d2x(t) dx(t) 23拉普拉斯变换及递拉普拉斯 变换 231复数与复变函数 232拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换的定义 233典型时间函数的拉普拉斯变换 234拉普拉斯变换的性质与定理 235逆拉普拉斯变换 236用拉普拉斯变换解线性常系数微分方程
1 1 2 2 0 1 0 1 = + − − x x k B u x x m m m 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d + + = x t x t m B kx t f t t t 2 ( ) 1 ( ) ( ) = = + + X s G s F s ms Bs k 2.3.1 复数与复变函数 2.3.2 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换的定义 2.3.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 2.3.4 拉普拉斯变换的性质与定理 2.3.5 逆拉普拉斯变换 2.3.6 用拉普拉斯变换解线性常系数微分方程 1
G》少求理子大军 23.1复数和复变岛数 L复数的概念 2复数的表达方法 s0+isin) 3复变函数、极点与零点的概念 =re
(cos sin ) j s j r j re = + = + = 1. 复数的概念 2. 复数的表达方法 3 .复变函数、极点与零点的概念 2
23.1复数和复变涵数 千.复数(complex number)的概念 >一个复数s由实部σ和虚部>两个复数相等的条件： ω构成，其代数式为 实部和虚部分别相等。 so汁j0 S1=01+jw1 Real Imaginary S2=02+J02 part part 若S1=S2,则必有0102， 其中j=V一1，称为虚数单 01=W20 位。0、ω均为实数，表示 >一个复数等于0的条件： 成 其实部和虚部均为零。 o=Re(s),@=Im(s) >S1=0+j0与S20-j0互为共 轭复数。 【注】虚部不包括虚数单 位，但包含正负号。 =-1=j2j=-j
2.3.1 复数和复变函数 1. 复数（complex number）的概念 3 ➢两个复数相等的条件： 实部和虚部分别相等。 s1 =σ1+jω1 s2 =σ2+jω2 若s1 =s2，则必有σ1 =σ2， ω1 =ω2。 ➢一个复数等于0的条件： 其实部和虚部均为零。 ➢ s1 =σ+jω与s2 =σ−jω互为共 轭复数。 Real part Imaginary part 其中j = −1，称为虚数单 位。σ、ω均为实数，表示 成 σ = Re(s)，ω = Im(s) 【注】虚部不包括虚数单 位，但包含正负号。 ➢一个复数s由实部σ和虚部 ω构成，其代数式为 s = σ + jω 2 j 1 = − 3 2 j j j j = = −
23.1复数和复变品数 2.复数的表达方法 。代数表示法=o+jω 。坐标表示法 。向量表示法（极坐标 表示法) 。三角函数表示法 。复指数函数表示法 复平面 虚轴 S=01+j0 s平面 01 03 0 01 0 S2=02+j02 实轴 坐标表示法
2.3.1 复数和复变函数 2. 复数的表达方法 代数表示法s=σ+jω 坐标表示法 向量表示法（极坐标 表示法） 三角函数表示法 复指数函数表示法 4 1 1 1 s = + j 2 2 2 s = + j σ1 σ2 ω1 ω2 σ 实轴 虚轴 ω 0 坐标表示法 复平面 s平面
231复数和复变品数 0 2.复数的表达方法 s=n∠0 s=r∠0 r=sil 模/绝对值 r=s=VG2+02 01 辐角 虚部 0 0=arctan arctan 实部 ON 0 0 arctan 0 r252 0 S2=5∠0， 01 向量表示法（极坐标表示法） 0=arctan 2-180 02 辐角逆时针为正。辐角args的主值：(-π，]。 【注1】辐角要根据复数所在的象限正确取值。因为下式。 【注2】实轴上、虚轴上的复数辐角要正确取值
2.3.1 复数和复变函数 2. 复数的表达方法 5 向量表示法（极坐标表示法） ω σ 0 θ1 r1=|s1 | θ2 r2=|s2 | 辐角 模/绝对值 2 2 r s = = + arctan arctan = = 虚部 实部 辐角逆时针为正。辐角arg s的主值：(-π，π]。 【注1】辐角要根据复数所在的象限正确取值。因为下式。 【注2】实轴上、虚轴上的复数辐角要正确取值。 σ1 σ2 ω1 ω2 1 1 1 s r = 2 2 2 s r = s r = π π arctan 2 2 − ≤ ≤ 1 1 1 arctan = 2 2 2 arctan 180 = −
23.1复数和复变福数 2.复数的表达方法 复数辐角主值的取值方法：根据复数点所在象限在 (-π，]范围内取值，即按着下述关系来确定。 arctan (σ>0，s在第1或第4象限) 0 ⊙ arctan-+π (o0,s在第2象限) 6 其中 0 arctan-π (o0,s在正虚轴上) (o=0,o0,0=0，s在正实轴上) (σ<0,0=0，s在负实轴上)
