机械工程测试技术基础习题解答 教材：机械工程测试技术基础，熊诗波主编，机械工业出版社，2018年7月第4版 山东理工大学机械工程学院机电工程系辛世界 第1章绪论 1-】叙述我国法定计量单位的基本内容。 【解答】教材P5,12.2法定计量单位 1-2如何保证量值的准确和一致？ 【解答】（参考教材P5~6,1.2.2法定计量单位~1.2.5量值的传递和计量器具检定） 1、对计量单位做出严格的定义： 2、有保存、复现和传递单位的一整套制度和设备： 3、必须保存有基准计量器具，包括国家基准、副基准、工作基准等。 4、必须按检定规程对计量器具实施检定或校准，将国家级准所复现的计量单位量值经过各级计算标 准传递到工作计量器具。 1-3何谓测量误差？通常测量误差是如何分类表示的？ 【解答】（教材P8~10,1.2.8测量误差） 1-4请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差。 ①1.0182544V±7.8μV ②(25.04894±0.00003)g ③(5.482±0.026)g/cm2 【解答】 @78x10 ×100%≈±0.000766% 1.0182544 ②0.00003 100%≈±0.00012% 25.04894 @±026x100%t0474% 5.482 1-5何谓测量不确定度？国际计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书NC-1(1980)》 的要点是什么？ 【解答】 (1)测量不确定度是表征被测量值的真值在所处量值范围的一个估计，亦即由于测量误差的存在而 对被测量值不能肯定的程度。 (2)要点：见教材P11P12。 1-6为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么是用电表时应尽可能地在 电表量程上限的三分之二以上使用？用量程为150V的0.5级电压表和量程为30V的1.5级电压表分 别测量25V电压，请问哪一个测量准确度高？ 【解答】 (1)因为多数的电工仪表、热工仪表和部分无线电测量仪器是按引用误差分级的（例如，精度等级为 0.2级的电表，其引用误差为0.2%)，而 引用误差=绝对误差/引用值 其中的引用值一般是仪表的满度值（或量程），所以用电表测量的结果的绝对误差大小与量程有关。量程越 大，引起的绝对误差越大，所以在选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程。 (2)从(1)中可知，电表测量所带来的绝对误差=精度等级×量程/100，即电表所带来的绝对误差是
机械工程测试技术基础习题解答 教材：机械工程测试技术基础，熊诗波主编，机械工业出版社，2018 年 7 月第 4 版 山东理工大学机械工程学院机电工程系 辛世界 第 1 章 绪 论 1-1 叙述我国法定计量单位的基本内容。 【解答】教材 P5，1.2.2 法定计量单位。 1-2 如何保证量值的准确和一致？ 【解答】（参考教材 P5~6，1.2.2 法定计量单位~1.2.5 量值的传递和计量器具检定） 1、对计量单位做出严格的定义； 2、有保存、复现和传递单位的一整套制度和设备； 3、必须保存有基准计量器具，包括国家基准、副基准、工作基准等。 4、必须按检定规程对计量器具实施检定或校准，将国家级准所复现的计量单位量值经过各级计算标 准传递到工作计量器具。 1-3 何谓测量误差？通常测量误差是如何分类表示的？ 【解答】（教材 P8~10，1.2.8 测量误差） 1-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差。 ① 1.0182544 V 7.8 ± μV ②（25.04894 0.00003 g ± ） ③ 2 （5.482 0.026 g / cm ± ） 【解答】 ① 6 7.8 10 100% 0.000766% 1.0182544 − ± × × ≈± ② 0.00003 100% 0.00012% 25.04894 ± × ≈± ③ 0.026 100% 0.474% 5.482 ± × ≈± 1-5 何谓测量不确定度？国际计量局于 1980 年提出的建议《实验不确定度的规定建议书 INC-1（1980）》 的要点是什么？ 【解答】 （1）测量不确定度是表征被测量值的真值在所处量值范围的一个估计，亦即由于测量误差的存在而 对被测量值不能肯定的程度。 （2）要点：见教材 P11~P12。 1-6 为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么是用电表时应尽可能地在 电表量程上限的三分之二以上使用？用量程为 150V 的 0.5 级电压表和量程为 30V 的 1.5 级电压表分 别测量 25V 电压，请问哪一个测量准确度高？ 【解答】 （1）因为多数的电工仪表、热工仪表和部分无线电测量仪器是按引用误差分级的（例如，精度等级为 0.2 级的电表，其引用误差为 0.2%），而 引用误差=绝对误差/引用值 其中的引用值一般是仪表的满度值（或量程），所以用电表测量的结果的绝对误差大小与量程有关。量程越 大，引起的绝对误差越大，所以在选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程。 （2）从（1）中可知，电表测量所带来的绝对误差=精度等级×量程/100，即电表所带来的绝对误差是
