计算方法 第二章解线性方程组的直接法
第二章 解线性方程组的直接法
第二章解线性方程组的直接法 §21直接法与三角形方程组求解 §22 Gauss消去法 §23 Gauss列主元消去法 §24直接三角分解法 §2.5平方根法 §2.6追赶法( Thomas法)
§2.1 直接法与三角形方程组求解 §2.2 Gauss消去法 第二章 解线性方程组的直接法 §2.3 Gauss列主元消去法 §2.4 直接三角分解法 § 2.5 平方根法 §2.6 追赶法(Thomas法)
本章要点线性方程组的解法类型之一:直接解法 主要归结为三角形方程组的求解 包括一般线性方程组的 Gauss消去法、 Gauss列主元法、对称正定方程组的平 方根法、三对角方程组的追赶法等 涉及到一些三角分解:主要有 Doolittle 分解、 Crout分解、 Cholesky分解等
本章要点 线性方程组的解法类型之一 :直接解法 主要归结为三角形方程组的求解 包括一般线性方程组的Gauss消去法、 Gauss列主元法、对称正定方程组的平 方根法、三对角方程组的追赶法等 涉及到一些三角分解：主要有Doolittle 分解、Crout分解、Cholesky分解等
本章应用题:投入产出平衡分析 设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门组成 已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始 投入等如下表所示: 表1.国民经济个部门之间的关系 出 投入 农业 制造业服务业外部需求总产出 农业 15 20 30 35 100 制造业 30 10 45 115 200 服务业 20 60 70 150 初始投入 35 110 75 总投入 100 200 150
本章应用题：投入产出平衡分析 设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门组成, 已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始 投入等如下表所示： 产出 投入 农业 制造业 服务业 外部需求 总产出 农业 15 20 30 35 100 制造业 30 10 45 115 200 服务业 20 60 / 70 150 初始投入 35 110 75 总投入 100 200 150 表1. 国民经济个部门之间的关系
假定每个部门的产出与投入成正比,则由表1可确定 三个部门的投入产出表,如表2 表2.投入产出表 产出 投入 农业 制造业服务业 农业 0.15 0.20 投入系数 制造业03005030或消耗系数 服务业 0.20 0.30 0 )设有n个部门,已知投入系数,给定外部需求,建立 求解个部门总产出的模型 2)设投入系数如表2所给如果今年对农业、制造业 和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元问这 三个部门的总产出分别为多少?
产 出 投 入 农 业 制造业 服务业 农 业 0.15 0.10 0.20 制造业 0.30 0.05 0.30 服务业 0.20 0.30 0 表2. 投入产出表 假定每个部门的产出与投入成正比,则由表1可确定 三个部门的投入产出表,如表2. 投入系数 或消耗系数 1) 设有 n 个部门,已知投入系数,给定外部需求,建立 求解个部门总产出的模型 2) 设投入系数如表2所给,如果今年对农业、制造业 和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这 三个部门的总产出分别为多少?
3)如果三个部门的外部需求分别增加1个单位他们 的总产出分别增加多少? 4)如果对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到 非负的总产出模型就称为可行的,问为使模型可行, 投入系数应满足什么条件?
3) 如果三个部门的外部需求分别增加1个单位,他们 的总产出分别增加多少? 4) 如果对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到 非负的总产出,模型就称为可行的,问为使模型可行, 投入系数应满足什么条件?
第二章解线性方程组的直接法 §21直接法与三角形方程组求解 实际问题中的线性方程组分类 按系数矩阵中稠密线性稀疏线性 零元素的个数 方程组 方程组 (809%) 按未知量 方程组(如1000低阶线性 高阶线性 的个数: 方程组 按系数矩 对称正定三角形三对角占 阵的形状 方程组方程组优方程组
第二章 解线性方程组的直接法 §2.1 直接法与三角形方程组求解 实际问题中的线性方程组分类： 按系数矩阵中 零元素的个数： 稠密线性 方程组 稀疏线性 方程组 按未知量 的个数： 高阶线性 方程组 低阶线性 方程组 (如1000) (80%) 按系数矩 阵的形状 对称正定 方程组 三角形 方程组 三对角占 优方程组
直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法,共有若干种 对于线性方程组Ax=b 其中 11 12 W 22 2n X. X= b n2 nn 系数矩阵 未知量向量常数
一、直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法，共有若干种． 对于线性方程组 Ax = b ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ = n n nn n n a a a a a a a a a A L M M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ = n x x x x M 2 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ = bn b b b M 2 其中 1 系数矩阵 未知量向量 常数项 ------------(1)
根据 Cramer(克莱姆)法则若 determinantal det(A)≠0 det(a)=A 行列式的记号 则方程组Ax=b有唯一解 若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换 A=(4,6)=(1(,b0)→(A2,b2) 经过n-1 1(Am,b0) 目标:A.上三角阵 则方程组Aox=b的解不难得到
根据Cramer(克莱姆)法则,若 det(A) ¹ 0 则方程组 Ax = b 有唯一解 determinantal det( A) =|A| 行列式的记号 若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换: A = (A,b) ( , ) (1) (1) = A b ( , ) (2 ) (2) A b 经过n-1次 ( , ) (n) (n) A b 目标：A (n)为上三角阵 则方程组 A (n) x = b (n) 的解不难得到
Ax=b An)x=b 同解 以上求解线性方程组的方法称为Gaus消去法 如果将线性方程组Ax=b的系数矩阵A分解成 两个三角形矩阵L和U,即 都是三角 形方程组 A= LU 则Ax=b LUx=b 少y=b =y 上述方法称为直接三角形分解法
Ax = b Ax = b (n) (n) A x = b 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法 两个三角形矩阵 和 即 如果将线性方程组 的系数矩阵 分解成 L U , Ax = b A A = LU 则 LUx = b Ly = b Ux = y 都是三角 形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 ------------(2)
