高级金融理论I 李仲飞 中山大学岭南学院 ⊙ September6,2005 李仲飞 September 6, 2005
I ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✝✠ c September 6, 2005 c ✁✂ 1 September 6, 2005
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目录 第一章多期证券市场中的均衡 §11引言 §1.2不确定性与信息 1.3多期证券市场 55589 1.4资产生成空间 §15代理人 §1.6证券组合选择与一阶条件 §17一般均衡 §18注记 第二章多期套利与正性 §21引言 §22一价定律与线性性 §23套利与正的定价 .14 24一期模型 §2.5正的均衡定价 第三章动态完备市场 31引言 2动态完备市场 9990 33二项式证券市场 34动态完备市场中的事件价格 35二项式证券市场中的事件价格 36动态完备市场中的均衡 §3.7 Pareto-最优均衡 第四章估价 41引言 §42金融学基本定理 43估价泛函的唯一性 第五章事件价格、风险中性概率、定价核 51引言 §5.2事件价格 53无风险收益与贴现因子 4风险中性概率
✡ ☛ ☞✌✍ ✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘ 5 §1.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §1.2 ✛✜✢✣✤✥✦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §1.3 ✧★✩✪✫✬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §1.4 ✭✮✯✰✱✲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 §1.5 ✳✴✵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 §1.6 ✩✪✶✷✸✹✤✺✻✼✽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 §1.7 ✺✾✿❀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 §1.8 ❁❂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ☞❃✍ ✎✏❄❅❆❇❈ 13 §2.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §2.2 ✺❉✢❊✤❋✣✣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §2.3 ●❍✤■❏✢❉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2.4 ✺★❑▲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.5 ■❏✿❀✢❉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ☞▼✍ ◆❖P◗✓✔ 19 §3.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §3.2 ❘❙❚❯✫✬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §3.3 ❱❲❳✩✪✫✬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §3.4 ❘❙❚❯✫✬✄ ❏❨✽❉❩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §3.5 ❱❲❳✩✪✫✬✄ ❏❨✽❉❩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §3.6 ❘❙❚❯✫✬✄ ❏✿❀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §3.7 Pareto- ❬❭✿❀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ☞❪✍ ❫❴ 27 §4.