§43 Romberg算法 综合前几节的内容我们知道 梯形公式, Simpson公式 Cotes公式的代数精度分别为 1次,3次和5次 复合梯形、复合 Simpson、复合 Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
§4.3 Romberg算法 综合前几节的内容,我们知道 梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为 1次,3次和5次 复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
复合梯形公式的递推化 将定积分/=f(x)的积分区间[ab分割为m等份 各节点为 k=a+ ih j=0,1,…,nh b 复合梯形( Trapz)公式为 b 2n If(a)+2∑f(x)+f(b) 1 如果将[a,b分割为2n等份,而h=(b-a)/n不变则 I2如f()+2∑f(x)+2∑f(x1)+/(b) 0
一、复合梯形公式的递推化 将定积分I f x dx的积分区间 a b 分割为n等份 b a ( ) [ , ] ò = xk = a + jh , j = 0,1,L,n n b a h - 各节点为 = [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 1 1 å - = + + - = n j n j f a f x f b n b a T 复合梯形(Trapz)公式为 如果将[a,b]分割为2n等份,而h = (b - a)/n不变,则 [ ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )] 4 1 0 2 1 1 1 2 f a f x f x f b n b a T n j j n j n + j + + - = å å - = + - = --------(1) --------(2)
其中x1=x1+h=a+(+)h b 4n [f(a)+2∑f(x)+2∑f(x1)+f(b) 0 b-(a)+2/(x)+(b)+=2/(x) 0 =1r+b-2r(x)=1rn+bn/(a+(+ 0 j=0 b=a(a+(2)+1 n 2n j (3) 2n
[ ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )] 4 1 0 2 1 1 1 2 f a f x f x f b n b a T n j j n j n + j + + - = å å - = + - = x x h a j h j j ) 2 1 ( 2 1 2 1 = + = + + + 其中 å å - = + - = - + + + - = 1 0 2 1 1 1 2 ( ) 4 [ ( ) 2 ( ) ( )] 4 n j j n j j f x n b a f a f x f b n b a å - = + - = + 1 0 2 1 ( ) 2 2 1 n j j n f x n b a T å - = + + - = + 1 0 ) ) 2 1 ( ( 2 2 1 n j n f a j h n b a T å --------(3) - = - + + - = + 1 0 ) 2 ( (2 1) 2 2 1 n j n n b a f a j n b a T
n=1时,h=b-a 则由(1)(2)(3)式,有 b f(a)+∫(b) b f(a+h 若n=21记Tn=10(k-1)k=1,2,… b b-a x =a+ih=a+ 2 b X +h=a+(j+ a+(2j+1)
n = 1时,h = b - a 则由(1)(2)(3)式,有 [ ( ) ( )] 2 1 f a f b b a T + - = ) 2 1 ( 2 2 1 2 1 f a h b a T T + - = + (0) = T0 (1) = T0 ( 1) 记Tn = T0 k - 1 2 - = k 若n k = 1,2,L x a jh j = + 1 2 - - = k b a h x x h j j 2 1 2 1 = + + 1 2 ) 2 1 ( - - = + + k b a a j 1 2 - - = + k b a a j k b a a j 2 (2 1) - = + +
因此(1)(2)3)式可化为如下递推公式 b [f(a)+f(b) 6-a k-1-1 ∑f(a+(2j+1) b T0(k)=10(k-1)+ 2 0 2 k=1,2, 上式称为递推的梯形公式 思考 递推梯形公式加上一个控制精度即 可成为自动选取步长的复合梯形公式 具体的方法请同学们完成
因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式 [ ( ) ( )] 2 f a f b b a + - T0 (0) = å - = - - + + - = - + 2 1 0 0 0 1 ) 2 ( (2 1) 2 ( 1) 2 1 ( ) k j k k b a f a j b a T k T k k = 1,2,L ï î ï í ì (4)------- 上式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即 可成为自动选取步长的复合梯形公式 具体的方法请同学们完成 思考
外推加速公式 由复合梯形公式的余项公式 Ⅰ-T2n=3 (72n T 可得 由(3)式1 6-a T+ 32 2n ∑f(x1) 2 7n+4(b 6n ∑f(x1 j=0
二、外推加速公式 由复合梯形公式的余项公式 ( ) 3 1 T2 n T2 n T n I - » - T n T n I 3 1 3 4 可得 » 2 - n n j j n f x T n b a I T 3 1 ( )) 2 2 1 ( 3 4 1 0 2 1 - - » + å - = + 由(3)式 å - = + - » + 1 0 2 1 ( ) 6 4( ) 3 1 n j j n f x n b a T
1,b 1=32(f(a)+f(b)+2 2(x)+40∑/(x1) =0 ba(a)+/(b)+2/(x)+48(x 2 n 复合 Simpson公式 设n=2-11≈72 T0(k)-70(k-1) 引入7(k-1)令T(k-1)=70(k)-(k-1)
1 2 - = k 设n ( 1) 3 1 ( ) 3 4 = T0 k - T0 k - å å - = + - = - + + + - » 1 0 2 1 1 1 ( ) 6 4( ) ( ( ) ( ) 2 ( )] 2 [ 3 1 n j j n j j f x n b a f a f b f x n b a I ( ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( )] 6 1 0 2 1 1 1 å å - = + - = + + + - = n j j n j j f a f b f x f x n b a n = S 复合Simpson公式 T n T n I 3 1 3 4 » 2 - 引入 T1 (k - 1),令 ( 1) T1 k - ( 1) 3 1 ( ) 3 4 = T0 k - T0 k - n = S 1 2 = S k - --------(5) --------(6)
即 (6) 当然S2=71(k) 自己 因此由复合 Simpson公式的余项 证明 Ⅰ-S 2n 15 2n 1 16 可得 2 151515 15 令 72(k-1)=71()7 15 71(k-1)=Cn
( ) 15 1 2n 2n n I - S » S - S 因此由复合Simpson公式的余项 可得 n n I S S 15 1 15 16 » 2 - ( 1) 1 = T1 k - 2 即 = S k - ( 1) 15 1 ( ) 15 16 = T1 k - T1 k - n S ( ) 1 = T k n S 当然 2 ( 1) T2 k - ( 1) 15 1 ( ) 15 16 令 = T1 k - T1 k - = Cn 自己 证明 --------(6) = Cn --------(7)
即Cn=C2+=72(k-1) (8) 当然C2n=72() 同样由复合 Cotes公式的余项 1 ≈ 21 63 2n 64 64 1 得I≈mC 632n63 63 63 64 令T3(k-1) 72(k-1) -(9) 63 63
( 1) 1 = T2 k - 2 即 Cn = C k- --------(8) ( ) 2 当然 C2n = T k 同样由复合Cotes公式的余项 ( ) 63 1 C2n C2n Cn I - » - C n Cn I 63 1 63 64 » 2 - ( 1) 63 1 ( ) 63 64 得 = T2 k - T2 k - ( 1) 令 T3 k - ( 1) 63 1 ( ) 63 64 = T2 k - T2 k - --------(9)