一定的，这样，当被测量值越大，测量结果的相对误差就越小，测量准确度就越高，所以用电表时应尽可 能地在电表量程上限的三分之二以上使用。 (3)150V的0.5级电压表所带来的绝对误差=0.5×150/100=0.75V:30V的1.5级电压表所带来的绝对 误差=1.5×30/100=0.45V。所以30V的1.5级电压表测量精度高。 1-7如何表达测量结果？对某量进行8次测量，测得值分别为：802.40,802.50,802.38,802.48,802.42， 802.46,802.45,802.43。求其量结果。 【解答】 (1)测量结果=样本平均值±不确定度，或 X=+6=+云 (2) ∑x x= 8=802.44 位偶-买 =8-1=0040356 ==0014268 所以 测量结米=802.44+0014268 1-8用米尺逐段丈量一段10m的距离，设丈量1m距离的标准差为0.2mm。如何表示此项间接测量的函数 式？求测此10m距离的标准差。 【解答】(1) 1-24 -2或-0am 1-9直圆柱体的直径及高的相对标准差均为0.5%，求其体积的相对标准差为多少 【解答】设直径的平均值为ā，高的平均值为万，体积的平均值为下，则 V-h +- =22+》 所以 号-oswr0wr-1
一定的，这样，当被测量值越大，测量结果的相对误差就越小，测量准确度就越高，所以用电表时应尽可 能地在电表量程上限的三分之二以上使用。 （3）150V 的 0.5 级电压表所带来的绝对误差=0.5×150/100=0.75V；30V 的 1.5 级电压表所带来的绝对 误差=1.5×30/100=0.45V。所以 30V 的 1.5 级电压表测量精度高。 1-7 如何表达测量结果？对某量进行 8 次测量，测得值分别为：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42， 802.46，802.45，802.43。求其测量结果。 【解答】 （1）测量结果=样本平均值±不确定度，或 ˆ x s Xx x n =+ =+ σ （2） 8 1 802.44 8 i i x x = = = ∑ 8 2 1 ( ) 0.040356 8 1 i i x x s = − = = − ∑ ˆ 0.014268 8 x s σ = = 所以 测量结果 = + 802.44 0.014268 1-8 用米尺逐段丈量一段 10m 的距离，设丈量 1m 距离的标准差为 0.2mm。如何表示此项间接测量的函数 式？求测此 10m 距离的标准差。 【解答】（1） 10 1 i i L L = = ∑ （2） 2 10 2 1 0.6mm L Li i i L L σ σ = ∂ = = ∂ ∑ 1-9 直圆柱体的直径及高的相对标准差均为 0.5%，求其体积的相对标准差为多少？ 【解答】设直径的平均值为 d ，高的平均值为 h ，体积的平均值为V ，则 2 π 4 d h V = ( ) ( ) 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 π π 2 4 2 V dh d h d h V V dh d d h V V d h σ σσ σ σ σ σ ∂ ∂ = += + ∂ ∂ = + 所以 2 2 2 2 V dh 4 4(0.5%) (0.5%) 1.1% V d h σ σσ = += + =
第2章信号及其描述 2-1求周期方波（见图24）的傅里叶级数（复指数函数形式），画出，上@和0，-0图，并与表2-1对比。 x() 图24周期方波信号波形图 【解答】周期方波信号在一个周期的表达式为 A(←3<0) 0= A0<K2 积分区间取(-T/2,T2),2/orad-s 求cn可以采用以下两种方法之一。 方法1： 信0e山2度0 imJeowev小-sir/ -0oaa-度0ave 因为x)为奇函数，所以x0)eos(no)为奇函数，x0)sin(n,)为偶函数，所以 -2-aww小片 层a孕-m0小层mm-人治u-a 0(m=2,±4，±6， 方法2： 度0emeu+em .41 点b-e-+g明=p-2ma 后-o训=人治=线线 0(n=2,±4±6，) 求直流分量（平均值）c,可以采用以下两种方法之一。 方法1：积分求直流分量c
