计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §36三次样条插值
第三章 插值法和最小二乘法 §3.6 三次样条插值
§3.6三次样条插值 什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年, Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 、三次样条插值函数 定义1.a≤xm,x1八…x≤b为区间a,b一个分割 如果函数S(x)在区间a,b上满足条件
§3.6 三次样条插值 什么是样条: 是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 一、三次样条插值函数 定义1. a £ x0 , x1 ,L, xn £ b为区间[a,b]的一个分割 如果函数S(x)在区间[a,b]上满足条件 :
(1)S(x),S(x)S"(x)都在区间a,b上连续,即S(x)∈C[a,b (2)S(x)在每个小区邮x,x1上都是三次多项式 则称S(x)为区间[ab]上的三次样条函数 (3)如果函数f(x)在节点x0x1…,x处的函数值为 f(x)=yj=0,1…,n 而三次样条函数S(x)满足 S(x)=yi 则称S(x)为f(x)在[a,b]上的三次样条插值函数
(1) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( ) [ , ] 2 S x S¢ x S¢¢ x 都在区间 a b 上连续 即S x ÎC a b (2) S(x)在每个小区间[xk , xk +1 ]上都是三次多项式 则称 S(x)为区间[a,b]上的三次样条函数 (3) 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,L, xn处的函数值为 f x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, 而三次样条函数S(x)满足 S x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, 则称S(x)为f (x)在[a,b]上的三次样条插值函数 ------(1)
三次样条插值多项式 a≤x,x1…,x≤b为区间[a,b的一个分割 如果函数f(x)在节点x0,x1…x处的函数值为 f(x)=y,=01,…,n 如果S(x)是f(x)的三次样条插值函数则其必满足 X 0,1 mS(x)=S(x)=y,=1 imS(x)=S(x,)=m,/=1…,n-1 x→)x mS"(x)=S"(x)j=1,…,n-1
二、三次样条插值多项式 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,L, xn处的函数值为 f x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, a £ x0 , x1 ,L, xn £ b为区间[a,b]的一个分割 如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数,则其必满足 S x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, lim ¢( ) = ¢( ) = , = 1, , - 1 ® S x S x m j n j j x x j L lim ¢¢( ) = ¢¢( ), = 1, , - 1 ® S x S x j n j x x j L lim ( ) = ( ) = , = 1, , - 1 ® S x S x y j n j j x x j L ------(2) ï ï î ï ï í ì
S(x)要满足上述四组(共4n-2个)条件 (x)x∈[x0,x1] S(x)在[a,b]上必 然是分段函数围S)=S(x)x∈x,x (3) x)x∈x,1,x (x)是[xk,xl的两点)三次样条插值多项式满足 k=0,1,2,…,n-1j=k,k+1 lim Sk(x)=lim Sk-1(x) x>Ik x→>xk lim Sk(x)=lim Sk-1(x)k=1,2,,,n-1 x→x x→x lim Sk(x)=lim Sk-1(x) 共4n-2个条件 x→>xk x→>xk
S(x)要满足上述四组(共4n - 2个)条件 然是分段函数 即 在 上必 , S(x) [a,b] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] 1 1 1 1 2 0 0 1 n n n S x x x x S x x x x S x x x x - Î - Î Î M M ï ï î ï ï í ì S(x) = Sk (x)是[xk , xk +1 ]上的(两点)三次样条插值多项式,满足 k j j S (x ) = y lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® + ® - = lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢ = ¢ + - lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢¢ = ¢¢ + - k = 1,2,L,n - 1 共4n - 2个条件 k = 0,1,2,L, n -1; j = k,k +1 ------(3) ï ï î ï ï í ì ------(4)
(x)是[xx1l上的三次样条插值多项式应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件 第一类(一阶边界条件:S(x)=fS(xn)=f--5 第二类(二阶边界条件S(x)=61S"(x)=fm-16 第三类(周期)边界条件1imS(x)=1imS1(x) x→)x 0,1,2
Sk (x)是[xk , xk +1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件: 0 0 S¢(x ) = f ¢ n n S¢(x ) = f ¢ 第二类(二阶)边界条件 0 0 S¢¢(x ) = f ¢¢ n n S¢¢(x ) = f ¢¢ 第三类(周期)边界条件 lim ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 S x S x p n x x p x x n - ® + ® - = p = 0,1,2 ------(5) ------(6) ------(7)
