计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §35 Hermite插值法
第三章 插值法和最小二乘法 §3.5 Hermite插值法
§35 Hermite插值法 Newton插值和 Lagrange插值虽然构造比较简单,但都存 在插值曲线在节点处有尖点,不光滑,插值多项式在节 点处不可导等缺点 设f(x)在节点a≤xx1八…,xn≤b处的函数值为yy1…,yn 设P(x)为f(x)的在区间ab]上的具有一阶导数的插值函数 (1)若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度) 即P(x)在节点x0,x1…,x处必须满足 P(x1)=f(x)=y;i=0,1 (1) P(x)=f(x)=yi=0,1,…,n
§3.5 Hermite插值法 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点 ( ) , , , , , , , 0 1 n 0 1 n 设f x 在节点 a £ x x L x £ b处的函数值为y y L y 设P(x)为f (x)的在区间[a,b]上的具有一阶导数的插值函数 即P(x)在节点 x0 , x1 ,L, xn处必须满足 i i i P(x ) = f (x ) = y i i i P¢(x ) = f ¢(x ) = y ¢ (1) 若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度) i = 0,1,L, n i = 0,1,L, n --------(1)
共2n+2个方程 可以解出2n+2个待定的系数 因此P(x)可以是最高次数为2n+1次的多项式 两个节点就可以用2×1+1=3次多项式作为插值函数 (2)同样若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数(m阶光滑度) 即P(x)在节点x2x1…,x处必须满足 P(x=f()=y P(x )=f(x)=y =0,1 P(x)=f"(x1)=y P (m)
即P(x)在节点 x0 , x1 ,L, xn处必须满足 i i i P(x ) = f (x ) = y i i i P¢(x ) = f ¢(x ) = y ¢ (2)同样,若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数(m阶光滑度) 可以解出2n + 2个待定的系数 因此P(x)可以是最高次数为2n + 1次的多项式 两个节点就可以用2 ´ 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数 i i i P¢¢(x ) = f ¢¢(x ) = y ¢¢ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m i i m i m P x = f x = y L i = 0,1,L, n --------(2) 共2n + 2个方程
定义1.称满足()或(2)式的插值问题为 Hermite插值, 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x为Hemt!插值多项 式,记为H(x),k为多项式次数 般,次 Hermite插值多项式H(x)次数k如果太高会影响 收敛性和稳定性( Runge现象),因此k不宜太大,仍用分段插值 、两点三次 Hermite插值 先考虑只有两个节点的插值问题 设f(x)在节点xx1处的函数值为yy1 在节点x0,x1处的的一阶导数值为yy 两个节点最高可以用3次 Hermite多项式H2(x)作为插值函数
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为Hk(x) , k为多项式次数 收敛性和稳定性 现象 因此 不宜太大 仍用分段插值 一般 次 插值多项式 的次数 如果太高会影响 ( ), , , ( ) Runge k k Hermite H x k k 一、两点三次Hermite插值 先考虑只有两个节点的插值问题 0 1 0 1 设f (x)在节点 x , x 处的函数值为y , y 0 1 0 1 在节点 x , x 处的的一阶导数值为y ¢ , y ¢ 两个节点最高可以用3次Hermite多项式H3 (x)作为插值函数
H3(x)应满足插值条件 H3(x0)=yH3(x1)=y H3(x0)=yH3(x1) H3(x)应用四个插值基函数表示 设H3(x)的插值基函数为h(x)=0123 H3(x)=aoho(x)+a,h(x)+a2h,(x)+ash3() 希望插值系数与 Lagrange插值一样简单 重新假设 H3(x)=yoMo(x)+,a,(x)+yoBo(x)+yiB(x)
H3 (x)应满足插值条件 3 0 0 H (x ) = y 3 1 1 H (x ) = y 3 0 0 H¢(x ) = y ¢ 3 1 1 H¢(x ) = y ¢ H3 (x)应用四个插值基函数表示 ( ) ( ), 0,1,2,3 设H3 x 的插值基函数为hi x i = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 2 2 3 3 H x = a h x + a h x + a h x + a h x 希望插值系数与Lagrange插值一样简单 重新假设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H x = y a x + y a x + y ¢b x + y ¢b x
H3()=yao(x)+yai()+yP(x)+yiB(x) 其中 (x)=1aa(x1)=0ka(x)=0a(x1)=0 a1(x)=0g(x)=1a(x)=0a(x)=0 B(x)2=0B6(x)=0(x)=1B(x)=0 B1(x)2=0B1(x)2=0B(x)=0-(x)=1 可知x1是a(x)的二重零点,即可偎设 a0(x)=(x-x1)2(ax+b) 由 (x)=0