第 2 章 信号及其描述 2-1 求周期方波（见图 2-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），画出|cn|–ω 和 φn–ω 图，并与表 2-1 对比。 【解答】周期方波信号在一个周期的表达式为 0 0 ( 0) 2 ( ) (0 ) 2 T A t x t T A t − − = ＜ ＜ ＜ ＜ 积分区间取（－T0/2，T0/2），ω0=2π/T0 rad∙s-1。 求 cn可以采用以下两种方法之一。 方法 1： [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 2 1 1 ( )e d ( ) cos( ) jsin( ) d 1 ( )cos( )d j ( )sin( )d T T n t n T T T T T T c xt t xt n t n t t T T xt n t t xt n t t T ω ω ω ω ω − − − − − = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 因为 x(t)为奇函数，所以 0 xt n t ( )cos( ) ω 为奇函数， 0 xt n t ( )sin( ) ω 为偶函数，所以 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 22 cos( ) 0 j2 ( )sin( )d j sin( )d j 2 j ( 1, 3, 5, ) j cos( ) cos(0) j (cos 1) = π π 2 π 0 ( 2, 4, 6, ) T T T n A n t c xt n t t A n t t T T T n A A A T n n n n n n n ω ω ω ω ω π = − = − = − =± ± ± = −= − =± ± ± ∫ ∫ 方法 2： [( ) ( )] [ ( )] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j j j 2 2 0 0 0 2 2 0 2 j j 0 j π j π 0 0 0 00 0 2 j π j π 1 1 ( )e d ( )e d e d 1 1 e e ee e e j j j2 π 2 e e 2 2cos( π) j2 π j2 π j 1 cos( π) π T T n t n t n t n T T T n t n t n n T n n c xt t A t A t T T A AA T n Tn n A A n n n A n n ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − − − − = =− + =− + = −− − − − = −+ = − − =− − = ∫ ∫∫ 2 j ( 1, 3, 5, ) π 0 ( 2, 4, 6, ) A n n n =± ± ± =± ± ± 求直流分量（平均值）c0可以采用以下两种方法之一。 方法 1：积分求直流分量 c0 x(t) 0 t /s A T0 ‒T0 ‒A 图 2-4 周期方波信号波形图 .
6=0灿=Cna灿+]小-（心+8）-0-交+3-0小-0 方法2：利用函数的奇偶性确定c0 因为0为奇函数，所以c,=0。 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 0=2oew=-j异-cs)心（u=士±5） 式中：a。2/orad-s。 (n=l,±3，±5，) GnR=0 l24 leal=vea'+ca =lcal=m n=L,3,±. 0 n=0,±2,4,6. 2A 厂2 n=+1,+3+5, 0 n=-l-3-5, 没有偶次诰波。其频谱图如题2-1解答图所示。 rad 2A2A月 .w /rad-s s00 50 w /rad-s- -2 幅频图 相频图 恩2]解答图周期方波复指数函数形式频谱图 与教材表21(P22)比较可见，三角函数形式频谱为单边谱，复指数函数形式的频谱为双边谱。双边 幅值频谱偶对称，谱线高度比单边幅值频谱谱线高度减小一半（直流分量单边幅值频谱谱线高度与双边幅 值频谱谱线高度相同)。双边相位频谱奇对称，在纵轴右边的谱线与单边谱一致。 注意：教材表21中是以s函数表达三角函数形式的傅里叶级数，诰波初相位都是0，所以相位谱线 都是0：而这里的复指数函数形式的傅里叶级数是以cs函数为基准表达初相位，所以相位相差-2。 以余弦函数表达的三角函数形式的付立叶级数为 x0=4,+∑Acos(na+g.) 2-2求正弦信号x0=sino似的绝对均值4州和均方根值x。 【解答】绝对均值为
