对)年增长率 若记t时刻的人口为x(t),则人口的增长率为 ( ) ( ) x t dx dt r t = dx dt如何求
插值型求导公式 设函数f(x)不一定给出,但知道(x)在节点处的函数值 a<xn<x1<∴<x.<b n f(xk)=fk,k=0,1,…,n 如果f(x)的n+1阶导数存在,则由 Lagrange插值有 +1) f(x=Ln(x)+ On+1() n+ Ln(x)为f(x)的n次 Lagrange插值多项式 E∈[a,b]并与x有关Om1(x)=∏1(x-x) 0
一、插值型求导公式 设函数f (x)不一定给出,但知道f (x)在节点处的函数值 a x x x b £ 0 < 1 <L< n £ f x f k n k k ( ) = , = 0,1,L, 如果f (x)的n + 1阶导数存在,则由Lagrange插值有 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) x n f f x L x n n n + + + = + w x x Î[a,b]并与x有关 Õ= + = - n j n j x x x 0 1 w ( ) ( ) L n (x)为f (x)的n次Lagrange插值多项式 --------(1)
对(1)式两边求导有 f(x)=L(((on(3)+(+m(x) (n+1) 由于ξ与x有关[f()将很难确定 但是当x=x时,f(x2)可以求出 f(xk)=ln( k)+ [fm+( (n+1) On,+(xk)+ (5) on+(k) (n+1) (n+1) (n+1) (5) (n+1) n+1(~k k=0,1,…,n (n+1) Ln(k)+ (5)m (n+1)!1 k i≠k
对(1)式两边求导,有 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1)! [ ( )] ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) x n f x n f f x L x n n n n n + + + + ¢ + + + ¢ ¢ = ¢ + w x w x 由于x与x有关,[ f (n+1) (x )]¢将很难确定 但是当x = xk时, f ¢(xk )可以求出 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1)! [ ( )] ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) n k n n k n k n k x n f x n f f x L x + + + + ¢ + + + ¢ ¢ = ¢ + w x w x ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) n k n n k x n f L x + + ¢ + = ¢ + w x Õ ¹ = + - + = ¢ + n j k j k j n n k x x n f L x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) x --------(2) k = 0,1,L,n
LIx+E k=0,1, En(xk) (x1 (3) +1 ≠k (2)式称为插值型求导公式,(3试为相应产生的误差 由于公式(2)取的是n次 Lagrange插值多项式而高次 插值会产生 Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式
Õ ¹ = + - + = n j k j k j n n k x x n f E x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) x --------(2) --------(3) (2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差 由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式 k = 0,1,L,n ( ) ( ) ( ) k n k n k f ¢ x = L¢ x + E x
二、低阶插值型求导公式 1两点公式 n=1f f(k=Lk )+E,(xk) k=0, 1 X-x X-x L,(x)=fo +f1 Xo -X 1 1 1 L1(x)=f6 E1(x) f2( (xk-x)k=0,1,≠k 2 若令h=x1-x,则
二、低阶插值型求导公式 n = 1时 ( ) ( ) ( ) k 1 k 1 k f ¢ x = L¢ x + E x 1.两点公式 k = 0,1 ( ) 1 L x ( ) 1 L¢ x ( ) 2 ( ) ( ) (2) 1 k k j x x f E x = - x k = 0,1, j ¹ k 若令h = x1 - x0 ,则 0 1 1 0 x x x x f - - = 1 0 0 1 x x x x f - - + 1 0 1 0 1 0 1 1 x x f x x f - + - =