2.3.1 复数和复变函数 2. 复数的表达方法 复数辐角主值的取值方法：根据复数点所在象限在 (-π，π]范围内取值，即按着下述关系来确定。 6 arctan ( 0 ) arctan π ( 0 0 ) arctan π ( 0 0 ) π arg ( 0 0 ) 2π ( 0 0 ) 2 0 ( 0 0 ) π ( 0 0 ) s s s s s s s s + − = + = − = = = ＞ ， 在第1或第4象限 ＜ ， ＞ ， 在第2象限 ＜ ， ＜ ， 在第3象限 ， ＞ ， 在正虚轴上 ， ＜ ， 在负虚轴上 ＞ ， ， 在正实轴上 ＜ ， ， 在负实轴上 π π arctan 2 2 −其中 ＜ ＜
少水生年复数和复变西数一复教的表达方传 。三角函数表示法 ·复指数函数表示法 由极坐标图可知 欧拉公式： g=rcos0,ω=Sin0 e+ie=cos0 +jsine 因此 e-j9=cos0-jsin0■ s rcos0 jrsine 因此 =r(cos0 jsine) s=reje 三角函数表示法 复指数函数表示法 【注】e±j的模为1，辐 Cos0=- (e+e) 2 角为±0。 1 sin0=
2.3.1 复数和复变函数—复数的表达方法 三角函数表示法 由极坐标图可知 σ = rcosθ ，ω = rsinθ 因此 s = rcosθ + jrsinθ = r(cosθ + jsinθ) 【注】e±jθ的模为1，辐 角为±θ。 复指数函数表示法 欧拉公式： e＋ jθ = cosθ ＋ jsinθ e－jθ = cosθ － jsinθ 因此 s = re jθ 7 三角函数表示法 复指数函数表示法 j j j j 1 cos ( ) 2 1 sin ( ) j2 e e e e − − = + = −
⑤少本纤复数和复变品数一复数的表达方法” 例2.1复数s=-3+4的各种表示法。 =rcos0+irsine 126.9° -reio 0 =r∠0 坐标表示法 向量表示法 极坐标表示法 三角函数表示法 极坐标表示法 s=5(cos126.9°+jsin126.9°) s=5∠126.9° 复指数函数表示法 =5∠2.2143rad y=5ei126.9°=5ei2.2143
2.3.1 复数和复变函数—复数的表达方法 例2.1 复数s=−3+j4的各种表示法。 8 −3 4 σ ω 0 坐标表示法 向量表示法 极坐标表示法 σ ω 0 5 126.9º s = + 5(cos126.9 jsin126.9 ) j126.9 j2.2143 s 5e 5e = = 三角函数表示法 复指数函数表示法 极坐标表示法 5 126.9 5 2.2143 rad s = = j j cos j sin e s r r r r = + = + = =
231复数和复变涵，数 >夏数的模和辐角的运算规律 。两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相 乘；结果的辐角等于这两个复数辐角相加。 ·两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除 （分子的模/分母的模)；结果的辐角等于这两个 复数的辐角相减（分子的辐角-分母的辐角)。 。以上运算规律可以推广到个复数相乘或相除的情 况
2.3.1 复数和复变函数 ➢复数的模和辐角的运算规律 两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相 乘；结果的辐角等于这两个复数辐角相加。 两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除 （分子的模/分母的模）；结果的辐角等于这两个 复数的辐角相减（分子的辐角-分母的辐角）。 以上运算规律可以推广到n个复数相乘或相除的情 况。 9
G)少求理子大军 23.1复数和复变福数 例2已知 S1=3+j3,52=-2+j2 s3=s52=(3+j3)(-2+j2) 4 9=3+3 S2-2+j2 求S1、S2、S3、S4的模和辐角。 解： |s卡v3+3=3W2,0=arctan45° sV29+22=2N2,0,=acan)+180°3 |s,日，‖s2上3W2×2W2=12,0,=0+0,=45°+135°-180° 1s13v2 =1.5,0,=0-02=45°-135°=-90° |s2|2V2
2.3.1 复数和复变函数 例2 已知 10 1 2 s s = + = − + 3 j3 2 j2 ， 2 2 1 1 3 | | 3 3 3 2 arctan 45 3 s = + = = = ， 3 1 2 3 1 2 | | | || | 3 2 2 2 12 45 135 180 s s s = = = = + = + = ， 1 4 2 3 j3 2 j2 s s s + = = − + 3 1 2 s s s = = + − + (3 j3)( 2 j2) 求s1、s2、s3、s4的模和辐角。 解： 2 2 2 2 2 | | ( 2) 2 2 2 arctan 180 135 2 s = − + = = + = − ， 1 4 4 1 2 2 | | 3 2 | | 1.5 45 135 90 | | 2 2 s s s = = = = − = − = − ，