般使用第一、二类边界条件,常用第二类边界条件 加上任何一类边界条件(至少两个)后 确定S(x)必须确定4n个待定的系数的条件正好也是4n个 y k=0,12…,n-1;j=k,k+1 lim Sk(x)=lim Sk-1(x) k=12,…,n-1 x→>xk x→x lmS(x)=limS2()=m1k=12…n-1-16 lim Sk(x)=lim Sk_(x) k=1 12 x→x x→>xk S(ro)=fo s(,)=f oi s(o)=fo s"(,)=frr
加上任何一类边界条件(至少两个)后 确定S(x)必须确定4n个待定的系数的条件正好也是4n个 一般使用第一、二类边界条件, 即 k j j S (x ) = y lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® + ® - = lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢ = ¢ + - lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢¢ = ¢¢ + - k = 1,2,L,n - 1 k = 0,1,L,n -1; j = k, k +1 k = 1,2,L,n - 1 k = 1,2,L,n - 1 = mk 0 0 S¢(x ) = f ¢ n n S¢(x ) = f ¢ ï ï î ï ï í ì ------(8) 0 0 S¢¢(x ) = f ¢¢ n n 或 S¢¢(x ) = f ¢¢ 常用第二类边界条件
设S(x,)=m1,j=0,1,…,n 逐个求f(x)在小区间x,xk1l上的三次插值多项式S(x) 将S(x)表示为x,x+1上的两点三次 Hermite插值多项式 SA(x)=H(x)=ya06(x)+y+1x(x)+mB63(x)+m1B3( X-X X-x X-x y1+2 k X-X k+1 k+11+2 k E1-X k+1 k+1 X-x +m4(x-从k八xk-xk+1 mk1lx-xk
S x m j n j j 设 ¢( ) = , = 0,1,L, ( ) [ , ] ( ) 1 f x x x S x 逐个求 在小区间 k k + 上的三次插值多项式 k 将Sk (x)表示为[xk , xk +1 ]上的两点三次Hermite插值多项式 S (x) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 3 H x y x y x m x m x k k k k k k k k k = = a + + a + b + + b ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - + + + + + 1 1 1 1 2 k k k k x x x x y 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - k + k k x x x x ( ) k k + m x - x 2 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - + + k k k x x x x 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - k + k k x x x x ( ) + k +1 - k +1 m x x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = + k + k k k x x x x y 1 1 2 2 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - + + k k k x x x x ------(9)
令h2=x1-x,k=0,1,…,n-1加以整理后可得 h x+2(x-xk) X)= hk-2(x-xk+1) x k+1 211+ X-x h. (x2k)、×(x一x x-x,m h2 10) 对S(x)求二阶导数并整理后得 Sk(x) (xk+x+1-2x) (k+1-Yr) 6x-2xk-4xk+1 2 6x-4xk-2xk+1 m k+1
k k k k k k x x y h h x x S x 2 3 1 ( ) 2( ) ( ) - + + - = 1 2 3 1 ( ) 2( ) + + - - - + k k k k k x x y h h x x k k k k x x m h x x 2 2 1 ( ) ( ) - + - + 1 2 2 1 ( ) ( ) + + - - + k k k k x x m h x x 加以整理后可得 对Sk (x)求二阶导数,并整理后得 ( ) 6( 2 ) ( ) 3 1 1 k k k k k k y y h x x x S x - + - ¢¢ = + + k k k k m h x x x 2 6 - 2 - 4 +1 + 2 1 6 4 2 1 + - - + + k k k k m h x x x ------(10) ------(11) 0,1, , 1 令hk = xk +1 - xk，k = L n -
由条件limS"(x)=limS1(x)k=12,,n-1 x→)x x→x imS()=6(x2-y) k+1 2 4 (x)=12(yk-ykx-1)+ m1_1+ 1 x→)x h2 k-1 k-1 由于以上两式相等得 1 11 1 m1+2(7+)m+m+1=3( yk+1ykuyk-yk-1y h2 k=1,…,n-1共个n-1个方程,n+1个未知量
lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢¢ = ¢¢ + - 由条件 k = 1,2,L,n - 1 lim S (x) k x xk ¢¢ ® + ( ) 6 2 k 1 k k y y h = + - k k m h 4 - 1 2 - k + k m h lim ( ) 1 S x k x xk - ® ¢¢ - ( ) 6 2 1 1 - - - - = k k k y y h 1 1 2 - - + k k m h k k m h 1 4 - + 由于以上两式相等,得 1 1 1 1 1 ) 1 1 2( 1 + - - - + + + k k k k k k k m h m h h m h 3( ) 2 1 1 2 1 - + - - + - = k k k k k k h y y h y y k = 1,L,n - 1 共个n - 1个方程,n + 1个未知量