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §4.2 ❵❛✝❜❝✢✴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §4.3 ❞❉❡❢❏❣✺✣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ☞❤✍ ✐❥❴❦❧♠♥✕❈♦♣❧q❴r 33 §5.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §5.2 ❨✽❉❩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §5.3 st✉✈✇✤①②③④ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 §5.4 t✉✄ ✣⑤⑥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3
目录 5.5风险中性概率下的期望收益 56风险中性估价 57价值的界 §5.8定价核 第六章证券的营利与鞅 61引信言 §6,2营利与贴现营利 §63贴现营利与鞅 §6.4营利与鞅 第七章基于消费的证券定价 7.1引言 51 §7.2期望效用 51 §7.3风险厌恶 74条件协方差与方差 §7.5基于消费的证券定价 §76时间可分下的证券定价 §7.7跨期边际替代率的波动性 78注记 第八章条件贝塔定价与CAPM 81预备知识 82在时刻t事件的一期证券市场 §83条件贝塔定价 4具有二次效用的条件CAPM 5多期市场收益 886非完备市场中的条件CAPM September 6, 2005 李仲飞
⑦ ⑧ ⑦ ⑧ §5.5 t✉✄ ✣⑤⑥⑨❏★⑩✈✇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 §5.6 t✉✄ ✣❞❉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 §5.7 ❉❶❏❷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 §5.8 ✢❉❸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 §5.9 ❁❂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ☞❹✍ ✑✒✖❺❅❆❻ 45 §6.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §6.2 ❼❍✤①②❼❍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §6.3 ①②❼❍✤❽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §6.4 ❼❍✤❽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ☞❾✍ ❿➀➁➂✖✑✒q❴ 51 §7.1 ✙✚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §7.2 ★⑩➃➄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §7.3 t✉➅➆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §7.4 ✼✽➇➈➉✤➈➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §7.5 ❜➊➋➌❏✩✪✢❉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 §7.6 ➍✲➎➏⑨❏✩✪✢❉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 §7.7 ➐★➑➒➓✳⑥❏➔❘✣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 §7.8 ❁❂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ☞→✍ ➣❥↔↕q❴❆ CAPM 57 §8.1 ➙❯➛➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 §8.2 ➝➍➞ t ❨✽❏✺★✩✪✫✬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 §8.3 ✼✽➟➠✢❉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 §8.4 ➡➢❱➤➃➄❏✼✽ CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §8.5 ✧★✫✬✈✇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 §8.6 ➥❚❯✫✬✄ ❏✼✽ CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 September 6, 2005 4 c ✁✂
第一章多期证券市场中的均衡 81.1引言 在单期证券市场模型中,证券只在期初交易一次。这种模型最适合于证券的风险与收益间的 关系以及风险的均衡配置中的证券的作用的研究 在单期模型中,所有的不确定性是一次解决的。更现实的是,假设不确定性是逐渐被解决的 随着不确定性的解决,代理人一次又一次地交易证券。本章和后面几章的多期模型允许不确定性 的逐步解决,以及当获得有关证券价格和支付的新信息时允许证券的再交易 312不确定性与信息 正如在单期模型中那样,在多期模型中,不确定性用状态集(即样本空间)Ω来说明。每一个 状态是对所有时刻t=0,1,,T的经济环境的一个描述。在时刻0,代理人不知道哪一个状态将 会实现。但是随着时间的流逝,他们获得越来越多的关于状态的信息。在时刻T,他们将知道真 实的状态。 正式地,代理人在时刻t的信息集用状态集g的一个分划于来描述。一个分划P就是!的 个子集簇,这些子集两两不相交且能够覆盖整个样本空间,换句话说,每个状态w∈Ω属于且 仅属于的一个元素。其解释是:在时刻t代理人知道真实状态属于的哪个元素,但不知道 这个元素中的哪个状态是真实状态,然而知道不属于这个元素的那些状态将不能实现 假设1.1分划对于所有的代理人是相同的,即所有代理人拥有相同的信息 在时刻0,代理人没有状态的任何信息,故时刻-0分划为平凡分划50={0,92} 在时刻T,代理人拥有完全信息,因而时刻-T分划为总分划F={}:u∈9} 在时刻1,,T-1,代理人拥有的信息量介于前两者中间 Ft+1较精细(不一定严格精细),即一个状态所在的时刻-(t+1)分划的那个元素是它所在 的时刻+分划的那个元素的子集。等价地,如果两个状态属于t时刻分划的两个不同元素 则它们不可能属于t以后任何时刻分割的同一元素 ·要求代理人永远不能忘记他们曾经知道的信息,即他们关于状态的信息是非减的 分划的T+1元组{50,F1,…,FT}称为信息滤子,记为F 在有限个状态的情形,信息滤子的另一个术语是事件树(见图1.1) 分划于的每个元素称为一个时刻-t事件,以及事件树的一个节点,记作Et; 事件50=50称为根节点; 事件￡的后代是事件ξrCξt,T>t 事件ξt的子代是事件5+1C5 事件ξt的前辈是事件sr≥ξt,<t 事件￡的父辈是唯一的,为事件5t-125t,记作 ·在所有的将来时刻t=1,,T的所有事件构成的集合记为三.并记k=#(三)为三中的事件 的数量。于是包含根节点的事件数为k+1
