计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §33分段插值法
第三章 插值法和最小二乘法 §3.3 分段插值法
§33分段插值法 从上节可知如果插值多项式的次数过高,可能产生 Runge现象,因此,在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法。 、分段线性 Lagrange插值 1.分段线性插值的构造 设插值节点为x2,函数值为y,=01,…,n x+1-x1,i=0,1, 2…,n-1h=maxh 任取两个相邻的节点x,xk+1,形成一个插值区间x,x+1 构造 Lagrange线性插值
§3.3 分段插值法 从上节可知,如果插值多项式的次数过高，可能产生 Runge现象，因此，在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法。 一、分段线性Lagrange插值 , i 设插值节点为 x 函数值为 yi , i = 0,1,L,n , , [ , ] k k +1 k k +1 任取两个相邻的节点x x 形成一个插值区间x x 构造Lagrange线性插值 hi = xi+1 - xi , i = 0,1,2,L,n - 1 i i h = maxh 1. 分段线性插值的构造
L(x)=y/l(x)+y+1k1(x) k=0,1,…,n-1 X-x k+1 X-X X-x k+1 k+1 k L(x)x0≤x<x1 (x)x1≤x<x2 -(2) (x)xn1≤x≤xn 显然 (x1)=y,i=0,1 我们称由(1)2)式构成的插值多项式L1(x)为 分段线性 Lagrange插值多项式
( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 L x y l x y l x k k k k k = + + + 1 1 + + - - = k k k k x x x x y k k k k x x x x y - - + + + 1 1 k = 0,1,L, n - 1 L1 (x) = ï ï î ï ï í ì £ £ £ < £ < - - n n n L x x x x L x x x x L x x x x 1 ( 1) 1 1 2 (1) 1 0 1 (0) 1 ( ) ( ) ( ) M M 显然 L1 (xi ) = yi , i = 0,1,L,n --------(1) --------(2) 我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 为 分段线性Lagrange插值多项式 ( ) 1 L x
设x=x*为插值点 若x 则y=L1(x)=(x) 内插 x 次x+1+ykxk+1式 X-X k =xk+1 若x 0 外插 X 取 0 + y 0 若x2x,外插 X 大 取y=L1(x)=L(x) 水一Xn-1 1 n-1-x
设x = x *为插值点 1 * k £ £ k+ 若x x x * ( *) 1 则 y = L x ( *) ( ) 1 L x k = 1 1 * + + - - = k k k k x x x x y k k k k x x x x y - - + + + 1 1 * 0 若x* £ x * ( *) 1 取 y = L x ( *) (0) 1 = L x 0 1 1 0 * x x x x y - - = 1 0 0 1 * x x x x y - - + n 若x* ³ x * ( *) 1 取 y = L x ( *) ( 1) 1 L x n- = n n n n x x x x y - - = - - 1 1 * 1 1 * - - - - + n n n n x x x x y 内插 外插 外插
分段线性插值y=L1(x)的图象 实际上是连接点(xky) i=0,1,…,n的一条折线 也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 0 减小步长,会改善插值效果 因此若f(x)在[a,b]上连续 lim l(x)=f(x) h→>0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 分段线性插值 的图象 1 ( ) 1 y = L x 的一条折线 实际上是连接点 i n x y k k 0 , 1 , , ( , ) , = L 也称折线插值 ,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长 ,会改善插值效果 lim ( ) 1 0 L x h ® = f ( x ) 因此 若f ( x ) 在 [ a , b ]上连续 则
2.分段线性插值的误差估计 由第二节定理1可知n次 Lagrange插值多项式的余项为 R(x)=/(x)-P(x)=(), n+ n+1(X 那么分段线性插值n(x)的余项为 R(x)=f(x)-L1(x)=f(x)-l(x) f"( (x-xk)(x-xk+1)5,x∈[xx+1且5与x有关 R1(x)|≤ maxI f"(x)l max (x X(X-X k+1 a<x<b a≤x<b k ≤·M2-h Mh
( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x 由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为 R (x) f (x) P (x) n = - n 那么分段线性插值L1 (x)的余项为 ( ) ( ) ( ) 1 1 R x = f x - L x ( ) ( ) ( ) 1 f x L x k = - ( )( ) 2 ( ) - - +1 ¢¢ = k k x x x x f x x , x Î[xk , xk +1 ],且x与x有关 |R1 (x)| max| ( )| max|( )( )| 2 1 +1 £ £ £ £ £ × ¢¢ × - k - k k a x b a x b f x x x x x 2 2 4 1 2 1 £ × M × h 2 2 8 1 = M h 2. 分段线性插值的误差估计
、分段二次 Lagrange插值 1.分段二次插值的构造 分段线性插值的光滑性较差,且精度不高 因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值 设插值节点为x,,函数值为y;,i=01灬…,n h=x+1-x1,=0,1,2,…,n-1h=maxh 任取三个相邻节点x1,x,x+1以xk1,x为插值区间 构造 Lagrange二次插值 L2(x)=y1k-1(x)+y4(x)+y1lk+1(x)k=1,2,…,n-1
二、分段二次Lagrange插值 分段线性插值的光滑性较差,且精度不高 因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值 , i 设插值节点为 x 函数值为 yi , i = 0,1,L,n 任取三个相邻节点xk -1 , xk , xk +1 ,以[xk -1 , xk +1 ]为插值区间 构造Lagrange二次插值 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) 2 L x y l x y l x y l x k k k k k k k = - - + + + + k = 1,2,L,n - 1 hi = xi+1 - xi , i = 0,1,2,L,n - 1 i i h = maxh 1. 分段二次插值的构造
0)(x-xk+1)+yk (x-xk-1)(x-xk+1) 2 k+1 )(x-x∠1)(xk-x1) X-x X-x +yk4(xk+1-x1)(x k k=1,2…,n-1 k+1-X 上式称为分段二次 Lagrange插值 若x*为插值点,且x*∈[x,x+1 显然插值区间[xk1,xk41]和xx2]都包含x 那么y=2(x)还是y*=+1(x
( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 - - + + - - - - - = k k k k k k k x x x x x x x x y k = 1,2,L,n - 1 ( ) ( ) 2 L x k ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 - + - + - - - - + k k k k k k k x x x x x x x x y ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 k k k k k k k x x x x x x x x y - - - - + + - + - + 上式称为分段二次Lagrange插值 * , * [ , ] Î k k +1 若x 为插值点 且x x x 显然,插值区间 [ , ] [ , ] k -1 k +1 k k +2 x x 和 x x 都包含x * * ( *) ( ) 2 y L x k 那么 = * ( *) ( 1) 2 y L x k + 还是 =
般 若xk≤x≤xk+1,且x*更接近xk,则 L26(x) k=1,2 1 若 x1≤x≤xk+1x 更接近x1,则 *=D(k+1 X k=0 2 若x*≤x1(含x*≤x)则 若x≥xn1(含x*≥xn),则 x*≤x和x*≥xn时使用的方法是外插
一般 若xk £ x* £ xk +1 ,且x *更接近xk ,则 * ( *) ( ) 2 y L x k = 若xk £ x* £ xk +1 ,且x *更接近xk +1 ,则 * ( *) ( 1) 2 y L x k + = k = 1,2,L,n - 1 若x* £ x1 (含x* £ x0 ),则 k = 0,1,L, n - 2 * ( *) (1) 2 y = L x 若x* ³ xn-1 (含x* ³ xn ),则 * ( *) ( 1) 2 y L x n - = x* £ x0 和 x* ³ xn 时使用的方法是外插
(k-1)1L)1(k+1 2 L2-(x) x* xx X XX 大 X X k-2 k+1 插 外插 内 插
x * x * x * x * x * x * 0 x 1 x k -2 x k -1 x k x k +1 x n-1 x n x x * ( *) (1) 2 L x ( 1) 2 k - L ( ) 2 k L ( 1) 2 k + L ( *) ( 1) 2 L x n - L L 外插 内 插 外插