f(o)=lr(o+e,xo (f1-f0) h f2() h f(x1)=L1(x1)+E1(x1) =(1-f6)+f2(5 h 2 --(5) (4)(5)式称为带余项的两点求导公式由于E=o(h) f(x0)≈f(x1)≈,(-f0) 精度1阶 h
( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 f ¢ x = L¢ x + E x ( ) 1 1 0 f f h = - ( ) 2 (2) f x h - ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 f ¢ x = L¢ x + E x ( ) 1 1 0 f f h = - ( ) 2 (2) f x h + --------(4) --------(5) ( ) 1 ( ) ( ) 0 1 1 0 f f h f ¢ x » f ¢ x » - (4)(5)式称为带余项的两点求导公式 即 精度1阶 由于E = o(h)
2.三点公式 n=2时(xk)=L2(x)+E2(xk)k=0,1,2 x-Xo(x L2(x)=fo (x-x1)(x-x2)c(x-x0)(x-x2)c( X1 2 1 x-x1)+ xx+x-x x-xo+(x I2(x)=f0 f1 +f2 (x-x)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2)“2(x2-x)( X -x (3) E2(rk) ∏I(xk-x) k 若x,x1x2为等距节点,即h=x1-x=x2-x1,则
2.三点公式 n = 2时 ( ) ( ) ( ) k 2 k 2 k f ¢ x = L¢ x + E x k = 0,1,2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x L x f - - - - + - - - - + - - - - = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x L x f - - - + - + - - - + - + - - - + - ¢ = Õ ¹ = = - 2 0 (3) 2 ( ) 3! ( ) ( ) j k j k k j x x f E x x 若 x0 , x1 , x2为等距节点，即h = x1 - x0 = x2 - x1，则
3h 2h h 1 (x0)=f012+f1 2h h 2h22h (-36+4f1-f2) h h-h h 2h h +J2 2h22h (-f6+f2 2h 3h L2(x2)=f612+f112+2 2h 2h 2h(0-4f1+3/2) E、(x3)f(3(Ey h xo-x,lxo-x )=f((2) 3! 0 3 E2(x) f( 3! (x1-x)(x1-x2) f(2) (3) E 3!
2 0 0 2 1 2 2 2 2 2 2 3 ( ) h h f h h f h h L x f - + - - + - ¢ = ( )( ) 3! ( ) ( ) 0 1 0 2 (3) 2 0 x x x x f E x = - - x ( 3 4 ) 2 1 0 1 2 f f f h = - + - 2 1 0 2 1 2 2 2 2 2 ( ) h h f h h h f h h L x f + - - + - ¢ = ( ) 2 1 0 2 f f h = - + 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 3 2 ( ) h h f h h f h h L x f + - ¢ = + ( 4 3 ) 2 1 0 1 2 f f f h = - + ( ) 3 (3) 2 f x h = ( )( ) 3! ( ) ( ) 1 0 1 2 (3) 2 1 x x x x f E x = - - x ( ) 6 (3) 2 f x h = - ( )( ) 3! ( ) ( ) 2 0 2 1 (3) 2 2 x x x x f E x = - - x ( ) 3 (3) 2 f x h =
1 f(x)=2(-3+41-f)+nf() -(6) 3 1 f(x1) h (-+f)-2f() -(7) 2h 1 h f(x2)=(-4/1+3/2)+ (8) 2h f(2) 3 (6(7)(8)式称为带余项的三点求导公式由于E=o(h2 其中(式又称为中点公式其精度稍高|精度2阶 在分段求导公式中有着重要的地位 f(x1)=(-f+f2) h
( 3 4 ) 2 1 0 1 2 f f f h = - + - ( ) 2 1 0 2 f f h = - + ( 4 3 ) 2 1 0 1 2 f f f h = - + ( ) 3 (3) 2 f x h + ( ) 6 (3) 2 f x h - ( ) 3 (3) 2 f x h + ( ) 0 f ¢ x ( ) 1 f ¢ x ( ) 2 f ¢ x --------(6) --------(7) --------(8) (6)(7)(8)式称为带余项的三点求导公式 其中(7)式又称为中点公式,其精度稍高 在分段求导公式中有着重要的地位 精度2阶 ( ) 2 由于E = o h ( ) 2 1 ( ) 1 0 2 f f h f ¢ x = - +