➦➧➨ ➩➫➭➯➲➳➵➸➺➻ §1.1 ➼➽ ➝➾★✩✪✫✬❑▲✄ ➚✩✪➪➝★➶➹➘✺➤➴➷➬❑▲❬➮✷➊ ✩✪❏t✉✤✈✇✲❏ ➱✃❐❒t✉❏✿❀❮❰✄ ❏✩✪❏Ï➄❏ÐÑ➴ ➝➾★❑▲✄ ➚Ò ➢❏✛✜✢✣Ó✺➤ÔÕ❏➴Ö ②×❏Ó➚ØÙ✛✜✢✣ÓÚÛÜÔÕ❏➴ ÝÞ✛✜✢✣❏ÔÕ➚✳✴✵✺➤ß✺➤à➹➘✩✪➴❝áâãäåá❏✧★❑▲æç✛✜✢✣ ❏ÚèÔÕ➚❐❒éêë➢ ➱ ✩✪❉❩âìí❏î✥✦➍æç✩✪❏ï➹➘➴ §1.2 ðñòóôõö ■÷➝➾★❑▲✄øù➚➝✧★❑▲✄ ➚✛✜✢✣➄ú❙û (ü ù❝✱✲) Ω ýþÿ➴✺✁ ú❙Ó✂ Ò ➢➍➞ t = 0, 1, . . . , T ❏✄☎✆✝❏✺✁✞✟➴➝➍➞ 0 ➚✳✴✵✛➛✠✡✺✁ú❙☛ ☞ ×②➴✌Ó ÝÞ➍✲❏✍✎➚✏✑êë✒ ý ✒ ✧❏➱➊ ú❙❏✥✦➴➝➍➞ T ➚✏✑☛➛✠✓ ×❏ú❙➴ ■❳à➚✳✴✵➝➍➞ t ❏✥✦û➄ú❙û Ω ❏✺✁➏✔ Ft ý✞✟➴✺✁➏✔ Ft ✕Ó Ω ❏ ✺✁④û✖➚➷✗④û✘✘✛✙➹✚✛✜✢✣✤✁ù❝✱✲➚✥✦✧þ➚✁ú❙ ω ∈ Ω ★ ➊ ✚ ✩ ★ ➊ Ft ❏✺✁✪✫➴✬Ô✭Ó✮➝➍➞ t ✳✴✵➛✠✓×ú❙★ ➊ Ft ❏✡✁✪✫➚✌✛➛✠ ➷✁✪✫✄ ❏✡✁ú❙Ó✓×ú❙➚✯✰➛✠✛★ ➊ ➷✁✪✫❏ ø ✗ú❙☛✛✛×②➴ ✱✲ 1.1 ✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿✹➚❀✷✸✺✻✼❁✸✾✿✹❂❃➴ • ➝➍➞ 0 ➚✳✴✵❄➢ú❙❏❅❆✥✦➚❇➍➞ -0 ➏✔❈❉❊➏✔ F0 = {∅, Ω}. • ➝➍➞ T ➚✳✴✵❋➢❚●✥✦➚③✰➍➞ -T ➏✔❈❍➏✔ FT = {{ω} : ω ∈ Ω}. • ➝➍➞ 1, . . . , T − 1 ➚✳✴✵❋➢❏✥✦■❏➊❑ ✘▲✄ ✲▼ • Ft+1 ◆ Ft ❖P (✛✺✢◗❩❖P) ➚ü✺✁ú❙Ò ➝❏➍➞ -(t + 1) ➏✔❏ ø ✁✪✫Ó❘ Ò ➝ ❏➍➞ -t ➏✔❏ ø ✁✪✫❏④û➴❙❉à➚÷❚✘✁ú❙★ ➊ t ➍➞➏✔❏✘✁✛❯✪✫➚ ❱ ❘✑✛➎✛★➊ t ❐ã ❅❆➍➞➏❲❏❯✺✪✫▼ • ❳❨✳✴✵❩❬✛✛❭❂✏✑❪✄➛✠❏✥✦➚ü✏✑➱➊ ú❙❏✥✦Ó➥❫❏➴ • ➏✔❏ T + 1 ✪✶ {F0, F1, . . . , FT } ❴❈✥✦❵④➚❂❈ F. • ➝➢❛✁ú❙❏❜❝➚✥✦❵④❏❞✺✁❡❢Ó ❣❤✐(❥❦ 1.1) – ➏✔ Ft ❏✁✪✫❴❈✺✁➍➞ -t ❨✽➚❐❒❨✽❧❏✺✁ ♠ ♥ ➚❂Ï ξt; – ❨✽ ξ0 = F0 ❴❈ ♦♠♥ ; – ❨✽ ξt ❏ ♣✺ Ó❨✽ ξτ ⊂ ξt, τ > t. ❨✽ ξt ❏ q✺ Ó❨✽ ξt+1 ⊂ ξt. – ❨✽ ξt ❏ rs Ó❨✽ ξτ ⊃ ξt, τ < t. ❨✽ ξt ❏ ts Ó❣✺❏➚❈❨✽ ξt−1 ⊃ ξt, ❂Ï ξ − t . • ➝ Ò ➢❏☛ý➍➞ t = 1, . . . , T ❏ Ò ➢❨✽✉✰❏û✷❂❈ Ξ. ✈❂ k = ](Ξ) ❈ Ξ ✄ ❏❨✽ ❏✇■➴ ➊ Ó①②③④⑤❏❨✽✇❈ k + 1. 5
1.2不确定性与信息 第一章多期证券市场中的均衡 ●u10 ●16 ●u17 ●u21 时刻0 时刻 时刻 时刻3 图1.1:事件树 September 6, 2005 ⊙李仲飞
1.2 ⑥⑦⑧⑨⑩❶❷ ❸❹❺ ❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄ ➅➆ ➅ ➇ ➈ ➉ ➈ ➊ ➋ ➊ ➌ ➍ ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8 ω9 ω10 ω11 ω12 ω13 ω14 ω15 ω16 ω17 ω18 ω19 ω20 ω21 ω22 ✲ t ➍➞ 0 ➍➞ 1 ➍➞ 2 ➍➞ 3 ➎ 1.1: ➏➐➑ September 6, 2005 6 c ➒➓➔