( ) 0 0 0 0 0 0 /2 0 /2 0 /2 0 0 0 /2 0 /2 /2 0 0 0 0 0 1 1 ( )d ( )d d 0 0 0 2 2 T T T T T T A A T T c xt t A t A t t t T T T T − − − = = − + = − + = −+−= ∫ ∫∫ 方法 2：利用函数的奇偶性确定 c0 因为 x(t)为奇函数，所以 0 c = 0 。 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 0 0 j j 1 ( ) e j (1 cos π)e π n t n t n n n A xt c n n ω ω ∞ ∞ =−∞ =−∞ = =− − ∑ ∑ （( 1, 3, 5, ) n =± ± ± ） 式中：ω0=2π/T0 rad∙s-1。 I R 2 π ( 1, 3, 5, ) 0 n n A c n n c = − =± ± ± = 2 2 RI I 2 1, 3, , π 0 0, 2, 4, 6, n nn n A n c ccc n n =± ± ± = +== = ±±± I R 2 π 1, 3, 5, π 2 arctan arctan 0 π 1, 3, 5, 2 n n n A n c n c n ϕ − − =+ + + = = = + =− − − 没有偶次谐波。其频谱图如题 2-1 解答图所示。 与教材表 2-1（P22）比较可见，三角函数形式频谱为单边谱，复指数函数形式的频谱为双边谱。双边 幅值频谱偶对称，谱线高度比单边幅值频谱谱线高度减小一半（直流分量单边幅值频谱谱线高度与双边幅 值频谱谱线高度相同）。双边相位频谱奇对称，在纵轴右边的谱线与单边谱一致。 注意：教材表 2-1 中是以 sin 函数表达三角函数形式的傅里叶级数，谐波初相位都是 0，所以相位谱线 都是 0；而这里的复指数函数形式的傅里叶级数是以 cos 函数为基准表达初相位，所以相位相差-π/2。 以余弦函数表达的三角函数形式的付立叶级数为 0 0 1 000 ( ) cos( ) 4 π 4 π 4 π cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ( 1,3,5, ) π 2 3π 2 5π 2 n n n xt a A n t AA A t t tn ω ϕ ωωω ∞ = =+ + = −+ −+ −+ = ∑ 2-2 求正弦信号 0 xt x t ( ) sin = ω 的绝对均值 x µ 和均方根值 rms x 。 【解答】绝对均值为 |cn| φn /rad π/2 -π/2 ω /rad∙s-1 ω /rad∙s-1 ω0 ω0 3ω0 5ω0 3ω0 5ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 幅频图 相频图 题 2-1 解答图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0 -3ω0 -5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 0 . . .
4-u地kaa地=学maa:亮oa -(wg-w小-sa-0- 式中T为正弦信号的周期，T=红。 均方根值（即有效值）为 -0t-at-月-2山-昏-ow2a -停优-0-原r-0叭-音 2-3求指数函数x)=4e(a>0,≥0)的频谱 【解答】频谱密度函数为 X(o)=广xue-dl=Ae"edt a问eL-小a问o-aa 幅值谱密度函数为 KoGa设>o 相位谱函数为 o=can acin-mtmg(设4>0》 频谱图如题2-3解答图1所示。 (oYrad Ala 0 /rad- 0 ofrad-s -/2 题23解答图1单边指数衰减信号频谱图 或者频谱密度函数为 XU=广xewd=Ae =Ae广 (aev A A a+20- A a+p
( ) 2 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 1 1 2 2 ( )d sin d sin d cos 2 2 cos cos0 cos π 1 2π 2 π π T T T T x x x xt t x t t t t t TT T T x xx T µ ω ωω ω ω = = = = − =− − =− − = ∫∫ ∫ 式中 T 为正弦信号的周期， 2π T ω = 。 均方根值（即有效值）为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 rms 0 0 0 0 0 0 2 2 0 00 0 1 1 1 cos 2 ( )d sin d d 1d cos 2 d 2 2 0 0 2 2 2 T T T T T T x x t x x t t x tt t t tt TT T T x xx t T T T ω ω ω − = = = = − = −= −= ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2-3 求指数函数 ( ) e ( 0 0) at xt A a t − = ＞ ， ≥ 的频谱。 【解答】频谱密度函数为 [ ] j j 0 ( j) ( j) 0 0 j ( ) ( )e d e e d e e e ( j) ( j) ee 1 0 1 ( j) ( j) j t at t a t a t t at t t X xt t A t A A a a A AA a a a ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ∞ ∞ − − − −∞ ∞ − + − + =∞ − − =∞ = = = = − −+ −+ = − = −= − + −+ + ∫ ∫ 幅值谱密度函数为 2 2 ( ) A X a ω ω = + （设 A＞0） 相位谱函数为 0 ( ) arctan arctan arctan Aa a ω ω ϕ ω = − =− （设 A＞0） 频谱图如题 2-3 解答图 1 所示。 