其中 ( ) 1 a0 x0 = ( ) 0 b0 x0 = ( ) 1 b0 ¢ x0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H¢ x = y a¢ x + y a¢ x + y ¢b¢ x + y ¢b¢ x ( ) 0 a0 x1 = ( ) 0 a1 x0 = ( ) 1 a1 x1 = ( ) 0 b0 x1 = ( ) 0 b1 x0 = ( ) 0 b1 x1 = ( ) 0 a0 ¢ x0 = ( ) 0 a0 ¢ x1 = ( ) 0 a1 ¢ x0 = ( ) 0 a1 ¢ x1 = ( ) 0 b0 ¢ x1 = ( ) 0 b1 ¢ x0 = ( ) 1 b1 ¢ x1 = 可知 x1是a0 (x)的二重零点,即可假设 ( ) ( ) ( ) 2 0 1 a x = x - x ax + b ( ) 1 a0 x0 = ( ) 0 由 a0 ¢ x0 =
可得 b )2(x0-x1) (x)=(x-x1)2(ax+b) 2x 1 0 3 0 0 (x-x1) 2x0 2x agrange 0 0 1 插值基函数 X-x 1+2 (1+2l(x):l2(x) X-x
可得 3 0 1 ( ) 2 x x a - = - 3 0 1 0 2 0 1 ( ) 2 ( ) 1 x x x x x b - + - = ( ) ( ) ( ) 2 0 1 a x = x - x ax + b 2 1 = (x - x ) ç ç è æ - - 3 0 1 ( ) 2 x x x ÷ ÷ ø ö - + - + 3 0 1 0 2 0 1 ( ) 2 ( ) 1 x x x x x 2 0 1 2 1 ( ) ( ) x x x x - - = ÷ ÷ ø ö - - 0 1 2 x x x ç ç è æ - + 0 1 2 0 1 x x x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = + 1 0 0 1 2 x x x x 2 0 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x (1 2 ( )) ( ) 2 1 0 = + l x ×l x Lagrange 插值基函数
即a(x)=(1+24(x)6(x)=1+2x-xn(x xo 类似可得 a1(x)=(1+2(x)l(x)=1+2 (x)=(x-x)6(x)=(x-x0)x B1(x)=(x-x)(x)=(x-x)/ 将以上结果代入
( ) 1 a x (1 2 ( )) ( ) 2 0 1 = + l x ×l x 类似可得 ( ) 0 b x ( ) ( ) 2 0 0 = x - x ×l x ( ) 1 b x ( ) ( ) 2 1 1 = x - x ×l x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = + 0 1 1 1 2 x x x x 2 1 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x ( ) 0 = x - x 2 0 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x 2 1 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x ( ) 1 = x - x ( ) 0 a x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = + 1 0 0 1 2 x x x x 2 0 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x (1 2 ( )) ( ) 2 1 0 即 = + l x ×l x 将以上结果代入
H3(x)=yao(x)+y,a,(x)+yoBo(x)+y1B,(x) 得两个节点的三次 Hermite插值公式 H3(x)=ya0(x)+y1(x)+yB6(x)+y1B1(x) yn(1+24(x)l(x)+y1(1+20(x)(x) +y(x-x0)·(x)+y1(x-x1)4(x) 2 X-x 0 X-x X X- 1+2 +v,|1+2 0 V1 0 X-x 2 X-x valx +y1(x-x1 xo-x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H x = y a x + y a x + y ¢b x + y ¢b x 得两个节点的三次Hermite插值公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H x = y a x + y a x + y ¢b x + y ¢b x (1 2 ( )) ( ) 2 1 0 1 + y + l x ×l x ( ) ( ) 2 0 0 0 + y ¢ x - x ×l x ( ) ( ) 2 1 1 1 + y ¢ x - x ×l x (1 2 ( )) ( ) 2 0 1 0 = y + l x ×l x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - + + 0 1 1 1 1 2 x x x x y 2 1 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x ( ) 0 0 + y ¢ x - x 2 0 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x 2 1 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x ( ) 1 1 + y ¢ x - x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = + 1 0 0 0 1 2 x x x x y 2 0 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - x x x x
、两点三次 Hermite插值的余项 两点三次 Hermite插值的误差为 R3(x)=f(x)-H3(x) R3(x)=f(x)-H3(x)=0 i=0,1 R3(x)=f(x)-H3(x)=0 x0,x均为R2(x)二重零点因此可设 R(x)=K(x)(x-x)(x-x)2 其中K(x)待定
二、两点三次Hermite插值的余项 两点三次Hermite插值的误差为 ( ) ( ) ( ) 3 3 R x = f x - H x ( ) ( ) ( ) 0 R3 xi = f xi - H3 xi = ( ) ( ) ( ) 0 R3 ¢ xi = f ¢ xi - H3 ¢ xi = i = 0,1 x0 , x1均为R3 (x)的二重零点,因此可设 2 1 2 3 0 R (x) = K(x)(x - x ) (x - x ) 其中K(x)待定