第一章多期证券市场中的均衡 1.2不确定性与信息 例121假设相关信息仅是两个公司的利泂报告。每个报告要么说好(G),要么说坏(B) 个公司在时刻1发行报告,另一个公司在时刻g发行报告,则状态集Ω由两个报告的四种 可能局势组成 图1.2:事件树 Ω={GG,GB,BG,BB} 信息滤子为 IGG, GBJ, BG, BB 2={GG},{GB},{BG},{BB}} 在时刻θ,代理人什么也不知道,在时刻1知道公司1的利涧报告,在时刻2知道ρ个公司 的利润报告。时刻1的事件有 IGG, GB1, Eb=BG, BBH 时刻2的事件有 09=IGG, 5gb=(GB, Sbg =(BG, 5bb=(BBI 所有将来事件集为 代理人关于状态的信息须正常地反映在所有经济变量中,如禀赋、证券价格、红利、证券组合 持有、消费计划,等等。具体来说,如果不能基于时刻t代理人可获得的信息区分某些状态 那么考虑时刻t这些状态下的消费计划或证券价格是没有意义的。说明这些变量的一个方法 是,把它们表示成状态集Ω上的函数,并要求它们关于分割是可测的 定义:如果t时的消费用函数ct:9→R表示的话,那么ct关于Ft的可测性是指ct在每个 st∈Ft上是常数,即 ∈5t→c(u)=ct(u) 我们把这个共同的值记作ct(t),简记为c(t).下同 用c表示对所有t∈F,由c(st)组成的向量,维数等于Ft中的事件数(+) ⊙李仲飞 7 September 6, 2005
❸❹❺ ❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄ 1.2 ⑥⑦⑧⑨⑩❶❷ → 1.2.1 ➣↔✾↕❂❃➙ ✽➛➜➝➞✹➟➠➡➢➴ ➤ ➜➡➢➥➦➧➨ (G) ➚➥➦➧➩ (B) ➴ ➫➜➝➞➭➯➲ 1 ➳➵➡➢➚➸➫➜➝➞➭➯➲ 2 ➳➵➡➢➚➺➻➼➽ Ω ➾➛➜➡➢✹➚➪ ➶➹➘➴➷➬✮ ξgg ξgb ξbg ξbb ξg ξb ξ0 ➎ 1.2: ➏➐➑ Ω = {GG, GB, BG, BB} ❂❃➮ q➱ F0 = {∅, Ω} F1 = {{GG, GB}, {BG, BB}} F2 = {{GG}, {GB}, {BG}, {BB}} ➭➯➲ 0 ➚✺✻✼✃➦❐❒❮❰➚➭➯➲ 1 ❮❰➝➞ 1 ✹➟➠➡➢➚➭➯➲ 2 ❮❰ 2 ➜➝➞ ✹➟➠➡➢➴ ➯➲ 1 ✹❣❤✸ ξg = {GG, GB}, ξb = {BG, BB} ➯➲ 2 ✹❣❤✸ ξgg = {GG}, ξgb = {GB}, ξbg = {BG}, ξbb = {BB} ✷✸ÏÐ❣❤➽ ➱ Ξ = {ξg, ξb, ξgg, ξgb, ξbg, ξbb} • ✳✴✵➱➊ ú❙❏✥✦Ñ■ÒàÓÔ➝ Ò ➢✄☎Õ■✄ ➚÷Ö×❧ ✩✪❉❩❧Ø ❍ ❧ ✩✪✶✷ Ù ➢ ❧➋➌Ú ✔➚❙❙➴➡Ûýþ➚÷❚✛✛ ❜➊➍➞ t ✳✴✵➎êë❏✥✦Ü➏Ý✗ú❙➚ øÞßà➍➞ t ➷✗ú❙⑨❏➋➌Ú ✔á✩✪❉❩Ó❄➢âã❏➴þ ÿ➷✗Õ■❏✺✁➈ä Ó➚å❘✑æç✰ú❙û Ω è❏❢✇➚✈❳❨❘✑➱➊ ➏❲ Ft Ó ➶é✹. • ✢ã✮÷❚ t ➍❏➋➌➄❢✇ ct : Ω → R æç❏✧➚øÞ ct ➱➊ Ft ❏➎ê✣Óë ct ➝✁ ❨✽ ξt ∈ Ft èÓÒ✇➚ü ω, ω0 ∈ ξt ⇒ ct(ω) = ct(ω 0 ) ì ✑å➷✁í❯❏❶❂Ï ct(ξt), î❂❈ c(ξt). ⑨❯➴ • ➄ ct æç✂ Ò ➢ ξt ∈ Ft, ï c(ξt) ✶✰❏ð■➚ñ✇❙➊ Ft ✄ ❏❨✽✇ ](Ft). c ✁✂ 7 September 6, 2005
1.3多期证券市场 第一章多期证券市场中的均衡 这样,我们用同一符号c表示作为F可测函数以及作为向量的消费计划。 类似地,用c表示可测函数c的T+1元组{c,c1,…,cr},同时表示k+1维向量 (c():∈三U{o}) ·定义:如果T+1元组c中的每一个函数ct是升可测的,那么称d适应于信息滤子F 813多期证券市场 设存在J个证券,证券有例子包括债券、股票、期权、期货 每个证券由它在各个时刻支付的红利刻画 ·红利是指证券持有者有权享有的任何支付。对股票,红利就是分配给股东的公司利润。对债 券,红利就是息票支付以及到期支付。 用x(t)表示证券j在事件t的红利 用r(5t)表示J个证券在事件t的红利向量,即x(5+)=(x1(t),…,xJ(5t) 用xj表示证券j在所有t时刻事件￡t的红利xj(5t)构成的向量: rt=(x;(t):t∈Ft) 用x表示所有J个证券在所有t时刻事件的红利构成的向量 在时刻0没有红利, ·有可能一个证券仅在单个时刻有非零红利。