或者频谱密度函数为 [ ] j2π j2π 0 ( j2π ) ( j2π ) 0 0 j2π 0 ( ) ( )e d e e d e e e ( j2π ) ( j2π ) ee e 0 1 ( j2π ) ( j2π ) j2π f t at f t a ft a ft t at f t t X f xt t A t A A af af A A a f a f A a f ∞ ∞ − − − −∞ ∞ − + − + =∞ − − =∞ = = = = − −+ −+ = −= − − + − + = + ∫ ∫ 题 2-3 解答图 1 单边指数衰减信号频谱图 ω /rad∙s-1 |X(ω)| A/a 0 φ(ω)/rad ω /rad∙s 0 -1 π/2 -π/2
幅值谱密度函数为 KU+T设4o0 A 相位谱函数为 a a 频谱图如题2-3解答图2所示。 9(rad Ala 元/2 01 fz π2 题23解答图2单边指数衰减信号频谱图 2-4求符号函数（见图2-25a)和单位阶跃函数（见图2-25b)的频谱。 sgn() 0 1 0 07 a)符号函数 b)阶跃函数 图2-25题2-4图 【解答】a)求符号函数的频谱 0-m0-8 0处可不予定义，或规定sgn(O0 该信号不满足绝对可积条件，但傅里叶变换存在。直接按傅里叶变换定义求解困难，可按如下方法求 解。即借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x()的 频谱，然后取极限得出符号函数x)的频谱。 令 0=ea0=20a x)的波形图如题24解答图1所示
幅值谱密度函数为 2 2 ( ) (2π ) A X f a f = + （设 A＞0） 相位谱函数为 0 2π 2π ( ) arctan arctan arctan f f f Aa a ϕ = − =− （设 A＞0） 频谱图如题 2-3 解答图 2 所示。 2-4 求符号函数（见图 2-25a）和单位阶跃函数（见图 2-25b）的频谱。 【解答】a）求符号函数的频谱 1 0 ( ) sgn( ) 1 0 t xt t t + > = = − < t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，但傅里叶变换存在。直接按傅里叶变换定义求解困难，可按如下方法求 解。即借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的 频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。 令 1 e 0 ( ) e sgn( ) e 0 at at at t xt t t − − = = − ＞ ＜ ，式中 a＞0 1 x t( ) 的波形图如题 2-4 解答图 1 所示。 题 2-3 解答图 2 单边指数衰减信号频谱图 f /Hz |X(f)| A/a 0 φ(f)/rad 0 f /Hz π/2 -π/2 t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 2-25 题 2-4 图 a）符号函数 b）阶跃函数
-1 题2-4解答图1x0=e"sgn(0 x()=sgn(t)=limx,(t) x()的频增密度函数为 X()=()edr=e"e'dr+e"e-'dr =-c"e-ur p (a-) 1-0 0-1 a-p时a+2网 =a-2时*a+卫可 4元f =-小a+2对7 当f≠0时 =en}-号0 当f=0时 0四-，-引。 4元r X(O)=0说明X(f)不包含直流分量，这是因为sg)的直流分量（即平均值）等于0。 幅值谱密度函数为 IxO=VRe xO+[mxo= 0,f=0 相位谱函数为 )arctan Imx( Rex(f) arctan- 0 频谱图如题2-4解答图2所示
