计算方法 第五章常微分方程数值解
第五章 常微分方程数值解
第五章常微分方程数值解 S51引言(基本求解公式) §52 Runge-Kuta法 S53微分方程组和高阶方程解法简介
第五章 常微分方程数值解 §5.1 引言(基本求解公式) §5.2 Runge-Kutta法 §5.3 微分方程组和高阶方程解法简介
本章要点:本章主要研究基于微积分数值解法的常 微分方程数值解,主要方法有 线性单步法中的 Euler方法、 Simpson方法、 Runge- Kutta方法 高阶微分方程和微分方程组的数值解法
本章要点：本章主要研究基于微积分数值解法的常 微分方程数值解，主要方法有 线性单步法中的Euler方法、Simpson方法、 Runge-Kutta方法 高阶微分方程和微分方程组的数值解法
§51引言(基本求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中,常需要求解微分方程 只有简单的和典型的徼分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求岀解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程: ∫y=f(x,y) a<xs b ly(a)=yo (1) 「y"=f(x,y,y)a≤x≤b ly(a)=yo,y(a) =a (2)
§5.1 引言(基本求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： î í ì = ¢ = £ £ 0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b î í ì = ¢ = ¢¢ = ¢ £ £ ( ) , ( ) a ( , , ) y a y0 y a y f x y y a x b -----------(1) -----------(2)
y"=f(x,yy)a≤x≤b (a) (1)(2)式称为初值问题(3)式称为边值问题 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组 y1=f1(x,y1,y2)y1(x)=y10 本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)-(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件
î í ì = = ¢¢ = ¢ £ £ n y a y y b y y f x y y a x b ( ) , ( ) ( , , ) 0 -----------(3) (1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 î í ì ¢ = = ¢ = = 2 2 1 2 2 0 20 1 1 1 2 1 0 10 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) y f x y y y x y y f x y y y x y -----------(4) 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件
定理1.如果f(x,y)满足Lchi条件,即 彐正数L,使得∨x∈[a,b,均有 I f(x, Di)-f(x,y2),-y2 则初值问题()解存在且唯 对于问题(1),要求它的数值解 就是求未知函数y(x)在区间ab]上的一系列离散点(节点) a=xn<x,<x<∴<X.=b 上函数值y(xk)舶近似值y(k=1,2灬…,n) 而yk(k=1,2…,n)就是问题(1)的数值解
定理1. 如果f (x, y)满足Lipschitz条件，即 $正数L,使得"x Î[a,b]，均有 | f (x, y1 ) - f (x, y2 )|£ L|y1 - y2| 则初值问题(1)的解存在且唯一 对于问题(1),要求它的数值解 就是求未知函数y(x)在区间[a,b]上的一系列离散点(节点) a x x x x b = 0 < 1 < 2 <L < n = y(x ) y (k 1,2, ,n) 上函数值 k 的近似值 k = L 而yk (k = 1,2,L,n)就是问题(1)的数值解
从(1)的表达式 y=f(x,y)a≤x≤b (1) 可以看出求它的数值解的关键在于 y(x)数值计算问题 或者它的等价的积分方程(x)=+/(y() 积分(,y()数值计算问题 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过
î í ì = ¢ = £ £ 0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b -----------(1) 从(1)的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 y ¢(x)数值计算问题 或者它的等价的积分方程 = + ò 中 x a y(x) y f (t, y(t))dt 0 积分ò 的数值计算问题 x a f (t, y(t))dt 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过
、基于数值微分的常微分方程数值解法 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 a=x<x<x<.<x=b b-a h= a+ kh 对于初值问题(1) f(xy)a≤x≤b (1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式
一、基于数值微分的常微分方程数值解法 î í ì = ¢ = £ £ 0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b -----------(1) 对于初值问题(1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 a x x x x b = 0 < 1 < 2 <L < n = 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 x a kh n b a h k = + - =
(一) Euler公式 [a,x]y(a)=[v(x)-y(x)-y"(50) y(x1)=[y(x1)y(x)+y(0) h [x1,x2] v(X y"(1) h (5) (x2)=[(x2)-y(x1)+y"(51) 2 x 1 y(xi)h y(x1)-y(x)2 y() h y(x +1) (x 4)-y(x) +y(5)
[ ( ) ( )] 1 ( ) 1 0 y x y x h y ¢ a = - ( ) 2 x0 y h [ , ] - ¢¢ 1 a x [ ( ) ( )] 1 ( ) 1 1 0 y x y x h y ¢ x = - ( ) 2 x0 y h + ¢¢ [ ( ) ( )] 1 ( ) 1 2 1 y x y x h y ¢ x = - ( ) 2 x1 y h - ¢¢ [ , ] 1 2 x x [ ( ) ( )] 1 ( ) 2 2 1 y x y x h y ¢ x = - ( ) 2 x1 y h + ¢¢ [ ( ) ( )] 1 ( )j j 1 j y x y x h y ¢ x = + - ( ) 2 j y h [ , ] - ¢¢ x j j+1 x x [ ( ) ( )] 1 ( ) j 1 j 1 j y x y x h y ¢ x + = + - ( ) 2 j y h + ¢¢ x --------(5) (一) Euler公式
由)式每组的前一半可得 h2 y(x1)=y(x)+hy(a)+ny"(50) yO )=y(x1)+hy(x1)+y"(21) 2 h y(x+1)=y(x)+hy(x)+y"()j=0,1,…,n-1 记 yi+ 6 h h j=0,1,…,n-1 (h)="y(5) 2 2 其中y=y(x)y1≈y(x1)y(x)=f(xy) (6)和(7)式称为求解初值问题(1)的(前进uler公式和误差项
由(5)式每组的前一半可得 ( ) ( ) ( ) 1 0 y x = y x + hy ¢ a ( ) 2 0 2 y x h + ¢¢ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 y x = y x + hy ¢ x ( ) 2 1 2 y x h + ¢¢ ( ) ( ) ( ) j 1 j j y x = y x + hy ¢ x + ( ) 2 2 j y h + ¢¢ x LL --------(6) j = 0,1,L,n - 1 ( , ) j 1 j j j y = y + hf x y + ( ) 2 ( ) 2 j 1 j y h e h = ¢¢ x + ( ) 2 2 j y x h » ¢¢ --------(7) 记 ( ) j j y = y x j = 0,1,L,n - 1 其中 ( ) j +1 » j +1 y y x ( ) ( , ) j j j y ¢ x = f x y (6)和(7)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式和误差项