例如:在时刻t到期的,面值为1的零息债券,在 每个时刻t事件的红利等于1,而在其它时刻红利为0 证券在除了终端时刻T外的所有时刻交易 ·用p(5t)表示证券j在事件￡t的价格,t=0,…,T 用p(5t)表示个证券在事件t的价格向量 p(t)=(p1(5t),…,p(t) 出于符号上的原因,我们有时刻T的价格p(r),尽管交易在时刻T不发生.这些价格设为0 用pt表示证券j在所有t时刻事件t的价格p/()构成的向量 pt=(pj(5t):5t∈) 用p表示所有J个证券在所有t时刻事件的价格构成的向量 用h3(t)表示证券j在事件st的持有量 用h(5t)表示J个证券在事件t的证券组合,为向量 h(t)=(h1(+),…,hJ(t) September 6, 2005 ⊙李仲飞
1.3 ❻❼❽❾❿➀ ❸❹❺ ❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄ – ➷ ù ➚ì ✑➄❯✺òó ct æçÏ❈ Ft ➎ê❢✇ ❐❒Ï❈ð■❏ ➋➌Ú ✔➴ – ôõà➚➄ c æç Ft ➎ê❢✇ ct ❏ T + 1 ✪✶ {c0, c1, . . . , cT }, ❯➍æç k + 1 ñð■ (c(ξ) : ξ ∈ Ξ S {ξ0}) • ✢ã✮÷❚ T + 1 ✪✶ c ✄ ❏✺✁❢✇ ct Ó Ft ➎ê❏➚øÞ ❴ cö÷ ➊ ✥✦❵④ F. §1.3 øùúûüý • Ùþÿ J ✁✁➚✁✂✄☎①✆✝✁✞✟✠✞✡☛✞✡☞✌ • ✍✎✁✏✑ÿ✒ ✎✓✔✕✖✗✘✙✔✚✌ • ✘✙✛✜✁✢✂✣✂☛✤✂✗✥✦✕✖✌✧✟✠★✘✙✩✛✪✫✬✟✭✗✮✯✙✰✌✧✝ ✁★✘✙✩✛✱✠✕✖✲✳✴✡✕✖✌ • ✵ xj (ξt) ✶✷✁ j ÿ✸✹ ξt ✗✘✙ ✵ x(ξt) ✶✷ J ✎✁ÿ✸✹ ξt ✗✘✙✺✻ ★✼ x(ξt) = (x1(ξt), . . . , xJ (ξt)) ✵ xjt ✶✷✁ j ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹ ξt ✗✘✙ xj (ξt) ✾✿✗✺✻❀ xjt = (xj (ξt) : ξt ∈ Ft) ✵ xt ✶✷✽ ✂ J ✎✁ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹✗✘✙✾✿✗✺✻ xt = (x1t, . . . , xJt) • ÿ ✓✔ 0 ❁✂✘✙★ • ✂❂❃❄✎✁❅ÿ❆ ✎✓✔✂❇❈✘✙✌✄❉❀ÿ ✓✔ t ✴✡✗★❊❋● 1 ✗❈✱✝✁★ÿ ✍✎✓✔ t ✸✹✗✘✙❍■ 1 ★❏ÿ❑✑ ✓✔✘✙● 0 ✌ • ✁ÿ▲▼◆❖✓✔ T P✗✽ ✂✓✔◗❘✌ • ✵ pj (ξt) ✶✷✁ j ÿ✸✹ ξt ✗❙❚★ t = 0, . . . , T ✵ p(ξt) ✶✷ J ✎✁ÿ✸✹ ξt ✗❙❚✺✻❀ p(ξt) = (p1(ξt), . . . , pJ (ξt)) • ❯■❱❲❳✗❨❩★❬❭✂✓✔ T ✗❙❚ p(ξT ), ❪❫◗❘ÿ ✓✔ T ❴❵❛❜❝❞❙❚❡● 0. ✵ pjt ✶✷✁ j ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹ ξt ✗❙❚ pj (ξt) ✾✿✗✺✻ pjt = (pj (ξt) : ξt ∈ Ft) ✵ pt ✶✷✽ ✂ J ✎✁ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹✗❙❚✾✿✗✺✻ pt = (p1t, . . . , pJt) • ✵ hj (ξt) ✶✷✁ j ÿ✸✹ ξt ✗✢✂✻ ❜ ✵ h(ξt) ✶✷ J ✎✁ÿ✸✹ ξt ✗✁❢❣★● ✺ ✻ h(ξt) = (h1(ξt), . . . , hJ (ξt)) September 6, 2005 8 c ❤✐❥