则 1 0 ( ) sgn( ) lim ( ) a xt t x t → = = 1 x t( ) 的频谱密度函数为 0 j2π j2π j2π 1 1 0 0 j2π j2π 0 2 2 ( ) ( )e d e e d e e ee e e ( j2π ) ( j2π ) 10 01 j2π j2π 1 1 j2π j2π 4π j (2π ) f t at f t at f t at f t at f t X f x t t t dt af af a fa f a fa f f a f ∞ ∞ − − − − −∞ −∞ ∞ − − − −∞ = =− + = − + − −+ − − =− − − + =− + − + = − + ∫ ∫∫ 当 f ≠ 0 时 [ ] 1 22 2 0 0 4π 4π 1 ( ) sgn( ) lim ( ) lim j j j ( 0) a a (2π ) (2π ) π f f Xf F t X f f → → af f f = = = − =− =− + ≠ 当 f = 0 时 1 2 2 2 0 0 0 0 0 4π 0 0 (0) lim (0) lim j lim j lim j 0 a a (2π ) a a 0 2 f f X X → → a f → → a = = = − = − = −= + + X (0) 0 = 说明 X f ( ) 不包含直流分量，这是因为sgn( )t 的直流分量（即平均值）等于 0。 幅值谱密度函数为 [ ] [ ] 2 2 2 1 1 0 0 ( ) Re ( ) Im ( ) π π 0 0 f Xf Xf Xf f f f +− = ≠ = += = ， ， 相位谱函数为 1 π rad 0 Im ( ) π 2 ( ) arctan arctan Re ( ) 0 π rad 0 2 f X f f f X f f ϕ − + = = = − ＜ ＞ 频谱图如题 2-4 解答图 2 所示。 题 2-4 解答图 1 t /s x1(t) 0 1 -1
/rad 0 f/Hz 0入 f/z -2 题24解答图2符号函数的频谱图 b)求阶跃函数的频谱 w6ed 在跳变点1=0处函数值未定义，或规定0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，直接求其傅里叶变 换较困难，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数的频谱。 因为 0=分0 所以 d0+0=5dD f=0 Un=uo小-r片oo- n*》 ∫40 fan r-o ( (2m7f*0 )=arctan Im 时o 0rad f=0 Rex(f) 0 结果表明，单位阶跃信号0)的频谱在∫=0处存在一个冲激分量，这是因为)含有直流分量(12)， 在预料之中。同时，由于)不是纯直流信号，在1=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单 位阶跃信号0的频谱图如题24解答图3所示。 I001 /rad 2 (12) f/Hz -/2 f/z 题24解答图3单位阶跃信号的频谱
b）求阶跃函数的频谱 1 0 ( ) 0 0 t u t t > = < 在跳变点t = 0 处函数值未定义，或规定u(0) 1 / 2 = 。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，直接求其傅里叶变 换较困难，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数的频谱。 因为 1 1 ( ) sgn( ) 2 2 u t = + t 所以 [ ] [ ] 1 1 () 0 () 0 1 1 2 2 ( ) ( ) sgn( ) 2 2 1 11 1 () j j 0 2 2 π 2π ff f U f ut t f f f f δ δ δ + = = = =+ = + − =− ≠ FFF 1 () 0 2 ( ) 1 0 2π f f U f f f δ = = ≠ π rad 0 2 Im ( ) ( ) arctan 0 rad 0 Re ( ) π rad 0 2 f X f f f X f f ϕ + = = = − ＜ ＞ 结果表明，单位阶跃信号u t( ) 的频谱在 f = 0 处存在一个冲激分量，这是因为u t( ) 含有直流分量（1/2）， 在预料之中。同时，由于u t( ) 不是纯直流信号，在t = 0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单 位阶跃信号u t( ) 的频谱图如题 2-4 解答图 3 所示。 题 2-4 解答图 2 符号函数的频谱图 f /Hz φ(f) /rad 0 π/2 0 f /Hz |X(f)| -π/2 题 2-4 解答图 3 单位阶跃信号的频谱 f /Hz |U(f)| 0 f /Hz φ(f) /rad 0 π/2 -π/2 （1/2）
解法2：利用冲激函数6)的频谱和傅里叶变换的积分特性。 因为 w-a0o:-6 所以根据傅里叶变换的积分特性得 U()=F[6()dr “2可A4n+400 - 540f=0 2可f0 8n1=0 lUf= 27f￥0 1 nd f<o Imx(f) 0rad f=0 rad 2-5求被截断的余弦函数c0s,/(见图2-26)的傅里叶变换。 x04 图2-26题2-5图 【解答】 解法1：利用傅里叶变换的频移特性和线性叠加特性求解。 函数x)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题2-5解答图1所示）的乘积，即 x(t)=wt)Cos包.1) 式中，0=T为矩形窗函数。 0≥T