多期证券市场中的均衡 1.4资产生成空间 每个证券的持有量可以是正的,零,或负的(除非有卖空限制), 同样,出于符号上的原因,时刻T组合h()设为零。 h+表示在所有时刻t事件t的证券组合h(Et)构成的向量 ht=(h(t):st∈F) T+1元组h={ho,,hn}称为证券组合策略 个证券组合策略h在事件ξt的支付(现金流出),记为z(h,p)(5t),是该组合在父节点ξ-的 带红利的支付减去在该节点的价值(或者说在节点ξt交易前的价值减去交易后的价值),即 z(h,p)(5t)≡p(5)+x(5t)h()-p(5t)h(5t),t=1,…,T 这里两个向量相乘理解为对应分量相乘再相加 用z1(h,p)表示在所有时刻+事件Et的支付z(h,p)(5t)构成的向量 t(h, p)=((h, p)(Et): Et E Ft) 证券组合策略h在时刻0的价值为p(50)h(o) 例1.31一考虑证券组合策略h:在时刻t≥1,在事件ξt购买1股证券j,在的每一个 节点将其出售,则 (t) h()=0,V≠t;h1()=0,v,≠ (h,p)(t)=-pf(5t) 2(h,p)(5t+1)=p(+1)+x(5t+1),vt+1c5t z(h,p)()=0,Vg三\({5}U{+1:5+1c} 购买并持有策略:在事件树的每一个事件持有一股证券j h(t)=1,vt∈t,t=0,1 h(5r)=0 ha1(5)=0,V,i≠ z(h, P)(Et) r(5t),vt∈Ft,t=0.1,…,T (h,p)(o) ·时刻t的红利xt,价格pt组合h+,支付zt(h,p)都是F可测函数 §1.4资产生成空间 ·通过证券市场上的交易可获得的支付构成的集合称为资产生成空间,定义为 M(P)=((1,., T)ER: 2t=2t(h, p)for some h, t=1,.,T) 李仲飞 September 6, 2005
❦❧♠ ♥♦♣qrst✉✈✇ 1.4 ① ②③④⑤⑥ – ✍✎✁✗✢✂✻ ❂✲✛⑦✗★❈★⑧⑨✗ (▲ ❇✂⑩❶❷❸) ★ – ❹❺★❯■❱❲❳✗❨❩★✓✔ T ❢❣ h(ξt) ❡ ● ❈✌ ✵ ht ✶✷ÿ✽ ✂✓✔ t ✸✹ ξt ✗✁❢❣ h(ξt) ✾✿✗✺✻ ht = (h(ξt) : ξt ∈ Ft) T + 1 ❻❢ h = {h0, . . . , hT } ❼ ● ✁❢❣❽❾✌ • ❄✎✁❢❣❽❾ h ÿ✸✹ ξt ✗✕✖ (❿➀➁❯) ★ ➂● z(h, p)(ξt), ✛➃❢❣ÿ➄➅➆ ξ − ✗ ➇ ✘✙✗✕✖➈➉ÿ ➃ ➅➆✗❙❋ (⑧✣➊ÿ➅➆ ξt ◗❘➋✗❙❋ ➈➉◗❘➌✗❙❋ ) ★✼ z(h, p)(ξt) ≡ [p(ξt) + x(ξt)]h(ξ − t ) − p(ξt)h(ξt), t = 1, . . . , T ❝➍➎✎✺✻➏➐➑➒● ✧➓✪✻➏➐➔➏→✌ • ✵ zt(h, p) ✶✷ÿ✽ ✂✓✔ -t ✸✹ ξt ✗✕✖ z(h, p)(ξt) ✾✿✗✺✻ zt(h, p) = (z(h, p)(ξt) : ξt ∈ Ft) • ✁❢❣❽❾ h ÿ ✓✔ 0 ✗❙❋● p(ξ0)h(ξ0) • ➣ 1.3.1 – ↔↕➙➛➜➝➞➟ h ❀➠➡➢ t ≥ 1, ➠➤➥ ξt ➦➧ 1 ➨➙➛ j, ➠ ξt ➩➫➭➯ ➲➳➵➸➺➻ ★➼ hj (ξt) = 1, hj (ξ) = 0, ∀ξ 6= ξt; hi(ξ) = 0, ∀ξ, i 6= j z(h, p)(ξt) = −pj(ξt) z(h, p)(ξt+1) = pj(ξt+1) + xj (ξt+1), ∀ξt+1 ⊂ ξt z(h, p)(ξ) = 0, ∀ξ 6∈ Ξ \ ({ξt} ∪ {ξt+1 : ξt+1 ⊂ ξt} – ➽➾➚✢✂❽❾: ➠➤➥➪➩➫➭➯➤➥➶➹➭➨➙➛ j, hj (ξt) = 1, ∀ξt ∈ Ft, t = 0, 1, . . . , T − 1 hj (ξT ) = 0, ∀ξT ∈ FT hi(ξ) = 0, ∀ξ, i 6= j z(h, p)(ξt) = xj (ξt), ∀ξt ∈ Ft, t = 0, 1, . . . , T z(h, p)(ξ0) = −pj(ξ0) • ✓✔ t ✗✘✙ xjt, ❙❚ pjt, ❢❣ ht, ✕✖ zt(h, p) ➘✛ Ft ❂➴➷➬✌ §1.4 ➮➱✃❐❒❮ • ❰ÏÐÑÒÓ❳✗◗❘❂ÔÕ✗✕✖✾✿✗Ö❣❼● ×ØÙÚÛÜ ★ÝÞ● M(p) = {(z1, . . . , zT ) ∈ R k : zt = zt(h, p) for some h, t = 1, . . . , T } c ❤✐❥ 9 September 6, 2005
1.5代理人 第一章多期证券市场中的均衡 ·例131中证券组合策略的支付当然属于资产生成空间。特别,红利(x1…,x)∈M(),j= ·两期模型和多期模型的一个重要区别: 在两期模型中,资产生成空间是外生的,只依赖于指定的证券支付. 在多期模型中,资产生成空间是内生的,依赖于证券价格. ·证券市场称为是动态完备的(依价格p),如果任何将来时刻(时刻1到T)的消费计划可作为 某个证券组合策略的支会来获得,即 M(P)=R 证券市场称为是非完备的,如果M(p)是R的真子空间 815代理人 在1.2节中,已定义了消费的度量c(t),ct,c. 假设12代理人有定义在消费计划c=(co,c1,…,cr)之集合Rk+1上的效用函数,它们是连续 的、递增的 通常还假设消费是正的,此时,代理人的效用函数为 R 代理人i的禀赋为u2=(,,)∈R ·效用函数u在时刻t是递增的,如果对(co,c1,…,cr),只要q≥ct,就有 u(co,……,c1,…,cr)≥u(c0,…,cr,…,cr) u是递增的,如果u在每个时刻都是递增的 u在时刻t是严格递增的,如果对v(c,c1,…,cr),只要c>c,就有 u是严格递增的,如果u在每个时刻都是严格递增的。 §16证券组合选择与一阶条件 一个效用函数为u的代理人的消费-证券组合选择间题为 max u(c) (1.6.1) s.t. c(Eo) (50)-p(5o)h(5o) (1.6.2) c(Et) (t)+z(h,p)(),vst,t=1,,T (1.6.3) c≥0(如果有此限制的话 September 6, 2005 ⊙李仲飞
1.5 ßàá ❦❧♠ ♥♦♣qrst✉✈✇ • â 1.3.1 ãÐÑ❢❣❽❾✗✕✖äåæ■çè❛✿❶é✌êë★✘✙ (xj1, . . . , xjT ) ∈ M(p), j = 1, . . . , J, ∀p. • ➎ ✡ìíîï✡ìí✗❄✎ðñòë❀ ó➎ ✡ìíã★çè❛✿❶é✛P❛✗★ôõö■✜Ý✗ÐÑ✕✖❜ ó ï✡ìíã★çè❛✿❶é✛÷❛✗★õö■ÐÑ❙❚❜ • ÐÑÒÓ❼● ✛ øùúû ➩(õ❙❚ p) ★❉ü✥✦ýþ✓✔ (✓✔ 1 ✴ T) ✗ÿ✁✂❂✄ ● ☎ ✎ÐÑ❢❣❽❾✗✕✆þÔÕ★✼ M(p) = R k . ÐÑÒÓ❼● ✛ ✝ú û ➩ ★❉ü M(p) ✛ R k ✗✞✟❶é✌ §1.5 ✠✡☛ ó 1.2 ➅ ã★☞ÝÞ▼ ÿ✗✌ ✻ c(ξt), ct, c. ✍✎ 1.2 ✏✑✒➹✓✔➠ ✕✖✗✘ c = (c0, c1, . . . , cT ) ✙✚➝ R k+1 ✛ ➩✜✢✣✤★✥✦✧★✩ ➩✪✫✬➩✌ ❰✭✮✯❡ÿ✛⑦✗★✰✓★✱ ➑✲ ✗✳✵➷➬● u i : R k+1 + → R. ✱ ➑✲ i ✗✴✵● w i = (w i 0 , . . . , wi T ) ∈ R k+1 + . ✶❀ • ✳✵➷➬ u ó ✓✔ t ✛✷✸✗★❉ü✧ ∀(c0, c1, . . . , cT ), ôñ c 0 t ≥ ct ★✩✹ u(c0, . . . , c0 t , . . . , cT ) ≥ u(c0, . . . , ct, . . . , cT ). • u ✛✷✸✗★❉ü u ó ✍✎✓✔➘✛✷✸✗✌ • u ó ✓✔ t ✛✺❚✷✸✗★❉ü✧ ∀(c0, c1, . . . , cT ), ôñ c 0 t > ct ★✩✹ u(c0, . . . , c0 t , . . . , cT ) > u(c0, . . . , ct, . . . , cT ). • u ✛✺❚✷✸✗★❉ü u ó ✍✎✓✔➘✛✺❚✷✸✗✌ §1.6 ✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅ • ❄✎✳✵➷➬● u ✗✱ ➑✲ ✗ÿ - ÐÑ❢❣❆❇❈❉● max u(c) (1.6.1) s.t. c(ξ0) = w(ξ0) − p(ξ0)h(ξ0) (1.6.2) c(ξt) = w(ξt) + z(h, p)(ξt), ∀ξt, t = 1, . . . , T (1.6.3) c ≥ 0 (❉ü✹✰❷❸✗❊) September 6, 2005 10 c ❤✐❥