解法 2：利用冲激函数δ ( )t 的频谱和傅里叶变换的积分特性。 因为 1 0 ( ) ( )d 0 0 t t u t t δτ τ −∞ = = ∫ ＞ ＜ 所以根据傅里叶变换的积分特性得 ( ) ( )d 1 1 ( ) (0) ( ) j2π 2 1 1 () j 2 π 1 () 0 2 1 j 0 2π t Uf F f f f f f f f f f δτ τ δ δ δ −∞ = = ∆ +∆ = − = = − ≠ ∫ 1 () 0 2 ( ) 1 0 2π f f U f f f δ = = ≠ π rad 0 2 Im ( ) ( ) arctan 0 rad 0 Re ( ) π rad 0 2 f X f f f X f f ϕ + = = = − ＜ ＞ 2-5 求被截断的余弦函数 0 cosω t （见图 2-26）的傅里叶变换。 0 cos ( ) 0 ttT x t t T ω = ＜ ≥ 【解答】 解法 1：利用傅里叶变换的频移特性和线性叠加特性求解。 函数 x(t)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题 2-5 解答图 1 所示）的乘积，即 0 xt wt t ( ) ( )cos( ) = ω 式中， ( ) 1 0 t w t T T t = ＜ ≥ 为矩形窗函数。 图 2-26 题 2-5 图 -T T t /s x(t) 0 1 -1
01 题2-5解答图1矩形窗函数 根据欧拉公式得 cos(aw）=(ew+ew） 所以 )r(e 矩形窗函数w)的傅里叶变换为 wao-0em=em=b[ae-） 2aon小名oan-n2.nso 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： Xo)=号W(o-a)+W(@+a) =Tsine[T(o-,+Tsinc[T+a】 解法2：利用傅里叶变换的卷积特性 函数x)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题25解答图1所示）的乘积，即 x0)=w)cos(o,w）) 矩形窗函数()的傅里叶变换为 W(@)=2Tsinc(To) 余弦函数的傅里叶变换为 F[cos(o,】=[6(o+)+o-o】 根据傅里叶变换的卷积特性和脉冲函数的卷积特性得 X(@)=F[w(t)cos(] =W(@)*F[cos()] =2元×2 Tsind(小{[do-a)+do+a -Tsinc(Ta))+Tsind(T) =Tsine[T(a-o%月+Tsine[T(a+a月 解法3：直接按傅里叶变换定义积分
根据欧拉公式得 ( ) 0 0 j j 0 1 cos( ) e e 2 t t t ω ω ω − = + 所以 0 0 1 1 j j ( ) ( )e ( )e 2 2 t t xt wt wt ω ω − = + 矩形窗函数 w(t)的傅里叶变换为 ( ) [ ] j j 1 j 1 j j ( ) ( )e d 1 e d e e e j j 1 2 sin( ) j2sin( ) sin( ) 2 2 sinc( ) j T T t t t T T T T W wt t t T T TT T T T ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω ω ∞ − − − − −∞ − − = =⋅ = = − − − =− = = = − ∫ ∫ 根据傅里叶变换的频移特性和叠加性得： 0 0 0 0 1 1 () ( ) ( ) 2 2 sinc[ ( )] sinc[ ( )] XW W TT TT ω ωω ωω ωω ωω = −+ + = −+ + 解法 2：利用傅里叶变换的卷积特性 函数 x(t)可以看成是余弦函数与矩形窗函数（如题 2-5 解答图 1 所示）的乘积，即 0 xt wt t ( ) ( )cos( ) = ω 矩形窗函数 w(t)的傅里叶变换为 W TT ( ) 2 sinc( ) ω ω = 余弦函数的傅里叶变换为 F t [cos( ) ω δω ω δω ω 0 00 ] = ++ − π[ ( )( )] 根据傅里叶变换的卷积特性和脉冲函数的卷积特性得 [ ] [ ] [ ] { [ ]} 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )cos( ) 1 ( ) cos( ) 2π 1 2 sinc( ) π ( )( ) 2π sinc( ) ( ) sinc( ) ( ) sinc[ ( )] sinc[ ( )] X F wt t WF t T T TT TT TT TT ω ω ω ω ω δω ω δω ω ω δω ω ω δω ω ωω ωω = = ∗ =× ∗ − + + = ∗ −+ ∗ + = −+ + 解法 3：直接按傅里叶变换定义积分。 题 2-5 解答图 1 矩形窗函数 -T T t /s w(t) 1 0